2024-2025學年高中數學 第一章 預備知識 4 一元二次函數與一元二次不等式 1.4.3 一元二次不等式的應用教案 北師大版必修第一冊

2024-2025學年高中數學第一章預備知識4一元二次函數與一元二次不等式1.4.3一元二次不等式的應用教案北師大版必修第一冊主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數學——一元二次函數與一元二次不等式

2.教學年級和班級：高中一年級一班

3.授課時間：2024年9月20日

4.教學時數：45分鐘

二、教學內容

1.課程目標：通過本節(jié)課的學習，使學生掌握一元二次不等式的解法及應用，能夠解決實際問題。

2.課程重難點：一元二次不等式的解法，以及如何將實際問題轉化為數學模型。

三、教學過程

1.導入：以實際問題引入，如“某商品打8折后的價格不超過120元，求商品的原價范圍?！?/p>

2.新課講解：講解一元二次不等式的解法，通過例題演示解題步驟。

3.課堂練習：學生獨立完成練習題，老師進行個別輔導。

4.應用拓展：讓學生嘗試解決實際問題，如“某數的平方與該數之和不超過100，求該數的取值范圍。”

5.總結：對本節(jié)課的內容進行總結，強調一元二次不等式的解法及應用。

四、課后作業(yè)

1.請學生完成課后練習題，鞏固所學知識。

2.鼓勵學生參加數學競賽或研究性學習，提高數學素養(yǎng)。

五、教學評價

1.課堂表現：觀察學生在課堂上的參與程度、提問回答等情況，了解學生的學習狀態(tài)。

2.課后作業(yè)：檢查學生的作業(yè)完成情況，評估學生的掌握程度。

3.期中期末考試：通過考試檢驗學生對一元二次函數與一元二次不等式的掌握情況。教學目標分析根據新教程的要求，本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標如下：

1.邏輯推理：通過講解一元二次不等式的解法，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，使其能夠運用數學原理和方法解決實際問題。

2.數學建模：讓學生學會將實際問題轉化為數學模型，運用一元二次不等式解決問題，培養(yǎng)學生的數學建模能力。

3.數學運算：通過練習題和實際問題的解決，提高學生的數學運算能力，使其能夠熟練運用一元二次不等式的解法。

4.直觀想象：通過圖形和實際問題的展示，培養(yǎng)學生的直觀想象能力，使其能夠形象地理解一元二次不等式的解法及應用。

5.數學抽象：通過講解和練習，使學生掌握一元二次不等式的抽象概念，能夠抽象出一元二次不等式的問題并解決。

6.數學素養(yǎng)：通過課堂講解、練習和實際問題的解決，提高學生的數學素養(yǎng)，使其能夠在生活中發(fā)現數學問題并運用數學知識解決。學習者分析1.學生已經掌握的相關知識：學生在之前的學習中已經掌握了初中階段的一元二次方程和一元二次函數的基礎知識，對二次項的概念有一定的了解。同時，學生也學習了不等式的基本性質和解法，這為本節(jié)課的一元二次不等式學習奠定了基礎。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：學生的興趣主要集中在解決實際問題和探究數學規(guī)律方面。在學習能力方面，大部分學生具備較強的邏輯推理和數學運算能力，能夠理解和掌握一元二次不等式的解法。在學習風格上，學生喜歡通過實踐和合作來學習，對于圖形和實際問題的展示較為感興趣。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學習一元二次不等式時，學生可能對不等式的解法原理和步驟理解不深，難以將實際問題轉化為數學模型。此外，部分學生可能在數學抽象和直觀想象方面存在一定的困難，對于一元二次不等式的圖形解法和不等式性質的應用不夠熟練。因此，在教學過程中，需要關注這部分學生的學習情況，提供適當的輔導和幫助，確保他們能夠跟上課程進度，掌握一元二次不等式的解法和應用。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學方法與策略1.教學方法：

本節(jié)課將采用講授、案例研究和項目導向學習等教學方法。講授法用于向學生傳授一元二次不等式的解法理論和解題步驟，通過清晰的講解使學生掌握知識點。案例研究法用于分析實際問題，讓學生將所學知識應用于解決具體問題，培養(yǎng)學生的數學建模能力。項目導向學習法用于引導學生合作探究，通過小組討論和互動，提高學生的解決問題和團隊合作能力。

2.教學活動設計：

（1）角色扮演：讓學生扮演商品銷售員和消費者，以實際問題為背景，引導學生運用一元二次不等式解決問題。

（2）實驗：通過繪制一元二次函數的圖形，讓學生觀察函數圖像與不等式的關系，從而理解一元二次不等式的解法。

（3）游戲：設計一個數學游戲，讓學生在游戲中運用一元二次不等式，提高學生的學習興趣和積極性。

（4）小組討論：將學生分成小組，討論一元二次不等式在實際問題中的應用，促進學生之間的交流與合作。

3.教學媒體和資源使用：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示一元二次不等式的解法步驟和實際問題，以便學生更好地理解和掌握知識點。

（2）視頻：播放一元二次函數圖像的動畫，讓學生直觀地觀察函數圖像與不等式的關系，幫助學生理解一元二次不等式的解法。

（3）在線工具：利用在線數學工具，讓學生進行一元二次不等式的練習和實驗，提高學生的動手操作能力。

（4）實際問題素材：收集一些與生活息息相關的一元二次不等式問題，讓學生更好地理解數學在實際生活中的應用。

本節(jié)課通過多種教學方法和教學活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數學抽象等核心素養(yǎng)，使學生在解決實際問題的過程中，能夠靈活運用一元二次不等式的解法，提高學生的數學素養(yǎng)。教學流程1.課前準備（5分鐘）

（1）讓學生預習本節(jié)課的內容，了解一元二次不等式的解法及其應用。

（2）教師準備PPT、視頻、實際問題素材等教學資源。

2.課堂導入（5分鐘）

（1）教師通過實際問題引入本節(jié)課的主題：“某商品打8折后的價格不超過120元，求商品的原價范圍。”

（2）引導學生思考如何將這個問題轉化為數學模型，激發(fā)學生的學習興趣。

3.知識講解（15分鐘）

（1）教師講解一元二次不等式的解法，包括解法原理、步驟和注意事項。

（2）舉例說明一元二次不等式的解法如何應用于實際問題，讓學生理解其應用價值。

（3）引導學生進行課堂練習，鞏固所學知識。

4.案例分析（10分鐘）

（1）教師提出案例：“某地的房價不超過每平方米1萬元，求購買一套房子最高不超過150平方米的限制?！?/p>

（2）學生分組討論，將實際問題轉化為數學模型，并運用一元二次不等式解決問題。

（3）各組匯報討論成果，教師進行點評和指導。

5.應用拓展（5分鐘）

（1）教師提出應用問題：“某數的平方與該數之和不超過100，求該數的取值范圍?！?/p>

（2）學生獨立思考，運用一元二次不等式解決問題。

（3）教師選取部分學生的解答進行點評和講解。

6.課堂小結（5分鐘）

（1）教師對本節(jié)課的內容進行總結，強調一元二次不等式的解法及其應用。

（2）學生進行課堂反饋，提出疑問和困惑。

7.課后作業(yè)（5分鐘）

（1）教師布置課后作業(yè)，讓學生鞏固所學知識。

（2）提醒學生參加數學競賽或研究性學習，提高數學素養(yǎng)。

本節(jié)課的教學流程設計緊密圍繞一元二次不等式的解法及其應用展開，通過實際問題導入、知識講解、案例分析、應用拓展等環(huán)節(jié)，讓學生在解決實際問題的過程中掌握一元二次不等式的解法，提高學生的數學建模、數學運算、直觀想象和數學抽象等核心素養(yǎng)。整個教學流程共計45分鐘，符合教學實際需求。知識點梳理1.一元二次不等式的定義：一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0）的不等式，其中a、b、c是常數，a≠0。

2.一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法包括口訣法、圖像法、公式法等。

（1）口訣法：記憶口訣“大于看開口，小于看封口”，根據開口方向和判別式Δ的符號判斷不等式的解集。

（2）圖像法：繪制一元二次函數的圖像，根據圖像判斷不等式的解集。

（3）公式法：利用一元二次方程的求根公式，求出不等式的解集。

3.一元二次不等式的應用：一元二次不等式在實際生活中有廣泛的應用，如利潤問題、面積問題、最值問題等。

（1）利潤問題：例如，某商品打8折后的價格不超過120元，求商品的原價范圍。

（2）面積問題：例如，已知一個矩形的長和寬，求矩形的面積不超過某個值時，長和寬的取值范圍。

（3）最值問題：例如，某數的平方與該數之和不超過100，求該數的取值范圍。

4.一元二次不等式的性質：一元二次不等式具有開口方向、判別式Δ的符號等性質，這些性質對于我們解決實際問題非常有幫助。

（1）開口方向：開口向上的不等式，解集在兩根之外；開口向下的不等式，解集在兩根之間。

（2）判別式Δ：Δ>0時，不等式有兩個實數解；Δ=0時，不等式有一個重根；Δ<0時，不等式無實數解。

5.一元二次不等式的解集表示：一元二次不等式的解集可以用區(qū)間表示，包括開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間等。

（1）開區(qū)間：如解集為(2,4)，表示x的取值范圍在2和4之間，不包括2和4。

（2）閉區(qū)間：如解集為[2,4]，表示x的取值范圍在2和4之間，包括2和4。

（3）半開半閉區(qū)間：如解集為(2,4]或[2,4)，表示x的取值范圍在2和4之間，包括2或4。課后作業(yè)1.問題轉化：某商品的原價不超過150元，打8折后的價格不超過120元，求該商品的原價范圍。

答案：原價范圍為100元到150元。

2.應用題型：一塊土地的面積不超過200平方米，且該土地的寬度不超過土地長度的的一半，求土地的面積和長度的取值范圍。

答案：土地的面積取值范圍為100平方米到200平方米，長度的取值范圍為20米到40米。

3.最值問題：已知某數的平方與該數之和不超過100，求該數的取值范圍。

答案：該數的取值范圍為-10到10。

4.綜合題型：某工廠生產一批產品，每件產品的成本為20元，售價為30元。若工廠想獲得利潤不超過1000元，求工廠最多生產多少件產品。

答案：工廠最多生產33.33件產品（取整數為33件）。

5.創(chuàng)新題型：已知一元二次不等式x^2-4x+3>0，求該不等式的解集。

答案：解集為x<1或x>3。課堂小結，當堂檢測1.課堂小結

（1）本節(jié)課我們學習了一元二次不等式的定義、解法、性質以及應用，通過實際問題引導學生理解一元二次不等式在生活中的重要性。

（2）我們掌握了口訣法、圖像法和公式法解一元二次不等式，并能將實際問題轉化為數學模型，運用一元二次不等式解決問題。

（3）一元二次不等式的解集表示方法以及開口方向和判別式Δ的符號對于解決實際問題具有指導意義。

2.當堂檢測

（1）問題轉化：某商品的原價不超過150元，打8折后的價格不超過120元，求該商品的原價范圍。

（2）應用題型：一塊土地的面積不超過200平方米，且該土地的寬度不超過土地長度的的一半，求土地的面積和長度的取值范圍。

（3）最值問題：已知某數的平方與該數之和不超過100，求該數的取值范圍。

（4）綜合題型：某工廠生產一批產品，每件產品的成本為20元，售價為30元。若工廠想獲得利潤不超過1000元，求工廠最多生產多少件產品。

（5）創(chuàng)新題型：已知一元二次不等式x^2-4x+3>0，求該不等式的解集。教學反思與改進在本次教學中，我發(fā)現學生在理解一元二次不等式的解法時，對于開口方向和判別式Δ的符號的理解不夠深入，導致解題時出現錯誤。同時，學生在將實際問題轉化為數學模型時，對于如何建立數學關系式也存在一定的困難。此外，課堂討論環(huán)節(jié)，部分學生的參與度不高，需要進一步激發(fā)學生的學習興趣和積極性。

2.改進措施

（1）加強開口方向和判別式Δ的符號的教學，通過具體例子和練習，幫助學生加深理解和掌握。

（2）在課堂討論環(huán)節(jié)，設計更多與學生生活相關的問題，激發(fā)學生的學習興趣和積極性，提高學生的參與度。

（3）增加一些實際問題，讓學生在解決問題的過程中，更好地理解一元二次不等式的應用。

（4）在教學中，注重學生的思維引導，鼓勵學生主動思考和探索，提高學生的數學思維能力。

3.未來計劃

在未來的教學中，我將根據學生的實際情況，調整教學策略和方法，注重培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，提高學生的數學建模、數學運算、直觀想象和數學抽象等能力。同時，我將注重學生的個性化發(fā)展，關