工程力學(xué)(上)電子教案 第十章

第十章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程第一、二節(jié)動(dòng)力學(xué)的基本定律質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程教學(xué)時(shí)數(shù)：1學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本概念（如慣性、質(zhì)量等）和動(dòng)力學(xué)基本定律要在物理課程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解其實(shí)質(zhì)。深刻理解力和速度的關(guān)系，能正確地建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。教學(xué)重點(diǎn)：建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)微分方程進(jìn)行變量變換后再積分的方法教學(xué)方法：板書＋PowerPoint教學(xué)步驟：一、引言動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系（包括剛體）。動(dòng)力學(xué)的兩類問題：（1）已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用在物體上的力；（2）已知作用在物體上的力及運(yùn)動(dòng)的初始條件，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。二、動(dòng)力學(xué)基本定律第一定律（慣性定律）任何質(zhì)點(diǎn)如不受力作用，則將保持其原來靜止的或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)不變。質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。事實(shí)上，不存在不受力的質(zhì)點(diǎn)，若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力系為平衡力系，則等效于質(zhì)點(diǎn)不受力。該定律表明：力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。第二定律（力與加速度關(guān)系定律）質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即：或由于上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，所以通常稱上式為動(dòng)力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受幾個(gè)力的作用時(shí)上式中的應(yīng)理解為這些力的合力。該定律表明：1、力與加速度的關(guān)系是瞬時(shí)關(guān)系，即力在某瞬時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是通過該瞬時(shí)確定的加速度表現(xiàn)的。作用力并不直接決定質(zhì)點(diǎn)的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。2、若相等的兩個(gè)力作用在質(zhì)量不同的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，則質(zhì)量越大，加速度越??；質(zhì)量越小，加速度越大。這說明：質(zhì)量越大，保持其原來運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力越強(qiáng)，即質(zhì)量越大，慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量。在重力場中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用表示。由第二定律有式中G是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，g是重力加速度的大小。通常取。在國際單位制中，長度、質(zhì)量和時(shí)間的單位是基本單位，分別取米、千克和秒；力的單位是導(dǎo)出單位，為牛頓。即：必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。三、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程將動(dòng)力學(xué)基本方程用微分形式表示所得到的方程稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。（一）、矢徑形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程由動(dòng)力學(xué)基本方程：由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：于是可得：或或這就是矢徑形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。（二）、直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程這就是直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。（三）、自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程或這就是自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。第三節(jié)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類基本問題教學(xué)時(shí)數(shù)：1學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：掌握第一類基本問題的解法掌握第二類基本問題的解法，特別是當(dāng)作用力分別為恒力、時(shí)間函數(shù)、位置函數(shù)和速度函數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)微分方程的積分求解方法。對(duì)初始條件的力學(xué)意義及其在確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的作用有清晰的認(rèn)識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題的解法教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行變量變換后再積分的方法教學(xué)方法：板書＋PowerPoint教學(xué)步驟：第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。第二類問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。下面就力是一個(gè)變量的函數(shù)的首次積分加以介紹：1、當(dāng)力是常數(shù)或是時(shí)間的簡單函數(shù)時(shí)，有，則。2、當(dāng)力是位置的簡單函數(shù)時(shí)，有，利用循環(huán)求導(dǎo)變換,則有，分離積分變量。下面舉例說明質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類問題的求解方法。例1如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t，得可見質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：于是可見，力與矢徑共線反向，其大小正比于矢徑的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。例2質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑，求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，任一瞬時(shí)小球受力如圖。小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。方向指向O點(diǎn)。建立如圖所示的自然坐標(biāo)系。由然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解得下面再對(duì)本題作進(jìn)一步的分析討論，由（1）、（2）式可得：令可得令可得因此，只有當(dāng)時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。例3從某處拋射一物體，已知初速度為，拋射角為α，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以拋射體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。任一瞬時(shí)受力如圖，建立如圖的坐標(biāo)。由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得積分后得：再積分后得：式中，C1,C2,C3,C4為積分常數(shù)，由初始條件確定。當(dāng)t=0,,代入以上四式，即得：，C3=C4=0。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。例4垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，并求第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)在任一位置受地球引力的大小為：由于，所以由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：由于，將上式改寫為：分離變量得：設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為，在空中任一位置x處的速度為，對(duì)上式積分得：所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨x的增加而減小。若，則物體在某一位置x=R+H時(shí)速度將為零，此后物體將回落，H為以初速向上發(fā)射物體所能達(dá)到的最大高度。將x=R+H及v=0代入上式可得若，則不論x為多大，甚至為無限大時(shí)，速度均不會(huì)減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時(shí)必須具有的最小速度為若取，R=6370km，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。課堂小結(jié)：求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題的步驟如下：確定某質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象分析作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（主動(dòng)力、約束反力）分析質(zhì)點(diǎn)