2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.填空題（共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）已知函數(shù)，若，則．2．（4分）已知集合，，，則．3．（4分）函數(shù)的值域是．4．（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號(hào)為．①②③④5．（4分）若關(guān)于的方程有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則的取值范圍是．6．（4分）設(shè)，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．7．（5分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為．8．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．9．（5分）設(shè)不等式的解集為，設(shè)函數(shù)且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值集合為，則．10．（5分）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則的最小值是．11．（5分）函數(shù)，，若在定義域上滿足：①?zèng)]有奇偶性；②不單調(diào)；③有最大值，則的取值范圍是．12．（5分）已知實(shí)數(shù)，，，則的取值范圍為．二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）13．（4分）已知，則“成立”是“成立”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也非必要14．（4分）對(duì)于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于A． B． C． D．15．（5分）已知，點(diǎn)在曲線上，若線段與曲線相交且交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則稱為曲線關(guān)于曲線的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．那么曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．416．（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域在上的解析式可表示為：，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號(hào)為①狄利克雷為偶函數(shù)②狄利克雷為奇函數(shù)③狄利克雷函數(shù)值域?yàn)?，④?duì)于任意，均有⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點(diǎn)法畫出⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點(diǎn)A．①③④⑥ B．②③⑤ C．①④ D．②④⑥三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）17．（14分）命題甲：集合，，且．命題乙：集合，，且．問題：若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法．（1）已知實(shí)數(shù)，，，，，滿足．求證：，，，，中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1．（2）已知，，，試比較：、、三者的大小關(guān)系．（3）若實(shí)數(shù)，，，滿足，試比較：和的大小，并指明等號(hào)成立的條件．19．（14分）由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時(shí)間的關(guān)系，可近似地表示為．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用．（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．20．（18分）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑．（1）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）設(shè)，若存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足①，②兩個(gè)條件，求：的取值范圍．①對(duì)于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解．（3）已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，求：集合的元素的可能個(gè)數(shù)．21．（18分）對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；（2）若冪函數(shù)使得在，上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求：實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求：的取值集合．

參考答案一.填空題（12題共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）已知函數(shù)，若，則2．解：函數(shù)，，．故答案為：2．2．（4分）已知集合，，，則．解：，，，把代入方程，方程不成立，故，再把代入方程，方程不成立，故，．故答案為：．3．（4分）函數(shù)的值域是．解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，．若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?．（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號(hào)為①②④．①②③④解：①由，解得，則原函數(shù)為，函數(shù)為偶函數(shù)；②由，解得．此時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上可知，函數(shù)為奇函數(shù)；④，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上可知，函數(shù)為偶函數(shù)．故答案為：①②④．5．（4分）若關(guān)于的方程有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則的取值范圍是，．解：有三個(gè)根（允許相等），設(shè)這三根為：，，，不妨設(shè)，即，為方程的兩正根，所以，且△，解得，這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，兩邊之和：，則，兩邊之差：，即，所以，，解得，因此，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．6．（4分）設(shè)，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或．解：因?yàn)?，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個(gè)元素，則關(guān)于的方程只有一個(gè)負(fù)根，①只有一個(gè)根且為負(fù)根，，解得，②有兩個(gè)根且一個(gè)負(fù)根，，此時(shí)，故的取值范圍為或．故答案為：或．7．（5分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為2．解：依題意，，，所以，則，即，當(dāng)，或，時(shí)等號(hào)成立．則的最大值為2．故答案為：2．8．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．解：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?，所以能夠取到大于等?的所有數(shù)，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上可得，．故答案為：，．9．（5分）設(shè)不等式的解集為，設(shè)函數(shù)且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值集合為，則．解：由，得，解得，從而，．設(shè)函數(shù)和函數(shù)，則函數(shù)且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，就是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，如圖，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，而直線與軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)的上方，所以兩圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，從而．則．故答案為：．10．（5分）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則的最小值是．解：對(duì)任意的，都有，因?yàn)椋?），則（3）（5），則，令，則，則當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最小值．故答案為：．11．（5分）函數(shù)，，若在定義域上滿足：①?zèng)]有奇偶性；②不單調(diào)；③有最大值，則的取值范圍是．解：由①可知，，即；由③可知，；由②可知，，即，又，則，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．12．（5分）已知實(shí)數(shù)，，，則的取值范圍為．解：因?yàn)?，，所以，即，故，又，，將，看成方程的兩根，則△，即，故，解得．故答案為：．二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）13．（4分）已知，則“成立”是“成立”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也非必要解：若，則，若時(shí)，，若時(shí)，，若時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則“成立”是“成立”的充要條件．故選：．14．（4分）對(duì)于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于A． B． C． D．解：由題意可知，指圖（1）中陰影部分構(gòu)成的集合，所以指圖（2）中陰影部分構(gòu)成的集合，由圖可知，．故選：．15．（5分）已知，點(diǎn)在曲線上，若線段與曲線相交且交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則稱為曲線關(guān)于曲線的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．那么曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．4解：如圖所示：設(shè)線段與曲線的交點(diǎn)為，如圖所示，令點(diǎn)，則點(diǎn)，．由于點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故有，即．故曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)和曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)和曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，故選：．16．（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域在上的解析式可表示為：，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號(hào)為①狄利克雷為偶函數(shù)②狄利克雷為奇函數(shù)③狄利克雷函數(shù)值域?yàn)椋軐?duì)于任意，均有⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點(diǎn)法畫出⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點(diǎn)A．①③④⑥ B．②③⑤ C．①④ D．②④⑥解：狄利克雷函數(shù)，若為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，，，即，若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，，，即，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)是上的偶函數(shù)，故①正確，②錯(cuò)誤；狄利克雷函數(shù)值域?yàn)?，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于任意，有，或1，都是有理數(shù)，，有，故④正確；狄利克雷函數(shù)的圖象不可以通過列表描點(diǎn)法畫出，故⑤錯(cuò)誤；取，，，，得到△為等邊三角形，即在狄利克雷函數(shù)上存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點(diǎn)，故⑥錯(cuò)誤．故選：．三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）17．（14分）命題甲：集合，，且．命題乙：集合，，且．問題：若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．解：命題甲：集合，，且，，解得，當(dāng)命題甲是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為．命題乙：集合，，且，或集合中元素是非正數(shù)，又，中元素是方程的解，當(dāng)時(shí)，△，解得，當(dāng)集合中元素是非正數(shù)時(shí)，設(shè)，是方程的根，，則△且，解得，當(dāng)命題乙是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，命題甲是真命題，命題乙是假命題或命題甲是假命題，命題乙是真命題，當(dāng)命題甲是真命題，命題乙是假命題時(shí)，，得到，當(dāng)命題甲是假命題，命題乙是真命題時(shí)，或，得到，命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．18．（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法．（1）已知實(shí)數(shù)，，，，，滿足．求證：，，，，中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1．（2）已知，，，試比較：、、三者的大小關(guān)系．（3）若實(shí)數(shù)，，，滿足，試比較：和的大小，并指明等號(hào)成立的條件．解：（1）證明：（反證法）假設(shè)，，，，全小于1，即，，，，，所以，這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以，，，，中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1．（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，又，所以，即，又函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以，所以；（3），，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，同號(hào)時(shí)取等號(hào)．19．（14分）由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時(shí)間的關(guān)系，可近似地表示為．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用．（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，綜上，得，即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，即時(shí)，，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值．20．（18分）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑．（1）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）設(shè)，若存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足①，②兩個(gè)條件，求：的取值范圍．①對(duì)于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解．（3）已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，求：集合的元素的可能個(gè)數(shù)．解：（1）①當(dāng)時(shí)，，則，，此時(shí)恒成立，故；②當(dāng)時(shí)，，則，，若，即，令為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故；③當(dāng)時(shí)，若，則，，同②，符合題意；若，則，，同①，符合題意；綜上所述，的取值范圍為；（2）由條件①得，，解得或，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1），又因?yàn)殛P(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解，所以且，所以，，，；（3）①若函數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△，得，實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有2個(gè)解；②若函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△，得，此時(shí)兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，而．即在時(shí)成立，此時(shí)，有4個(gè)解；綜上所述，集合有2個(gè)或4個(gè)元素．21．（18分）對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；（2）若冪函