數(shù)列壓軸題高考

...wd......wd......wd...高考數(shù)列壓軸題選講一、填空題1.數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍〔答：〕；2.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開場(chǎng)為正數(shù)，則公差的取值范圍是______〔答：〕3.函數(shù)由下表定義：假設(shè)，,則的值__________．x12345f(x)3452112.14.．將正偶數(shù)按如以以下圖的規(guī)律排列：24 68 10 1214 16 18 20……則第n〔n≥4〕行從左向右的第4個(gè)數(shù)為．10．5.根據(jù)下面一組等式：…………可得．12．此題是課本中的習(xí)題．考察推理與證明中歸納猜測(cè)，數(shù)學(xué)能力是觀察、歸納意識(shí)．方法一：猜測(cè)．方法二：先求出，然后求和〔對(duì)文科學(xué)生要求較高，不必介紹〕6.13．五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定，第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為2，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為3，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2010個(gè)被報(bào)出的數(shù)為．13．47.eq\F(1,2)eq\F(1,4)eq\F(1,6)eq\F(1,8)eq\F(1,10)eq\F(1,12)eq\F(1,2)eq\F(1,4)eq\F(1,6)eq\F(1,8)eq\F(1,10)eq\F(1,12)eq\F(1,14)eq\F(1,16)eq\F(1,18)eq\F(1,20)eq\F(1,22)eq\F(1,24)……〔第7題圖〕8.〔1〕正整數(shù)按以下方法分組：記第組中各數(shù)之和為；由自然數(shù)的立方構(gòu)成以下數(shù)組：記第組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為則〔2〕、設(shè)，將的最小值記為，則其中=__________________.解析：此題主要考察了合情推理，利用歸納和類比進(jìn)展簡(jiǎn)單的推理，屬容易題13．〔10，494〕〔3〕13〔4〕.觀察以下等式：，，由此得到第個(gè)等式為.9.數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和，則＝_____，＝_____〔答：，〕；10.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù)，前項(xiàng)和為，且，，，則=___．12.【4020】11．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,假設(shè)≤≤，≤≤，則的取值范圍是；11．【解析】由題知?jiǎng)t由不等式性質(zhì)知或線性規(guī)劃知識(shí)可得，令同樣得.12.等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)〔答：〕；13.設(shè)數(shù)列中，，則通項(xiàng)___________。14.等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為〔〕.假設(shè)，則通項(xiàng)公式n+115.數(shù)列滿足：，假設(shè)數(shù)列有一個(gè)形如的通項(xiàng)公式，其中均為實(shí)數(shù)，且，則.〔只要寫出一個(gè)通項(xiàng)公式即可〕14．解：，，，，故周期為314．?dāng)?shù)列滿足,其中為常數(shù)．假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列,則數(shù)列的通項(xiàng)公式．14．【解析】此題是等差等比數(shù)列的綜合問題，可采用特殊化的方法來解決。由題意可知:。假設(shè)是等差數(shù)列，則2a2=a1+a3,得p2-p+1=0;假設(shè)是等比數(shù)列，則〔2p+2〕2=2[p(2p+2)+4],解得p=2.故an=2n.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于客觀題可以采用特殊化的方法，防止復(fù)雜的計(jì)算。求前項(xiàng)和16.設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和。記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng)，則=?！敬鸢浮?【解析】此題主要考察了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值?！緶剀疤崾尽看祟}的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對(duì)進(jìn)展換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎脛e離變量的方法求解.17.設(shè)，則等于18.在等差數(shù)列中，假設(shè)，則該數(shù)列的前2011項(xiàng)的和為201119．在數(shù)列中，假設(shè)對(duì)任意的均有為定值〔〕，且，則此數(shù)列的前100項(xiàng)的和.299解：此數(shù)列只有三個(gè)數(shù)：2；9；3循環(huán)〔第10題圖〕完畢開場(chǎng)輸入nn≤5Tn←－n2＋9〔第10題圖〕完畢開場(chǎng)輸入nn≤5Tn←－n2＋9n輸出TnYN類題：是等差數(shù)列，設(shè)．某學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)求的局部算法流程圖〔如圖〕，圖中空白處理框中是用n的表達(dá)式對(duì)賦值，則空白處理框中應(yīng)填入：←．10．21.設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn=為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。22.等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，，，則的值為_____________13．；23．成等差數(shù)列，將其中的兩個(gè)數(shù)交換，得 到的三數(shù)依次成等比數(shù)列，則的值為．14．2024.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)，則＝_________.分析：此題要求等比數(shù)列的通項(xiàng)，可以先由求出，再利用求出公比q..思路正確，問題在若何求出q如果將的兩邊分別求和，得到q的方程，再解方程求出q，顯然計(jì)算量大，容易出錯(cuò).如果仔細(xì)觀察命題，可以發(fā)現(xiàn)是等比數(shù)列前2n項(xiàng)的和，其中是前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和，是前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和，從整體考慮，可以發(fā)現(xiàn)在等比數(shù)列中＝〔〕q，利用這個(gè)關(guān)系可使構(gòu)造簡(jiǎn)單，便于求解.解：由是等比數(shù)列，得，因?yàn)?，所以?.由，得＝2〔〕，因?yàn)椋健病硄，所以q=2..25．假設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列．例如，假設(shè)數(shù)列是，則數(shù)列是．對(duì)任意的，，則，．26．?dāng)?shù)列滿足：，〔〕，，假設(shè)前項(xiàng)中恰好含有項(xiàng)為，則的值為.14、或解:必然存在一個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列為0,1,1,0,1,10,1,1,0,1,1,假設(shè)，則，;假設(shè)，，不成立;假設(shè)，，;27.數(shù)列滿足則的最小值為__________.【答案】【命題立意】此題考察了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考察了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n所以設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。又因?yàn)?，，所以，的最小值?8.數(shù)列滿足以下條件：，且對(duì)于任意的正整數(shù)，恒有，則的值為14.29..設(shè)函數(shù),A0為坐標(biāo)原點(diǎn)，An為函數(shù)y=f〔x〕圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，向量，向量i=〔1，0〕，設(shè)為向量與向量i的夾角，則滿足的最大整數(shù)n是．13.3解:所以,,又是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù),所以單調(diào)遞增,當(dāng)＝1,2,3時(shí),滿足題意,當(dāng)＝4時(shí),,從而當(dāng)時(shí),所以滿足的最大整數(shù)是3.30.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令假設(shè)數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則.【答案】【解析】將各數(shù)按照絕對(duì)值從小到大排列，各數(shù)減1，觀察即可得解.31．設(shè)首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列前項(xiàng)之和是，假設(shè)不等式對(duì)任意和正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.12．解:由不等式得由于,所以，所以32．在數(shù)列中，，且，則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積的最小值為__________.33．從等腰直角三角形紙片上，按圖示方式剪下兩個(gè)正方形，其中，，則這兩個(gè)正方形的面積之和的最小值為13．634、函數(shù)是定義在上恒不為0的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的，總有成立．假設(shè)數(shù)列的n項(xiàng)和為，且滿足，，則=.14、.35．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)，，則以下四個(gè)命題中真命題的序號(hào)為.①；②；③；④36.數(shù)列滿足，〔〕，記，假設(shè)對(duì)恒成立，則正整數(shù)的最小值為18.1037、等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則38、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)，，，則二、解答題1、函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，記〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，假設(shè)，求的最小值；〔3〕求使不等式對(duì)一切均成立的最大實(shí)數(shù).解：〔1〕由題意得，解得，〔2〕由〔1〕得，①②①-②得.，設(shè)，則由得隨的增大而減小時(shí)，又恒成立，〔3〕由題意得恒成立記，則是隨的增大而增大的最小值為，，即.2、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．〔Ⅰ〕求的值，猜測(cè)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；〔Ⅱ〕將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為〔〕，〔，〕，〔，，〕，〔，，，〕；〔〕，〔，〕，(，，〕，〔，，，〕；〔〕，…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；〔Ⅲ〕設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切都成立假設(shè)存在，求出的取值范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．解：〔Ⅰ〕因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜測(cè)：．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，有上面的求解知，猜測(cè)成立．②假設(shè)時(shí)猜測(cè)成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，注意到，故，．兩式相減，得，所以．由歸納假設(shè)得，，故．這說明時(shí)，猜測(cè)也成立．由①②知，對(duì)一切，成立．〔Ⅱ〕因?yàn)椤病?，所以?shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為〔2〕，〔4，6〕，〔8，10，12〕，〔14，16，18，20〕；〔22〕，〔24，26〕，〔28，30，32〕，〔34，36，38，40〕；〔42〕，….每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，所以．又=22，所以=2010.〔Ⅲ〕因?yàn)?，故，所以．又，故?duì)一切都成立，就是對(duì)一切都成立．設(shè)，則只需即可．由于，所以，故是單調(diào)遞減，于是．令，即，解得，或．綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切都成立的實(shí)數(shù)存在，的取值范圍是．3、點(diǎn)列滿足：，其中，又，.(1)假設(shè)，求的表達(dá)式；(2)點(diǎn)B，記，且成立，試求a的取值范圍；(3)設(shè)〔2〕中的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試求：。解：〔1〕∵，，∴，∴，∴，∴.〔2〕∵，∴.∵∴要使成立，只要，即∴為所求.〔3〕∵，∴∴∵，∴，∴∴4、在上有定義，且滿足時(shí)有假設(shè)數(shù)列滿足?！?〕求的值，并證明在上為奇函數(shù)；〔2〕探索的關(guān)系式，并求的表達(dá)式；〔3〕是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意的，有恒成立假設(shè)存在，求出m的最小值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。5、數(shù)列滿足．〔Ⅰ〕求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，證明．解：(Ⅰ)方法一：，所以．所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．所以，所以．方法二：，，，猜測(cè)．下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展證明．①當(dāng)時(shí)，由題目可知，命題成立；②假設(shè)當(dāng)()時(shí)成立，即，那么當(dāng)，，也就是說，當(dāng)時(shí)命題也成立．綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．〔Ⅱ〕設(shè)則函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，即從而6、二次函數(shù)同時(shí)滿足：①不等式≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立，設(shè)數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和．〔1〕求函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛｝中，所有滿足的整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列｛｝的變號(hào)數(shù)，令〔〕,求數(shù)列｛｝的變號(hào)數(shù)；〔3〕設(shè)數(shù)列｛｝滿足：，試探究數(shù)列｛｝是否存在最小項(xiàng)假設(shè)存在，求出該項(xiàng)，假設(shè)不存在，說明理由．解〔１〕∵不等式≤0的解集有且只有一個(gè)元素∴解得或當(dāng)時(shí)函數(shù)在遞增，不滿足條件②當(dāng)時(shí)函數(shù)在〔０，２〕上遞減，滿足條件②綜上得，即.〔２〕由〔１〕知當(dāng)時(shí)，當(dāng)≥２時(shí)＝＝∴由題設(shè)可得∵，，∴，都滿足∵當(dāng)≥３時(shí)，即當(dāng)≥３時(shí)，數(shù)列｛｝遞增，∵，由，可知滿足∴數(shù)列｛｝的變號(hào)數(shù)為３.〔３〕∵＝,由〔２〕可得：＝＝∵當(dāng)時(shí)數(shù)列｛｝遞增，∴當(dāng)時(shí)，最小,又∵，∴數(shù)列｛｝存在最小項(xiàng)〔或∵＝,由〔２〕可得：＝對(duì)于函數(shù)∵∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)數(shù)列｛｝遞增，∴當(dāng)時(shí)，最小，又∵，∴數(shù)列｛｝存在最小項(xiàng)7、數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：〔a為常數(shù)，且〕．〔Ⅰ〕求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)，假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；〔Ⅲ〕在滿足條件〔Ⅱ〕的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.求證：．解：〔Ⅰ〕∴當(dāng)時(shí)，，即是等比數(shù)列．∴；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，假設(shè)為等比數(shù)列，則有而故，解得，再將代入得成立，所以．〔III〕證明：由〔Ⅱ〕知，所以，由得所以，從而．即．8、數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上且.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足，設(shè)定的值使得數(shù)列是等差數(shù)列；〔3〕求證：.解：(1)∴∴∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)公差d=4∴∴∵∴(2)由得∴∴∴假設(shè)為等差數(shù)列，則∴(3)∴∴9、函數(shù)的定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足：對(duì)任意，總有，；假設(shè)，且，則有．〔1〕求的值；〔2〕試求的最大值；〔3〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求證：．解：〔1〕令，則，又由題意，有〔2〕任取且，則0<的最大值為〔3〕由又由數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，不等式成立，當(dāng)時(shí)，，不等式成立假設(shè)時(shí)，不等式成立。即則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式成立故對(duì)，原不等式成立。10、函數(shù)的圖象按向量平移后便得到函數(shù)的圖象，數(shù)列滿足〔n≥2，nN*〕．〔Ⅰ〕假設(shè)，數(shù)列滿足，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔Ⅱ〕假設(shè)，數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，假設(shè)存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，假設(shè)不存在，說明理由；〔Ⅲ〕假設(shè)，試證明：．解:，則〔n≥2，nN*〕．〔Ⅰ〕，，∴〔n≥2，nN*〕．∴數(shù)列是等差數(shù)列．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，數(shù)