常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法

常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法

對(duì)于由遞推式所確定的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，往往將遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列,

從而使問題簡(jiǎn)單明了。這類問題是高考數(shù)列命題的熱點(diǎn)題型，下面介紹常見涕推數(shù)列求通項(xiàng)的基本求法。

類型1、。向=a.+g(〃)型

解題思路：利用累差迭加法，將氏-氏_]=g("D，。時(shí)1-4"-2=g(”2),…，々一々l=g(l)，各式相

加,正負(fù)抵消，即得明.

例1、在數(shù)列｛%｝中，?1=3,alt+i=an+——-——，求通項(xiàng)公式%.

〃(〃+1)

解：原遞推式可化為：!-——

n〃+1

逐項(xiàng)相加得：--.故/=4一一.

nn

例2.在數(shù)列｛〃“｝中，%=0且%*+2]-1,求通項(xiàng)

解：依題意得，〃[=0,%-4=一生=3,…=2(〃-1)一1=2〃—3,把以上各式相加，得

102(〃-1)(1+2〃-3)/\2

￡

an=1+3+…+2〃-3=--------------------=(7?-])

【評(píng)注】由遞推關(guān)系得，若g(〃)是一常數(shù)，即第一種類型，直接可得是一等差數(shù)列；若41-凡非常數(shù)，

而是關(guān)于〃的一個(gè)解析式，可以肯定數(shù)列冊(cè)不是等差數(shù)列，將遞推式中的〃分別用2,…,4,3,2代入得

〃一1個(gè)等式相加，目的是為了能使左邊相互抵消得%,而右邊往往可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)特殊數(shù)列的和。

例3、已知數(shù)列｛aj滿足a"i=an+2?3n+l,a,=3,求數(shù)列｛a0)的通項(xiàng)公式。

解：由Hn+1=Hn+2-3n+1

得az—an=2,3n+l

則an=(an-anT)+(ax-an_2)+…+匕3-a2)+(a2-a,)+a,

=(2-3n-,+l)+(2?3n-2+l)+---+(2-32+l)+(2-3'+1)+3

-2(3n-'+3n-2+...+32+3,)+(n-l)+3

3-3n

所以a=2---------+n+2=3n+n—1

1-3

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式az=an+2-3n+l轉(zhuǎn)化為a?|-an=2,3n+l,進(jìn)而求出

(an-an_1)+(an_]-an_2)+---+(a3-a2)+(a2-a^+ap即得數(shù)列佰門｝的通項(xiàng)公式。

練習(xí)：

%+]_/=

1、已知｛%＞滿足囚=1〃(〃+1)求｛%｝的通項(xiàng)公式。

2、已知｛"J的首項(xiàng)4=1〃向=4+2〃(〃wN*)求通項(xiàng)公式。

3、已知｛"/中，4=3,"”+1=?！?2‘，求

類型2.an+l=f[n｝an型

解題思路：利用累乘法，將&==—2),…，”=/(1)各式相乘得，

an-\an-2a\

—―—=-一2)…/⑴,即得%.

%Tan-2

例4.在數(shù)列｛%｝中，q=l,0皿=/,求通項(xiàng)

%〃+1

解：由條件等式3一得，

%〃+1

得〃“=L

n

【評(píng)注】此題亦可構(gòu)造特殊的數(shù)列，-~~巴出~=1,則數(shù)列｛〃勺｝是以《為首項(xiàng)，以1

叫

為公比的等比數(shù)列，=%.g"T=14=1得

n

例5、設(shè)數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(〃+1)凡+:一，町:+可+陷〃=。(n=l,2,3…)，則它的通項(xiàng)公式

是%=(2000年高考15題).

解：原遞推式可化為：

+川一+4)=0

a_1%_24_3%jT

則2

62a23a34n

逐項(xiàng)相乘得：幺=4，即明=

axnn

12n-\

a.=—a,.=-----a,.i

練習(xí)：1、己知：3,2n+\n■(〃之2)求數(shù)列MJ的通項(xiàng)。

n

2、已知｛凡｝中，〃+2"且％=2求數(shù)列通項(xiàng)公式。

類型3、an+i=can+d(cw0,cwl)型

解題思路：利用待定系數(shù)法，將all+l=can+d化為all+i+x=c(an+x)的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列｛%+x｝

是以可+X為首項(xiàng)，以C為公比的等比數(shù)列.

例6.數(shù)列｛4｝滿足?！?1=2〃“-1,4=2,求

解：設(shè)%川+%=2（?！?%），即=2%+乂對(duì)照原遞推式，便有工=一1.

故由%討=2/-1,得〃用一1=2（〃“一1）,即也二1二2,得新數(shù)列｛*-1｝是以4-1=2-1=1為首項(xiàng)，以

2為公比的等比數(shù)列。

n

/.an-l=2-\即通項(xiàng)4〃=2"T+I

【評(píng)注】本題求解的關(guān)鍵是把遞推式中的常數(shù)“-1”作適當(dāng)?shù)姆蛛x，配湊成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造出

一個(gè)新的等比數(shù)列。

練習(xí)：1、已知⑸）滿足4=3,%=2〃“+1求通項(xiàng)公式。

2、已知｛"/中，6=1,?！?3?！盻1+2（〃之2）求

分析：構(gòu)造輔助數(shù)列，a〃+l=33i+l）,則%=3”—1

［同類變式］

1、已知數(shù)列｛?！埃凉M足。向=2a〃+（2〃-1）,且4=2,求通項(xiàng)％

分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列｛凡+4〃+力｝使其為等比數(shù)列,

即%+[+2(〃+1)+力=2(。"+kn+b),解得&=2,6=1

求得4=5?2〃T一2〃一1

a_\_a+2n-\

2、已知：卬=1,〃22時(shí)，""一I"，""，求｛明｝的通項(xiàng)公式,

an+An+B=^-[an_1+A(/?-l)+B]

解：設(shè)2

1

%=]%

222

--A=2

2

A=-4

<

22解得：[8=6...6-4+6=3

:.｛。“-4〃+6｝是以3為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列

34/

^-4/?+6=3(-)n-,冊(cè)=尹+4〃-6

3、已知數(shù)列伯馬滿足am=3an+2?3n+l,a,=3,求數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式。

解：a?i=3an+2?3n+l兩邊除以3向，得

M=~+2+_^

3n+,3n33n+,

則舞一料尹擊，

a

故?=(ann-H.a_,a『2、，產(chǎn)『2a.3、，(aaa,

K+r(n\hk0+…+z寸2土H可(

3n3n

,21、，21、，21、213

%+訶）+勺+產(chǎn)）+,+尹）+?"z（3+?）+§

2(n-l)

1

3

號(hào)竽

21I

則a”-nT+--3n——

n322

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an.i=3an+2?3n+l轉(zhuǎn)化為殳4-9=2+」丁，進(jìn)而求出

n+in3n+3n3on+1

（金-黑）+（煞-煞■）+（舞■-黑）+…岸號(hào)）++即得數(shù)列*｝的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列包）

DDJ，J。。D

的通項(xiàng)公式。

類型4.--ca“+g（〃）型

例7已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和Sn滿足S,=2an+2n

（1）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)。1，。2，。3；

（2）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式.

解：(1)由q=S[=2q+2,得《二一2.

由+&=S,=+4,得小=—6,

由q+/+/=S3=2。3+6,得〃3=-14

⑵當(dāng)〃之2時(shí)，有=S“一S"T=2(《，一%)+2,即?！?21-2①

令4+4=2(/T+?，則/=+2，與①比較得,2=-2

.?.{/—2}是以％-2=-4為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列.

M+,

%―2=(-4)?2〃T=一2";故an=-2+2

引申題目：

1、已知｛""｝中，4=1,a”=2〃"T+2“(〃之2)求明

2、在數(shù)列｛冊(cè)｝中，《二—1,。向=2a”+4-3"L求通項(xiàng)公式明。

解：原遞推式可化為：

%+%3"=2(4+/l?3"T)①

比較系數(shù)得4=-4,①式即是：4+[-4?3”-2(/一4?3”一4.

則數(shù)列｛%-4?3”|｝是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)q-4?3i=-5,公比是2.

二%-4.31=-5-2“T

即?！?4?3”T一5?2"7.

3、己知數(shù)列｛aj滿足az=2an+3-2n,a,=2,求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式。

解：a向=2a0+3?2n兩邊除以2向，得*=乙+之，則*-3t=3,

n+in2n+12n22n+12n2

故數(shù)歹U｛3k｝是以2=2=1為首，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得3k=l+(n-l)2,所

n

2n2'2222

以數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式為a0=§n-g)2n。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a1+|-2a0+3.2。轉(zhuǎn)化為安—餐=3,說明數(shù)列｛?｝是等差數(shù)列，再

直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出^-=l+(n-l)-,進(jìn)而求出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式

22

4=1

4、若數(shù)列的遞推公式為《,,則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

[磯=3%一2?3二(〃￡即

4=3

5、若數(shù)列的遞推公式為《,,則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

6、已知數(shù)列｛aj滿足an+i=2an+3-5aa1=6,求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)an+i+x-5z=2(an+x-5n)④

將an.i=2an+3-5n代入④式，得2an+3S+x-5向=2an+2x,5n,等式兩邊消去2a0，得

3-5n+x-5n+,=2x.5n,兩邊除以5“，得3+x-5=2x,則x=-l,代入④式,

得az—5田=2(an—5n)⑤

a_,n+1

n

由％-5=6-5=1蟲)及⑤式，得a0-5^0,則向=2,則數(shù)列區(qū)一5“｝是以d一5:1為首項(xiàng),

a1,-5n

以2為公比的等比數(shù)列，則a-5n=1.21,故an=2nT+5L

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式ae=2an+3-5n轉(zhuǎn)化為a向-5向=2(an-5n),從而可知數(shù)列

｛an-511｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛a0-5n｝的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式。

類型5、取倒數(shù)

例8、已知數(shù)列｛%｝中，其中q=l,,且當(dāng)n22時(shí)，七二%,求通項(xiàng)公式〃

2an_1+1

解：將凡—兩邊取倒數(shù)得：J——!一=2,這說明｛」-｝是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，=1,公

2%+1anan_xan%

差為2,所以」-=1+(〃-l)x2=2〃-1,即—-—.

n

an2n-\

例9、數(shù)列㈤｝中，且q=9。的=產(chǎn)\,求數(shù)列㈤｝的通項(xiàng)公式.

［提示］---=+1

4+12an

解：」一=」~+2〃即勿+I二2+2"

J%

——21

例11、數(shù)列(《J中，2""+凡，《=2,求他』的通項(xiàng)。

,111

bn=一鼠="+—bn=bn,+—

a〃+i〃2〃+i.?.〃"T2〃

1

么一％F

b〃_「b〃_2=,

i122f

練習(xí)：

1、在數(shù)列｛〃“｝中，/=L/+]=%…求明?

?！?3

類型6、取對(duì)數(shù)法

例12若數(shù)列｛%｝中，。尸3且〃川="（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是4=_____（2002年上海高考題）.

解由題意知冊(cè)>0,將〃川=?！?兩邊取對(duì)數(shù)得唔々向=21ga“，即當(dāng)巴以=2,所以數(shù)列｛1g%｝是以

1g%

1g6=Ig3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，1g%=lga,-2"T=lg32"-',即4=32"-'.

例13、已知數(shù)列｛aj滿足a,=7,求數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)锧川=23匕：，a,=7,所以a。〉。，an+1>0o在=23a：式兩邊取常用對(duì)數(shù)得

lgan^=51gan+nlg3+lg2⑩

設(shè)Igan+i+x(n+l)+y=5(lgan+xn-y)?

將⑩式代入。式，得51gan+nlg3+lg2+x(n+l)+y=5(lgan+xn+y),兩邊消去51gan并整理，得

(Ig34-x)n+x+y+lg2=5xn+5y,則

x=妲

lg3+x=5x

V4

x+y+lg2=5yy=皎+叱

164

代入?式，得Iga向+殍(n+l)+等+華

4164

=5(lga“+寫n+臀+學(xué)<0

由lga〔+柜?1+柜+里2=lg7+螞」+柜+皎工0及6式,

141644164

Wlgan+柜n+螞+柜/0,

n4164

螞n+l)+Jg3lg2

lga向++

則4164=5，

Ig3/g2

+』+------十--------

*4164

所以數(shù)列｛lga「十號(hào)"翳號(hào)是以□+*翳詈為首項(xiàng),以5為公比的等比數(shù)列,則

lga0+寫n+整+早=(lg7+寫+整+號(hào))5"，因此

41644164

Igan=(lg7+晝+豆+/)5>|—^n—螞一溟=(lg7+lg3K+愴31+愴2；)5自

4164464

nj_2.-LJ.2-LJJ.-LJL

—Ig37—Ig3正一lg2,=[lg(7-3；?3元-25)]5n-,-lg(3；?3正?2；)=lg(7-34.3正-2*)51

n±I51-n52-1S*1-'5n-4n-1S1*\5n-4n-152-1

-lg(3^-3^-25)=^(75,1-,-3^--3^-2^~)=lg(75n-1-316),則a-i’T脩,2丁。

n

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式an+l=2.3a^轉(zhuǎn)化為

lgaa+9(n+l)+9+^=5(lgan+^n+^+^),從而可知數(shù)列｛Iga。+螞n+螞+幽｝是等

416441644164

比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛Iga。+等n+翳+等｝的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式。

練習(xí)：

】、若數(shù)列的遞推公式為J"一，，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

〔4+1=%(〃sN)

類型7、平方(開方)法

例13、若數(shù)列｛明｝中，。[二2且?！?13+成_[(n>2),求它的通項(xiàng)公式是

解將%=J3+4T兩邊平方整理得一=3。數(shù)列｛〃：｝是以a；=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。

。；=〃；+(〃-i)x3=3〃+1。因?yàn)?〃>0,所以aa=J3〃+1。

【評(píng)注】求遞推數(shù)列的通項(xiàng)的主要思路是通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新的熟知數(shù)列，使問題化陌生為熟悉.我們要根據(jù)不

同的遞推關(guān)系式,采取不同的變形手段,從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.

其他類型：

1、數(shù)列｛%｝中，q=8,%=2且滿足〃“+2=2。“+[一凡1wN"

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)S〃=1%|+|°21+…+1/I，求S“；

⑶設(shè)〃,=——!——(nwN*+…+b&wN'),是否存在最大的整數(shù)〃z,使得對(duì)任意

〃(12—%)

nwN*,均有成立？若存在，求出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

32

解：(1)由題意，。〃+2-。“+I=。〃+1-巴，?.?{%}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

由題意得2=8+3d=d=—2,.?.勺=8-2(〃-1)=10-2〃.

(2)若10-2〃20則〃工5,5時(shí),S〃=161+1%1+…+1/I

8+10—2〃-)

=a]+a2+---+art=---------xn=9n-n~,

a

6時(shí)，Sn=ax+以？+???+。5一46一《7n

2

=S5-(Sn-S5)=2S5-S?=n-9n+40

故§產(chǎn)〃2W5

U2-9/2+406

(3)v.n=—=—1—=V—L)

n(12-an)2/?(n+1)2nn+1

n

T1「八1、/1、/I/I1、/I、1

2223341nn/?+12(n+1)

若7；?對(duì)任意〃wN”成立，即一乙＞2對(duì)任意成立，

?.?/一(〃€N')的最小值是!，.?.％＜二.m的最大整數(shù)值是7。

n+\2162

即存在最大整數(shù)m=7,使對(duì)任意〃eN*,均有，

說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。

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利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值，下面介紹一下利用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)

公式的方法和策略.

一、構(gòu)造等差數(shù)列法

例1.在數(shù)列｛aj中，/=3,nan+i=(n+2)an4-2n(n+l)(n+2),求通項(xiàng)公式an。

解：對(duì)原遞推式兩邊同除以〃5+1)(〃+2)可得：

————=’—+2@

(〃+2)(〃+1)(n+l)w

令或=%②

"(n+1)/1

則①即為〃川=a+2,則數(shù)列｛bn｝為首項(xiàng)是伉==,‘公差是"用一a=2的等差數(shù)列，因而

31|

b=-+2(n-1)=2n——,代入②式中得?！?—〃(〃+1)(4〃-1)。

n222

故所求的通項(xiàng)公式是

an=-?(/?+1)(4?-1)

二、構(gòu)造等比數(shù)列法

1.定義構(gòu)造法

利用等比數(shù)列的定義夕二巴"，通過變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法。

例2.設(shè)在數(shù)列付/中，％=2,%=蟲匕,求｛an｝的通項(xiàng)公式。

2。”

解：將原遞推式變形為

T①

…T②

①/②得：%+/=[%+§2,

*72冊(cè)72

噂淖=2皿4」③

設(shè)a=lg["“十言④

%72

③式可化為巴叢=2,則數(shù)列｛bn｝是以b］=lg［空喳］=lg紀(jì)2=218(應(yīng)十1)為首項(xiàng)，公比為2的等

%ax-V22-V2

比數(shù)列，于是a=21g(、歷+1)X2〃T=2"1g(、歷+1),代入④式得：〃7gw解得

。“-J2

何陵+1尸+1]

為所求。

(V2+1產(chǎn)-1

2。川=Aan+B(A、B為常數(shù))型遞推式

可構(gòu)造為形如。向+/1=A(an+4)的等比數(shù)列。

例3.已知數(shù)列｛〃“｝,其中4=1,。懺］=&7a+2,求通項(xiàng)公式〃〃。

解：原遞推式可化為：。川+1=3(%+1),則數(shù)列&+1｝是以q+1=2為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列,

于是%+1=(勺+1)X3〃T=2X3〃T,故氏=2X3”T-1。

3.4+1=+8?C”(A、B、C為常數(shù)，下同)型遞推式

可構(gòu)造為形如%+i+4?Cn+,=A(a?+A-C")的等比數(shù)列。

例4.己知數(shù)列｛4｝,其中4=1,且〃.=小^"-