人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：2 3 3 點(diǎn)到直線的距離公式-2 3 4 兩條平行直線間的距離

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE12．3.3點(diǎn)到直線的距離公式2．3.4兩條平行直線間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點(diǎn)到直線距離的公式，會(huì)用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩條平行直線間的距離公式，并會(huì)求兩條平行直線間的距離．知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))思考1點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a和直線y＝b的距離怎樣計(jì)算？〖答案〗P(x0，y0)到x＝a的距離d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y(tǒng)＝b的距離d＝|b－y0|.思考2兩直線都與坐標(biāo)軸平行，可以利用公式求距離嗎？〖答案〗可以.應(yīng)用公式時(shí)要把直線方程都化為一般式方程．1．當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式不適用了．(×)2．點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)3．直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離．(√)4．兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離．(√)一、點(diǎn)到直線的距離例1(1)求點(diǎn)P(2，－3)到下列直線的距離．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.解①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化為4x－3y＋1＝0，則點(diǎn)P(2，－3)到該直線的距離為eq\f(|4×2－3×－3＋1|,\r(42＋－32))＝eq\f(18,5).②3y＝4可化為3y－4＝0，則點(diǎn)P(2，－3)到該直線的距離為eq\f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq\f(13,3).(2)求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1,0)的距離是eq\f(3\r(10),5)的直線l的方程．解設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.反思感悟點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)點(diǎn)P(－1,2)到直線2x＋y－10＝0的距離為________．〖答案〗2eq\r(5)(2)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為________．〖答案〗－6或eq\f(1,2)〖解析〗由eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝eq\f(1,2).二、兩平行線間的距離例2(1)求兩條平行直線3x＋4y－12＝0與mx＋8y＋6＝0之間的距離；(2)求到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線的方程．解(1)由兩直線平行得eq\f(3,m)＝eq\f(4,8)，∴m＝6.∴直線6x＋8y＋6＝0即為3x＋4y＋3＝0.∴兩平行直線間的距離d＝eq\f(|3＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(15,5)＝3.(2)設(shè)所求直線方程為3x－4y＋m＝0，由兩平行線間的距離公式得eq\f(|m－1|,\r(32＋－42))＝3，解得m＝16或m＝－14.故所求的直線方程為3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.延伸探究把本例(2)改為“直線l與直線3x－4y＋1＝0平行且點(diǎn)P(2,3)到直線l的距離為3，求直線l的方程”．解由直線l平行于直線3x－4y＋1＝0，可設(shè)l的方程為3x－4y＋c＝0，又點(diǎn)P到l的距離為3，所以eq\f(|3×2－4×3＋c|,\r(32＋－42))＝3.解得c＝21或c＝－9，所以，所求直線方程為3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.反思感悟求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4〖答案〗A〖解析〗由兩條直線平行可得eq\f(5,10)＝eq\f(12,m)，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由兩條平行線間的距離公式得d＝eq\f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.(2)已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是________．〖答案〗x＋2y－3＝0〖解析〗當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩條平行直線的斜率為－eq\f(1,2)，所以直線l1的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.三、距離的綜合應(yīng)用例3兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．解(1)如圖，顯然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的變化范圍為(0,3eq\r(10)〗．(2)由圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，所以所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.反思感悟應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．(2)數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到．當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.當(dāng)m為何值時(shí)，△ABC的面積S最大？解|AC|＝eq\r(4－12＋2－12)＝eq\r(10)，直線AC的方程為eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,4－1)，即x－3y＋2＝0.因?yàn)辄c(diǎn)B(m，eq\r(m))到直線AC的距離d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋－32))，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4))).因?yàn)?<m<4，所以1<eq\r(m)<2，所以0<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4)))≤eq\f(1,4)，0<S≤eq\f(1,8).所以當(dāng)eq\r(m)＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,4)時(shí)，△ABC的面積S最大．1．已知點(diǎn)(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)〖答案〗D〖解析〗由題意知eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，∴a＝±eq\r(2).2．兩平行直線x＋y－1＝0與2x＋2y＋1＝0之間的距離是()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．2D．1〖答案〗A〖解析〗2x＋2y＋1＝0可化為x＋y＋eq\f(1,2)＝0，由兩平行直線間的距離公式，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),4).3．已知點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是()A.eq\r(10) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\r(6) D．3eq\r(5)〖答案〗B〖解析〗點(diǎn)M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為|MP|的最小值，所以|MP|的最小值為eq\f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).4．直線3x－4y－27＝0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．〖答案〗(5，－3)〖解析〗由題意知過點(diǎn)P作直線3x－4y－27＝0的垂線，設(shè)垂足為M，則|MP|最小，直線MP的方程為y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)x－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3，))∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，－3)．5．與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點(diǎn)(－1，－1)距離為2的直線方程為_____