人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：2 5 1 第2課時 直線與圓的方程的應用

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第2課時直線與圓的方程的應用學習目標1.理解并掌握直線與圓的方程在實際生活中的應用.2.會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想解決問題．知識點一解決實際問題的一般程序仔細讀題(審題)→建立數(shù)學模型→解答數(shù)學模型→檢驗，給出實際問題的〖答案〗．知識點二用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，如點、直線，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題．第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．1．一涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓，則該半圓的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．隨建立直角坐標系的變化而變化〖答案〗D2．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數(shù)，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1〖答案〗C〖解析〗圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線x＋y＝1的距離d＝eq\f(|－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直線x＋y＝1與圓x2＋y2＝1相交．故選C.3．已知點A(3,0)及圓x2＋y2＝4，則圓上一點P到點A距離的最大值和最小值分別是________．〖答案〗5,1〖解析〗圓的半徑為2，圓心到點A的距離為3，結(jié)合圖形可知，圓上一點P到點A距離的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.4．如圖，圓弧形拱橋的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，則拱橋的直徑為________m.〖答案〗13〖解析〗設圓心為O，半徑為r，則由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq\f(13,2)，所以拱橋的直徑為13m.一、直線與圓的方程的應用例1一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？解以臺風中心為坐標原點，以東西方向為x軸建立直角坐標系(如圖所示)，其中取10km為單位長度，則受臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓的方程為x2＋y2＝9，港口所對應的點的坐標為(0,4)，輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為eq\f(x,7)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0，圓心(0,0)到l：4x＋7y－28＝0的距離d＝eq\f(28,\r(42＋72))＝eq\f(28,\r(65))，因為eq\f(28,\r(65))>3，所以直線與圓相離．故輪船不會受到臺風的影響．反思感悟解決直線與圓的實際應用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．(2)建系：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素?3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知．(4)還原：將運算結(jié)果還原到實際問題中去．跟蹤訓練1(1)設某村莊外圍成圓形，其所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離是________．〖答案〗eq\f(7\r(2),2)－2〖解析〗從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0的距離減去圓的半徑2，即eq\f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq\f(7\r(2),2)－2.(2)如圖為一座圓拱橋的截面圖，當水面在某位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當水面下降1m后，水面寬為________米．〖答案〗2eq\r(51)〖解析〗如圖，以圓拱橋頂為坐標原點，以過圓拱頂點的豎直直線為y軸，建立直角坐標系．設圓心為C，圓的方程設為x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端點為A，B，則A(6，－2)．將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，則圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當水面下降1米后，可設點A′(x0，－3)(x0>0)，將A′(x0，－3)代入圓的方程，得x0＝eq\r(51)，所以當水面下降1米后，水面寬為2x0＝2eq\r(51)(米)．二、坐標法的應用例2用坐標法證明：若四邊形的一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，則該四邊形的對角線互相垂直．已知：四邊形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求證：AC⊥BD.證明如圖，以AC所在的直線為x軸，過點B垂直于AC的直線為y軸建立直角坐標系，設頂點坐標分別為A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y軸上，∴AC⊥BD.反思感悟(1)坐標法建立直角坐標系應堅持的原則①若有兩條相互垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸．②充分利用圖形的對稱性．③讓盡可能多的點落在坐標軸上，或關于坐標軸對稱．④關鍵點的坐標易于求得．(2)通過建立坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算，求得結(jié)果．所以本例充分體現(xiàn)了數(shù)學建模和數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)．跟蹤訓練2如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且AB⊥CD，E為垂足．利用坐標法證明E是CD的中點．證明如圖所示，以O為坐標原點，以直徑AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設⊙O的半徑為r，|OE|＝m，則⊙O的方程為x2＋y2＝r2，設C(m，b1)，D(m，b2)．則有m2＋beq\o\al(2,1)＝r2，m2＋beq\o\al(2,2)＝r2，即b1，b2是關于b的方程m2＋b2＝r2的根，解方程得b＝±eq\r(r2－m2)，不妨設b1＝－eq\r(r2－m2)，b2＝eq\r(r2－m2)，則CD的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(r2－m2)－\r(r2－m2),2)))，即(m，0)．故E是CD的中點．1．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．1D．3〖答案〗A〖解析〗由題意知，圓C上的點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑，即eq\f(|1－1＋4|,\r(12＋－12))－eq\r(2)＝eq\r(2).2．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值是()A．8B．－4C．6D．無法確定〖答案〗C〖解析〗因為圓上兩點A，B關于直線x－y＋3＝0對稱，所以直線x－y＋3＝0過圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，從而－eq\f(m,2)＋3＝0，即m＝6.3．一輛貨車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為()A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米〖答案〗B〖解析〗以半圓所在直徑為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．易知半圓所在的圓的方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，由圖可知，當貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高，此時x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(負值舍去)．4．圓過點A(1，－2)，B(－1,4)，則周長最小的圓的方程為__________________．〖答案〗x2＋y2－2y－9＝0〖解析〗當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最?。碅B中點(0,1)為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10).則圓的方程為x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.5．已知圓O：x2＋y2＝5和點A(1,2)，則過點A與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為________．〖答