21一元二次不等式解法及運用（精練）

2.1一元二次不等式解法及運用（精練）【題組一不等式的解法】1．（2021·陜西西安市·高三二模）已知“x>2”是“<1”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】，所以是的充分不必要條件.故選:A2．（2021·陜西省漢中中學(xué)高三）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，因此，.故選：A.3．（2021·全國高三）已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值集合是A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，而是的充分不必要條件，即，所以.選.4．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為____________【答案】【解析】由可得或，解得或，即不等式的解集為.故答案為：.5．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為______________.【答案】【解析】不等式等價于，解得.故答案為：.6．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為________【答案】【解析】如下圖所示：根據(jù)圖象可知：當或或時，，所以不等式的解集為：，故答案為：.7．（2020·黑龍江牡丹江市·牡丹江一中）解下列不等式.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）方程的根為：，利用數(shù)軸穿根法可得：所以不等式的解集為；（2）且，解得.【題組二一元二次方程的根與不等式解的關(guān)系】1.（2021年福建）已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a＜0的解集為________．【答案】(2,3)【解析】由題意知－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的兩根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5，))不等式x2－bx－a＜0即為x2－5x＋6＜0，解集為(2,3)．2．(2021湖北黃岡)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是【答案】(1,2)【解析】∵關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－eq\f(b,a)＝1，∴關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,a)))(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集為{x|1<x<2}．故選C.3．（2021·全國高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為或，則關(guān)于的不等式的解集為【答案】【解析】由題意知：，則有，∴，解之得，4．（2021·山西陽泉市·高三期末）在等差數(shù)列中，，滿足不等式的解集為，則數(shù)列的前11項和等于【答案】132【解析】因為不等式的解集為，故為的兩個根，所以，所以等差數(shù)列的前11項和為，5．（2020·四川樂山市·高三月考）已知關(guān)于的不等式的解集是或，則的值是【答案】0【解析】由題知，且1，2是方程的兩根，則，，解得，，則.【題組三一元二次方程的個數(shù)、大小問題】1．（多選）（2021·全國高三專題練習(xí)）下列選項中，關(guān)于x的不等式有實數(shù)解的充分不必要條件的有（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】時必有解，當時，或，故AC符合題意.故選：AC2．（2020·安徽高三月考）已知關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】時，不等式可化為；令，則，當且僅當時，等號成立，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．故選：A．3．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（）A．－3 B．1C．－1 D．3【答案】A【解析】由題意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.故選：A.4．（2021·全國高三專題練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程：有兩個實數(shù)根、，則=（）A． B． C．4 D．4【答案】D【解析】由有兩個實數(shù)根，可得，所以．故選：D．5．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知函數(shù)，則，因為在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為故選：B【題組四一元二次不等式（恒）成立】1．（2021·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三三模（文））對于任意實數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．{a|a<2} B．{a|a≤2}C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}【答案】D【解析】當a－2＝0，即a＝2時，－4<0，恒成立，符合題意；當a－2≠0時，由題意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故選:D．2．（2021·北京高三期末）對，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對，若不等式恒成立，則，因為，所以.故選：C.3．（2020·山東高三月考）“，”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命題“，”為真命題，則，則是的充分不必要條件，故選：D．4．（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知時，不等式恒成立，則的取值范圍為A．(∞，2)∪(3，+∞) B．(∞，1)∪(2，+∞)C．(∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)【答案】C【解析】由題意，因為時，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，則對應(yīng)任意恒成立，則滿足，解得：或，即的取值范圍為.故選：C5．（2021·奉新縣第一中學(xué)高三三模）對任意，函數(shù)的值恒大于零，則的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】對任意，函數(shù)的值恒大于零設(shè)，即在上恒成立.在上是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其圖象為一條線段.則只需線段的兩個端點在軸上方，即，解得或故選：B6．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵對任意的，都有恒成立，∴對任意的恒成立，∵，∴，∴實數(shù)的取值范圍是.故選：D.7．（多選）（2021·全國高三專題練習(xí)）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)可能是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【解析】設(shè)，，則不等式對任意恒成立，即轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，即轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由對勾函數(shù)知在上單減，，故選：ABC8．（多選）（2021·全國高三專題練習(xí)）若，使得成立是假命題，則實數(shù)可能取值是（）A． B． C．3 D．【答案】AB【解析】由條件可知，是真命題，即，即，設(shè)等號成立的條件是，所以的最小值是，即，滿足條件的有AB.故選：AB【題組五含參一元二次不等式的解法】1．（多選）（2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)）對于給定實數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集可能是（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由，分類討論如下：當時，；當時，；當時，或；當時，；當時，或.故選：AB.2．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．【答案】A【解析】因為，所以等價于，又因為當時，，所以不等式的解集為：或．故選：A．3．（2020·全國高三專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】方程的兩根分別為，又，所以，故此不等式的解集為.故選：C4.（2021年各地模擬節(jié)選）解下列關(guān)于x的不等式：（1）（2），若，解上述關(guān)于的不等式．（3）求不等式的解集.（4）.（5）（6）.(7)ax2－2(a＋1)x＋4>0.【答案】見解析【解析】（1）當時，不等式為，解集為；時，不等式分解因式可得當時，故，此時解集為；當時，，故此時解集為；當時，可化為，又解集為；當時，可化為，又解集為.綜上有，時，解集為；時，解集為；時，解集為；時，解集為；時，解集為（2）把化簡得，，①當時，不等式的解為②當，即，得，此時，不等式的解為或③當，即，得或，當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為，④當，得，此時，，解得且，綜上所述，當時，不等式的解為，當時，不等式的解為當時，不等式的解為或，當時，不等式的解為且，當時，不等式的解為或.（3），，①時，，可得；②時，可得若，解可得，或；若，則可得，當即時，解集為，；當即時，解集為，；當即時，解集為．（4）不等式可化為.①當時,,解集為，或；②當時,,解集為；③當時,,解集為，或.綜上所述,當時,原不等式的解集為，或；當時,原不等式的解集為；當時,原不等式的解集為，或.（5）當時，不等式即，解得.當時，對于方程，令，解得或；令，解得或；令，解得或，方程的兩根為.綜上可得，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（6）原不等式可變形為.①當時，則有，即，解得；②當時，，解原不等式得或；③當時，.（i）當時，即當時，原不等式即為，該不等式無解；（ii）當時，即當時，解原不等式得；(iii)當時，即當時，解原不等式可得.綜上所述：①當時，原不等式的解集為；②當時，原不等式的解集為;③當時，原不等式的解集為；④當時，原不等式的解集為；⑤當時，原不等式的解集為.(7)(1)當a＝0時，原不等式可化為－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集為{x|x<2}．(2)當a>0時，原不等式可化為(ax－2)(x－2)>0，對應(yīng)方程的兩個根為x1＝，x2＝2.①當0<a<1時，>2，所以原不等式的解集為或；②當a＝1時，＝2，所以原不等式的解集為{x|x≠2}；③當a>1時，<2，所以原不等式的解集為或.(3)當a<0時，原不等式可化為(－ax＋2)(x－2)<0，對應(yīng)方程的兩個根為x1＝，x2＝2，則<2，所以原不等式的解集為.綜上，a<0時，原不等式的解集為；a＝0時，原不等式的解集為{x|x<2}；0<a≤1時，原不等式的解集為或；當a>1時，原不等式的解集為或.【題組六不等式的性質(zhì)】1．（2021·上海高三二模）設(shè)、均為非零實數(shù)且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．因為，的正負無法確定，故錯誤；B．因為，的正負無法確定，故錯誤；C．因為，的正負無法確定，故錯誤；D．因為，，所以，所以，故正確，故選：D.2．（2021·四川高三三模）已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，由知，不一定成立，故A錯誤；對于B，由，知，故B錯誤；對于C，取，，則，C也不一定成立，故C錯誤；由，知，D項正確.故選：D.3．（多選）（2021·肇慶市百花中學(xué)高三其他模擬）若，則（）A． B．的最小值為10C． D．的最小值為9【答案】AB【解析】因為，所以，，故A正確，C錯誤；因為，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值為10，因此B正確；因為，當且僅當時，等號成立，但，取不到2，所以的最小值不是9，因此D不正確，故選：AB4.（多選）（2021·廣東高三其他模擬）已知，且，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A，令，則，故A不正確；對于B，，當且僅當，即時，等號成立；故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，由，所以，，則，故D正確.故選：BCD.5．（多選）（2021·湖南岳陽市·高三二模）下列結(jié)論正確的是（）A．若a，b為正實數(shù)，，則B．若a，b，m為正實數(shù)，，則C．若a，，則“”是“”的充分不必要條件D．