專題37函數(shù)的圖象（知識點(diǎn)講解）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解真題測試（新教材新高考）

專題3.7函數(shù)的圖象（知識點(diǎn)講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】通過由函數(shù)的性質(zhì)及解析式選圖；由函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)、圖象的變換、數(shù)形結(jié)合解決不等式、方程等問題．與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查兩圖象交點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)、方程解的個數(shù)、不等式的解集等方面的應(yīng)用.凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．【知識點(diǎn)展示】一．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.二．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻轉(zhuǎn)變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.三.常用結(jié)論1．函數(shù)圖象自身的軸對稱(1)f(－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線對稱．2．函數(shù)圖象自身的中心對稱(1)f(－x)＝－f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．3．兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系(1)函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線對稱(由a＋x＝b－x得對稱軸方程)；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，b)對稱；(4)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．【?？碱}型剖析】題型一作函數(shù)的圖象例1.（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題對取特殊值，利用數(shù)形結(jié)合，排除不合題意的選項(xiàng)即得.【詳解】令，當(dāng)時，方程為，即，作出函數(shù)及的圖象，由圖象可知方程的根為或，即或，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯誤；當(dāng)時，方程為，即，由圖象可知方程的根，即，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得方程有四個根，所有根的和為4，滿足題意，故A錯誤.故選：C.例2．（2018·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）當(dāng)，，求的最小值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【詳解】分析：（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖像即可．（2）結(jié)合（1）問可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值詳解：（1）的圖像如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，在成立，因此的最小值為．【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的畫法(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．題型二：函數(shù)圖象的變換例3．（2012·四川·高考真題（文））函數(shù)的圖象可能是

()A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】對進(jìn)行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)圖像平移變換，即可得出答案.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)可以看做函數(shù)的圖象向下平移個單位，由于，則A錯誤；又時，，則函數(shù)過點(diǎn)，故B錯誤；②當(dāng)時，函數(shù)可以看做函數(shù)的圖象向下平移個單位，由于，則D錯誤；又時，，則函數(shù)過點(diǎn)，故C正確；故選：C例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分三步進(jìn)行圖像變換①關(guān)于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话搿驹斀狻竣訇P(guān)于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话牍蔬x：C.【規(guī)律方法】1．平移變換當(dāng)m>0時，y＝f(x－m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向右平移m個單位得到；y＝f(x＋m)的圖象可以由y＝f(x)的圖象向左平移m個單位得到；y＝f(x)＋m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向上平移m個單位得到；y＝f(x)－m的圖象可以由y＝f(x)的圖象向下平移m個單位得到．2．對稱(翻折)變換y＝f(|x|)的圖象可以將y＝f(x)的圖象位于y軸右側(cè)和y軸上的部分不變，原y軸左側(cè)部分去掉，畫出y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對稱的圖形而得到．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象位于y軸上方的部分不變，而將位于y軸下方的部分翻折到y(tǒng)軸上方得到．y＝－f(x)的圖象可將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱而得到．y＝f(－x)的圖象可由y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱得到．題型三：圖象的識別例5．（2022·全國·高考真題（理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.故選：A.例6．（2019·全國高考真題（理））函數(shù)在的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．例7．（2019·浙江·高考真題）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性.例8．（2012·江西·高考真題（理））如圖所示，已知正四棱錐SABCD所有棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分．記SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的體積為V（x），則函數(shù)y=V（x）的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意可知截面下面部分的體積為V（x），不是SE的線性函數(shù)，可采用排除法，排除C，D，進(jìn)一步可排除B，于是得答案．【詳解】由題意可知截面下面部分的體積為V（x），不是SE＝x的線性函數(shù)，可采用排除法，排除C，D；又當(dāng)截面為BDE，即x＝時，V（x）＝，當(dāng)側(cè)棱SC上的點(diǎn)E從SC的中點(diǎn)向點(diǎn)C移動時，即時.,A滿足；故選A．【規(guī)律方法】1.辨析函數(shù)圖象的入手點(diǎn)(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(3)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．(4)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(5)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．2.根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：(1)根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；(2)根據(jù)自變量取不同值時函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．題型四：從圖象到解析式例9.（2022·全國·高考真題（文））如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.例10．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時，，與圖象不符，排除C.故選：D.例11．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）下圖中的函數(shù)圖象所對應(yīng)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性、奇偶性、單調(diào)性以及特殊點(diǎn)，利用排除法即可求解.【詳解】解：根據(jù)圖象可知，函數(shù)關(guān)于對稱，且當(dāng)時，，故排除B、D兩項(xiàng)；當(dāng)時，函數(shù)圖象單調(diào)遞增，無限接近于0，對于C項(xiàng)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故排除C項(xiàng).故選：A.例12．（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖所示的是函數(shù)的圖像，則函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由圖象確定函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否符合要求即可.【詳解】由圖可知：是非奇非偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先正后負(fù)．若，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，與條件矛盾，A錯，若，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，與條件矛盾，B錯，若，則，當(dāng)時，，與所給函數(shù)圖象不一致，D錯，若，則，當(dāng)時，，又，，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與所給函數(shù)圖象基本一致，故選：C．【規(guī)律方法】根據(jù)圖象找解析式，一般先找差異，再驗(yàn)證.題型五：函數(shù)圖象的應(yīng)用例13.（2015·北京·高考真題（理））如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是A． B．C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：如下圖所示，畫出的函數(shù)圖象，從而可知交點(diǎn)，∴不等式的解集為，故選C．考點(diǎn)：1．對數(shù)函數(shù)的圖象；2．函數(shù)與不等式；3．?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．例14.（2015·安徽·高考真題（理））函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)在處無意義，由圖像看在軸右側(cè)，所以，，由即，即函數(shù)的零點(diǎn)，故選C．例15．【多選題】（2021·福建龍巖·高三期中）已知函數(shù)若存在，使得，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．的最大值為4C．的取值范圍是D．的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得，是方程的兩根，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想逐項(xiàng)驗(yàn)證選項(xiàng)可得出答案.【詳解】由題意可知，且，則，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤；作出的圖象，如圖所示，由圖可知的取值范圍是，選項(xiàng)錯誤；因?yàn)?，所以，又則的取值范圍是，選項(xiàng)D正確.故選：AD.例16.（2021·新疆·沙灣縣第一中學(xué)高一期中）定義，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，則函數(shù)F(x)＝min(f(x)，g(x))的最大值為______.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象即可得到的圖象，從而求出其最大值．【詳解】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)定義可知，的圖象如圖所示（實(shí)線部分）：由，解得：或，所以函數(shù)的最大值為．故答案為：．例17.（2012·天津·高考真題（文））已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】【詳解】y＝函數(shù)y＝kx－2的圖象恒過定點(diǎn)M(0，－2)，.當(dāng)k＝1時，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時與直線y＝x＋1平行，此時有一個公共點(diǎn)，∴k∈(0,1)∪(1,4)時，兩函數(shù)圖象恰有兩個交點(diǎn)．點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．例18.（2022·北京東城·三模）已知函數(shù).①對于任意實(shí)數(shù)，為偶函數(shù)；②對于任意實(shí)數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)