12-空間向量基本定理（原卷版）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)題典（人教A版2019選擇性）

?1.2空間向量基本定理知識題型類型空間向量的基本定理空間向量基底的判斷重點(diǎn)利用基底表示空間向量重點(diǎn)空間向量在幾何中的應(yīng)用重點(diǎn)、考點(diǎn)一．空間向量基本定理1.如果三個向量，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得.我們把叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量．2.若，則．二．空間向量的正交分解1.單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．2.向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．三．空間向量的應(yīng)用1.求異面直線的夾角：．2.證明平行：；3.證明垂直：.考點(diǎn)一空間向量基底的判斷考點(diǎn)一空間向量基底的判斷例1在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個基底，則下列命題不正確的是（

）例1A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線 C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線變1已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有（

）變1A．，，共線B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線C．與共線D．O，A，B，C四點(diǎn)共面例2若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是（

）例2A．B．C．D．例3設(shè)，，是不共面的三個單位向量，則下列向量組不能作為空間的基底的一組是（

）例3A．B．C．D．變2已知是空間一個基底，，，一定可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的是（

）變2A．B．C．D．變3已知是空間的一個基底，若，則下列可以為空間一個基底的是（

）變3A．B．C．D．變4已知是空間的一個基底，下列四組向量中，能作為空間一個基底的是（）變4①；②；③；④．A．①②B．②④C．③④D．①③例4已知空間的一個基底為，空間向量，，，若，則______.例4變5已知為空間的一個基底，若，，，，且，則分別為______.變5例5若是一個單位正交基底，且向量，，則______．例5變6設(shè){，，}是是空間向量的一個單位正交基底，，，則______．變6考點(diǎn)二利用基底表示向量考點(diǎn)二利用基底表示向量例1如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）例1A．B．C．D．例2在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，則（）例2A．B．C．D．變1如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（）變1A．B．C．D．變2在三棱錐中，，，，點(diǎn)在棱上，且，為中點(diǎn)，則等于（）變2A．B．C．D．變3在四棱柱中，，，則變3A．B．C．D．例3在四面體中，點(diǎn)是的重心，設(shè)，，，則（）例3A．B．C．D．變4如圖，在四面體OABC中，G是的重心，D是OG的中點(diǎn)，則（）變4A．B．C．D．例4如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)．若，則（）例4A．B．C．D．變5在四棱錐中，底面為平行四邊形，若，，，則（）變5A．B．C．D．考點(diǎn)三空間向量在幾何中的應(yīng)用考點(diǎn)三空間向量在幾何中的應(yīng)用類型一求線段長度類型一求線段長度例1已知平行六面體，，，求.例1例2如圖，在空間四邊形ABCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，點(diǎn)E在邊DA上，且DE＝2EA，F(xiàn)為BC例2（1）用向量，，表示向量；（2）求．變1如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，是的中點(diǎn)，在線段上且．變1（1）用向量，，表示向量；（2）求向量的模長．變2如圖，點(diǎn)、分別是棱長為的正四面體的邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)．變2（1）用向量、、表示和；（2）求、．類型二求異面直線的夾角類型二求異面直線的夾角例如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．例（1）設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．變1在平行六面體中，，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．變1（1）構(gòu)成空間的一個基底，用它們表示，，設(shè)，，．（2）求與的夾角．變2在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點(diǎn).求異面直線MN與BC1所成角的余弦值.變2類型三證明平行和垂直類型三證明平行和垂直例1如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)．求證：．例1變1在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn).求證：MN∥RS.變1例2如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且CG＝CD.例2（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值.例3如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，求證：平面．例3變2如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心．求證：平面PAC.變2變3在所有棱長均為2的三棱柱ABCA1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:變3（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.1.設(shè)向量不共面，則下列可作為空間的一個基底的是（

）A．B．C．D．2.（多選）設(shè)是空間的一個基底，若，，．給出下列向量組可以作為空間的基底的是（

）A．B．C．D．3.已知是空間的一個基底，若，則______.4.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于A．B．C．D．5.在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是A．B．C．D．6.在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則A．B．C．D．7.如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，，則A．B．C．D．8.如圖，在正方體中，O是AC與BD的交