專題03立體幾何（文）（原卷版）

專題03立體幾何（文）立體幾何大題在高考中位于18或者19題位置，并且長時間位于第19題位置，是高考中占據(jù)重要位置的“過關(guān)”型大題，考察知識點的重點難點很穩(wěn)定，以中等偏難為主。文科立體幾何大題，主要考察空間點線面關(guān)系的證明與體積的求解，考察線線、線面、面面平行與垂直的證明，考察點到面的距離和幾何體的表面積與體積求解。主要涉及到空間點線面相互關(guān)系的轉(zhuǎn)化與計算，多把空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系再進(jìn)行計算求解證明。?？碱}型：空間平行關(guān)系的證明，空間垂直關(guān)系的證明，求幾何體的體積，點到面的距離及其應(yīng)用，復(fù)雜幾何體“斜棱柱”綜合應(yīng)用，翻折題型一、空間平行關(guān)系的證明例題、如圖，多面體ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心為M．平面平面ABCD，，，．(1)求證：平面AEFB；(2)在內(nèi)（包括邊界）是否存在一點N，使得平面CEF？若存在，求點N的軌跡，并求其長度；若不存在，請說明理由．證明平行主要證明線面平行，常見思維：1.利用平移法做出平行四邊形2.利用中位線做出平行四邊形3.利用平行原理做出過直線的平面，證明面面平行，再轉(zhuǎn)而得到線面平行（陜西省寶雞教育聯(lián)盟20222023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（五）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點，D為的中點，P為線段AC上的動點．(1)若平面，請確定點在線段上的位置；(2)若點為的中點，求三棱錐的體積．1.（四川省雅安市2023屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面ABC，，，E，F(xiàn)分別為棱AB和的中點.(1)在棱上是否存在一點D，使得平面EFC？若存在，確定點D的位置，并給出證明；若不存在，試說明理由；(2)求三棱錐的體積.2.（上海市閔行區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）如圖，已知圓柱的底面半徑為1，正△ABC內(nèi)接于圓柱的下底面圓O，點是圓柱的上底面的圓心，線段是圓柱的母線．(1)求點C到平面的距離；(2)在劣弧上是否存在一點D，滿足平面？若存在，求出∠BOD的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由．1.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題)小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．2.(全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（遼寧卷）如圖，（I）求證（II）設(shè)二、空間垂直關(guān)系的證明例題、(河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點．(1)證明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱錐的體積；證明垂直，核心思維在于證明線面垂直：1“三垂線定理”這個是最常用的模型2.可以用垂面法來證明線面垂直，尋找垂面是關(guān)鍵。3.面面垂直，主要在于尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，是邊長為2的菱形，，．(1)證明：平面平面；(2)若，求三棱柱的體積．（上海市上海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考模擬3數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，點在平面內(nèi)的射影為A，且，為中點.(1)證明：平面(2)證明：平面平面.1.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.2.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．三、求幾何體的體積例題、已知兩個四棱錐與的公共底面是邊長為4的正方形，頂點，在底面的同側(cè)，棱錐的高，，分別為AB，CD的中點，與交于點E，與交于點F.(1)求證：點E為線段的中點；(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．對于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，底面，，且．(1)求證：；(2)若四棱錐的體積為1，求四棱錐的表面積．1.（上海市七寶中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，垂直于平面，，，，點、分別在線段、上，其中是中點，，連接．(1)當(dāng)時，證明：直線平行于平面；(2)當(dāng)時，求三棱錐的體積．2.（四川省營山縣第二中學(xué)2023屆高三第六次高考模擬檢測數(shù)學(xué)（文科）試題）如圖，，，為圓柱底面圓周上的三個不同的點，，，分別為圓柱的三條母線，且底面圓的半徑為(1)若是底面圓的一條直徑，證明：.(2)若，且四邊形的周長為，求三棱錐體積的最大值.1.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．2.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.四、點到面的距離及其應(yīng)用例題、（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題變式題1620）如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線，P為的中點，Q為的中點，(1)若，證明：平面；(2)設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點B到平面的距離.求點面距的求解方法比較多，常用的技巧：若直接能夠確定點在平面的射影，可考慮用直接法，找出點面距.一般在一些規(guī)則的幾何體中，頂點在底面的射影比較容易確定.如有時要利用兩個平面垂直的性質(zhì)，在其中一個平面內(nèi)作兩個平面交線的垂線即得；如果能夠構(gòu)造出三棱錐，要找的點面距恰好是三棱錐的高，此時利用等體積法比較簡單，但是應(yīng)該明確另一個頂點到對應(yīng)底面的距離和底面面積兩個量，才能順利求解，計算過程較為麻煩，但是不用添加輔助線找垂線段.（3）若不易找出射影位置，可考慮利用轉(zhuǎn)移的方法，即把不易求的點到平面的距離借助轉(zhuǎn)移手法，變?yōu)榍罅硗庖稽c到平面的距離，然后通過這兩點到平面的距離的數(shù)量關(guān)系求得所求距離的方法，常用的手段有平行轉(zhuǎn)移和等比例轉(zhuǎn)移.（四川省樂山市高中2023屆高三第一次調(diào)查研究考試文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面，底面滿足，且，，三角形的面積為(1)畫出平面和平面的交線，并說明理由(2)求點到平面的距離1.（寧夏六盤山高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.(1)求證：；(2)求點到平面的距離.2.（陜西省咸陽市乾縣第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，直三棱柱中，，為上的中點.(1)證明：平面平面;(2)若，求點到平面的距離.1.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．2.如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．五、復(fù)雜幾何體：斜棱柱綜合應(yīng)用例題、（河南省商丘市部分學(xué)校20222023學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測試（三）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱的長為，，分別是棱，的中點，平面平面，且．(1)求證：；(2)若三棱柱的側(cè)面積為，求它的體積．對于文科而言，復(fù)雜的幾何體之一“斜棱柱”，一般條件中必有面面垂直，借助于面面垂直，可構(gòu)建線面垂直，以及線線垂直，也能借此求解出斜棱柱的高等其他數(shù)據(jù)。如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．1.（四川省南充高級中學(xué)2023屆高考模擬檢測七文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行六面體中，分別是的中點，側(cè)面平面．(1)求證：平面;(2)試求三棱錐體積．2.（四川省成都市2023屆高三診斷性檢測數(shù)學(xué)（文科）試題）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示．四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面．（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點，證明：平面平面．1.（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷））在平行六面體中，,．求證：（1）；（2）．2.（普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））如圖所示，點為斜三棱柱的側(cè)棱上一點，交于點，交于點．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．六、綜合應(yīng)用：翻折型例題、某校積極開展社團(tuán)活動，在一次社團(tuán)活動過程中，一個數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）.(1)若O是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.翻折題型，翻折前在同一個平面內(nèi)，點、線之間相對位置關(guān)系不變。解答翻折題時，要先研究翻折前的平面圖形，然后對應(yīng)平線圖形研究翻折后的立體圖形，尋找折疊前后圖形中的不變量是解決問題的關(guān)鍵之一。要通過表面，截面，展開，射影等等手段，將空間中能夠的條件盡量集中在同一平面中（四川省雅安市2023屆高三零診考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖①，為邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別為AB，AC上靠近A的三等分點，現(xiàn)將沿EF折起，使點A翻折至點P的位置，滿足，如圖②所示．(1)若H為PC上靠近P的一個三等分點，求證：直線平面PBE；(2)求四棱錐的體積．1.（貴州省貴陽市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題）如圖①，在梯形中，，E為中點，現(xiàn)沿將折起，如圖②，其中F，G分別是的中點．(1)求證：平面；(2)若，求點B到平面的距離．2.（2023屆高三全國學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測2月大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖①，在平面四邊形中，，，．將沿著折疊，使得點到達(dá)點的位置，且二面角為直二面角，如圖②．已知分別是的中點，是棱上的點，且與平面所成角的正切值