人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題及答案

人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案）1．方程3x2－4x－1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（）A．3和4 B．3和－4 C．3和－1 D．3和12．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一個(gè)根，則a的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．33．將二次函數(shù)y=（x﹣1）2﹣2的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后頂點(diǎn)為（）A．（1，3） B．（2，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，1）4．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，且，則的度數(shù)等于（）A． B． C． D．5．已知二次函數(shù)y=3（x﹣1）2+k的圖象上有三點(diǎn)A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y16．如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，AC＋BD＝12，則四邊形ABCD的面積最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點(diǎn)O，則四邊形AB1OD的面積是（）A． B． C． D．8．若二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．定義符號(hào)min{a，b}的含義為：當(dāng)a≥b時(shí)min{a，b}=b；當(dāng)a＜b時(shí)min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．則min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A． B． C．1 D．010．下列圖形中既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形的是（）A．等邊三角形B．平行四邊形C．正五邊形D．正方形二、填空題11．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則_________.12．“武漢櫻花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2014年約為30萬人次，2016年約為40萬人次，設(shè)觀賞人數(shù)年平均增長率為，則根據(jù)題意可列方程________.13．已知二次函數(shù)，若，則y的取值范圍為______．14．二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則的值為__________．15．若∠BAC＝150°，D、E為線段BC上的兩點(diǎn)，∠DAE＝60°，且AD＝AE．若DE＝3，CE＝5，則BD的長為__________．16．二次函數(shù)，若對(duì)滿足的任意都有成立，求實(shí)數(shù)的范圍_______．三、解答題17．解一元二次方程：（1）（2）18．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E是AB邊上的點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，∠DEF＝．（2）若AE＝1，求DF和EF19．來自武漢高校的若干個(gè)社團(tuán)參加了“敢為人先，追求卓越”的城市精神的研討會(huì)，參加研討會(huì)的每兩個(gè)社團(tuán)之間都簽訂了一份合作協(xié)議，所有社團(tuán)共簽訂了45份協(xié)議，共有多少個(gè)社團(tuán)參加研討會(huì)？20．如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（1，0）、C（3，1）（1）將△ABC關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換得△A1B1C1，則點(diǎn)C1的坐標(biāo)為．（2）將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得△A2B2C2，則點(diǎn)C2的坐標(biāo)為．（3）在（1）（2）的基礎(chǔ)上，圖中的△A1B1C1、△A2B2C2是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心的坐標(biāo)為．（4）若以點(diǎn)D、A、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為．21．一個(gè)矩形菜園（如圖），其中一邊靠墻，另外三邊用長為的籬笆圍成，墻長，設(shè)平行于墻的邊長為.（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍.（2）求菜園的最大面積.22．關(guān)于的方程的兩根時(shí)等腰三角形的底和腰，且這樣的等腰三角形有且只有一個(gè)，求的范圍.23．已知，點(diǎn)A（8，0）、B（6，0）．將線段OB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α到OC，連接AC．將AC繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度β至AD，連接OD（1）當(dāng)α＝30°，β＝60°時(shí)，求OD的長（2）當(dāng)α＝60°，β＝120°時(shí)，求OD的長（3）已知E（10，0），當(dāng)β＝90°時(shí)，改變的大小，求ED的最大值24．如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)拱頂離水面3m時(shí)，水面寬6m．(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；(2)如果水面上升1m，則水面寬度減少多少米？25．已知拋物線頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，與y軸交于點(diǎn)B，OB＝1，△OAB為等腰直角三角形（1）求拋物線的解析式（2）若點(diǎn)C在拋物線上，若△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）已知直線DE過點(diǎn)（－1，－4），交拋物線于點(diǎn)D、E，過D作DF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，求證：直線EF經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)參考答案1．B【詳解】方程3x2－4x－1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)是3，和一次項(xiàng)系數(shù)是-4.故選B.2．B【分析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．【詳解】解：把x＝1，代入方程x2+ax+2＝0得，1+a+2＝0，即a＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)一元二次方程的根求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題目．3．B【詳解】二次函數(shù)y=（x﹣1）2﹣2的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1，即y=（x﹣2）2﹣1，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），故選B．4．C【分析】由題意根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△ADE，然后利用全三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=60°.?故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義的有關(guān)知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.5．D【解析】試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝3(x－1)2＋k，可知函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為x=1，根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性，可得這三點(diǎn)的函數(shù)值的大小為y3＞y2＞y1.故選D點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題時(shí)先根據(jù)頂點(diǎn)式求出開口方向，和對(duì)稱軸，然后根據(jù)函數(shù)的增減性比較即可，這是中考?？碱}，難度有點(diǎn)偏大，注意結(jié)合圖形判斷驗(yàn)證.6．B【分析】設(shè)AC=x，BC=12-x，根據(jù)題意表示出四邊形的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：設(shè)AC=x，BC=12-x，則四邊形ABCD的面積的面積為：．所以，當(dāng)x=6時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，為18．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象，根據(jù)題意用含x的代數(shù)式表示出四邊形ABCD的面積是解此題的基礎(chǔ)，掌握二次函數(shù)的圖象是解此題的關(guān)鍵．7．C【分析】連接AC1，AO，根據(jù)四邊形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三點(diǎn)共線，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，進(jìn)而求出DC1=OD，根據(jù)三角形的面積計(jì)算即可．【詳解】連接AC1，∵四邊形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°-45°=45°，∴AC1過D點(diǎn)，即A、D、C1三點(diǎn)共線，∵正方形ABCD的邊長是1，∴四邊形AB1C1D1的邊長是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=，則DC1=-1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=-1，∴S△ADO=×OD?AD=，∴四邊形AB1OD的面積是=2×=-1，故選C．8．C【詳解】分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式的二次項(xiàng)系數(shù)判定該函數(shù)圖象的開口方向、根據(jù)頂點(diǎn)式方程確定其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而知該二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解答：解：∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=（x-m）2-1的二次項(xiàng)系數(shù)是1，∴該二次函數(shù)的開口方向是向上；又∵該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，-1），∴該二次函數(shù)圖象在x＜m上是減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，且對(duì)稱軸為直線x=m，而已知中當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，∴x≤1，∴m≥1．故選C．9．A【分析】理解min{a，b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】在同一坐標(biāo)系xOy中,畫出函數(shù)二次函數(shù)y=?x2+1與正比例函數(shù)y=?x的圖象，如圖所示，設(shè)它們交于點(diǎn)A.B.令,即解得：或，∴觀察圖象可知：①當(dāng)時(shí),=,函數(shù)值隨x的增大而增大,其最大值為②當(dāng)時(shí),=?x,函數(shù)值隨x的增大而減小,其最大值為③當(dāng)時(shí),=,函數(shù)值隨x的增大而減小,最大值為,綜上所示,的最大值是故選A.【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)，正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解運(yùn)算定義的內(nèi)涵，結(jié)合圖象求解，注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.10．D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)識(shí)別即可，在平面內(nèi)，一個(gè)圖形經(jīng)過中心對(duì)稱能與原來的圖形重合，這個(gè)圖形叫做叫做中心對(duì)稱圖形；一個(gè)圖形的一部分，以某條直線為對(duì)稱軸，經(jīng)過軸對(duì)稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形.【詳解】A.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B.平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；C.正五邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D.正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.11．【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案．【詳解】解：由題意，得a=-1，b=-2，a+b=-1-2=-3，故答案為-3．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律得出a，b是解題關(guān)鍵．12．【分析】設(shè)觀賞人數(shù)年均增長率為x，根據(jù)2014及2016年的觀賞人次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：設(shè)觀賞人數(shù)年平均增長率為x，由題意得.故答案為?.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．【分析】先利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得到y(tǒng)的最小值，然后再求得最大值即可．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)，y有最小值，最小值為．，當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為．的取值范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．1或或0【分析】由二次函數(shù)y=x2+2mx+1的圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，分兩種情況討論即可．【詳解】解：當(dāng)圖象的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，∵二次函數(shù)y=x2+2mx+1的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x±1）2，∴m=±1．當(dāng)圖象的頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，m=0，故答案為1或?1或0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì)．15．【分析】作AH⊥BC，則可得出DH=EH=，，，再作EF⊥AD交于點(diǎn)F，AG∥EF交BC于點(diǎn)G，再證，利用相似三角形的性質(zhì)得出BC的值，從而得出BD的值．【詳解】解：如圖，作AH⊥BC，∵∠DAE＝60°，且AD＝AE．DE＝3，∴DH=EH=，，，再作EF⊥AD交于點(diǎn)F，AG∥EF交BC于點(diǎn)G，則∠AEF=∠DEF=30°，GE=DE=3，∴CG=2，∵∠BAC＝150°，∴∠BAC=∠AGC=150°，∵∠C=∠C，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識(shí)、平行分線段成比例定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出鋪助線是解答本題的關(guān)鍵．16．【分析】由對(duì)滿足的任意都有成立，用含x的代數(shù)式表示出a的取值范圍，然后討論含x的代數(shù)式的取值即可求出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】∵對(duì)滿足的任意都有成立，∴，即對(duì)成立，∵當(dāng)時(shí)，的值隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=3時(shí)，取得最大值，∵對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)都有成立，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題的解法，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，注意運(yùn)用討論二次項(xiàng)的系數(shù)和參數(shù)分離，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.17．（1）；（2），.【分析】（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可；【詳解】（1）∵，∴，∴，∴(x-1)2=3，∴x-1=±,∴;（2）∵,∴,∴x-4=0,或x+5=0,∴，.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵.18．（1）見解析，；（2），【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出DE=DF，∠EDF=90°，即可得出答案；（2）利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）畫圖如下：∵DE=DF，∠EDF=90°∴．故答案為：45°．（2）∵AE＝1，AD＝3，∴；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出DE=DF，∴，∵DE=DF，∠EDF=90°，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)，比較基礎(chǔ)，易于掌握．19．10個(gè).【分析】因?yàn)閰⒓友杏憰?huì)的每兩個(gè)社團(tuán)之間都簽訂了一份合作協(xié)議，設(shè)有x個(gè)社團(tuán)參加，則每個(gè)社團(tuán)要簽（x-1）份合同，簽訂合同共有份，由題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)有個(gè)社團(tuán)參加，依題意，得解得：，（舍去）.答：共有10個(gè)社團(tuán)參加研討會(huì)【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的一般思路是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．20．（1）見解析，；（2）見解析，；（3）；（4）見解析，【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出C2點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）成中心對(duì)稱圖形，畫出兩條對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，交點(diǎn)就是對(duì)稱中心；

（4）由圖可知，菱形的邊長為，即可確定D的位置．【詳解】解：如下圖所示，（1）點(diǎn)C1的坐標(biāo)為：；（2）點(diǎn)C2的坐標(biāo)為：；（3）對(duì)稱中心的坐標(biāo)為：；（4）點(diǎn)D的坐標(biāo)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換與軸對(duì)稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）108m2.【分析】（1）由(總長度-平行于墻的兩邊的長度)÷垂直于墻這邊的長度即可寫出函數(shù)解析式，根據(jù)墻的長度就可以求出x的取值范圍；（2）由長方形的面積公式建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出其解即可．【詳解】（1）（0＜x≤12）；（2）設(shè)菜園的面積是S，則S=xy==,?∴對(duì)稱軸為x=15，當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=12時(shí)，S有最大值，此時(shí).答：菜園的最大面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，找出題目中的等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．22．或或.【分析】根據(jù)題意先求出方程的根，然后分情況討論求解即可.【詳解】解：兩個(gè)根為，，（1）當(dāng)為腰，為底時(shí)，，解得：；（2）當(dāng)為腰，為底時(shí)，，解得：，這樣的等腰三角形有且只有一個(gè)，所以或，當(dāng)?shù)缀脱嗟?，即等邊時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵.23．（1）；（2）；（3）最大值為【分析】（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，，證明，再證明后利用勾股定理求解即可；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，，證明，所以．再證明，利用勾股定理即可求出；（3）將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，可得點(diǎn)N(8,8)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出，當(dāng)點(diǎn)D在線段NE上時(shí)，DE有最小值，當(dāng)D在線段NE的延長線上時(shí)，DE有最大值，最大值為．【詳解】解：（1）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，，則是等邊三角形，∴∴∴，即∴∴∵∴∴∴；（2）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，，則是等邊三角形，∵∴，∵∴∴∴∴∵∵∴∴；（3）如圖，將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接AN、DN、EN，可得點(diǎn)N(8,8)，則由（1）得，∴∴當(dāng)點(diǎn)D在線段NE上時(shí)，DE有最小值，最小值為：；當(dāng)D在線段NE的延長線上時(shí)，DE有最大值，最大值為：；∴DE最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等的判定于性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是將線段AO按AC得旋轉(zhuǎn)方式旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而構(gòu)造全等三角形和直角三角形求解．24