61分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理精講

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一、分類加法計數(shù)原理1、定義：完成一件事情有類不同的方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第類方案中有種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法。【注意】完成這件事的類方案是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以獨立完成這件事，而不需要在用其他的方法。2、解題思路：（1）分類：將完成這件事的方法分成若干類；（2）計數(shù)：求出每一類的方法數(shù)；（3）結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果。3、應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項：（1）根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；（2）分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復；（3）分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏。二、分步乘法計數(shù)原理1、定義：完成一件事需要個步驟，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法。【注意】完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不能完成。2、解題思路：（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步；（2）計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；（3）結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果。三、兩種計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點1完成一件事有類不同方案，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事需要個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”不同點2每類方案都能獨立完成這件事情，且每種方法得到的最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事不同點3各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復四、兩種計數(shù)原理綜合應(yīng)用1、用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析—需要分類還是需要分步；2、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；3、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。五、解決計數(shù)問題常用的方法1、枚舉法：將各種情況通過樹形圖法、列表法意義列舉出來，適用于計數(shù)種數(shù)較少的情況；2、間接法：若計數(shù)時分類較多或無法直接計數(shù)時，可先求出沒有限制條件的種數(shù)，再減去不滿足條件的種數(shù)；3、字典排序法：（1）字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，則排列結(jié)束。（2）利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可以解決與排列順序有關(guān)的計數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排雷不重不漏地一一列舉出來。4、模型法：通過構(gòu)造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助分析和解決問題。題型一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】（2022秋·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期中）某學校開設(shè)4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（）A．40種B．20種C．15種D．11種【答案】D【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有種．故選：D【變式11】（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┈F(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（）A．7種B．9種C．14種D．70種【答案】C【解析】分為三類：從國畫中選，有2種不同的選法；從油畫中選，有5種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法;故選：C【變式12】（2023·全國·高二專題練習）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（）．A．18個B．15個C．12個D．9個【答案】B【解析】由題知后三位數(shù)字之和為4，當一個位置為4時有004，040，400，共3個；當兩個位置和為4時有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9個；當三個位置和為4時112，121，211，共3個，所以一共有15個.故選：B【變式13】（2022·高二課時練習）如圖，將鋼琴上的個鍵依次記為，，…，．設(shè)，若且，則稱，，為大三和弦；若且，則稱，，為小三和弦．用這個鍵可以構(gòu)成的大三和弦與小三和弦的個數(shù)之和為（）A．5B．8C．10D．15【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，大三和弦滿，，所以有5種情況，即，，；，，；，，；，，；，，．小三和弦滿足，，所以有5種情況，即，，；，，；，，；，，；，，．故大三和弦與小三和弦個數(shù)之和為，故選:C．題型二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】（2022秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學?？计谀?位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，如果規(guī)定每位同學必須報名，則不同的報名方法共有（）A．10種B．20種C．25種D．32種【答案】D【解析】如果規(guī)定每位同學必須報名，且每位同學限報其中的一個小組，每個同學都有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知不同的報名方法共有（種），故選：D．【變式21】（2022秋·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（）A．13種B．22種C．30種D．60種【答案】D【解析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法，故選：D．【變式22】（2022春·福建·高二福建師大附中?？计谥校┧拿麕煼渡鷱腁，B，C三所學校中任選一所進行教學實習，其中A學校必有師范生去，則不同的選法方案有（）A．37種B．65種C．96種D．108種【答案】B【解析】若不考慮限制條件，每人都有3種選擇，則共有種方法，若沒有人去A學校，每人都有2種選擇，則共有種方法，故不同的選法方案有種.故選:B.【變式23】（2022·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)有（）A．120B．90C．48D．12【答案】A【解析】根據(jù)題意，陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)的組合可以為，，，，，共6種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有（個）.故選:A.題型三兩種計數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】（2022春·湖北十堰·高二十堰東風高級中學?？茧A段練習）某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊，2、5、6班組成聯(lián)盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（）A．32B．34C．36D．38【答案】C【解析】在循環(huán)賽階段，4個小組，每個小組由4支球隊組成，每個球隊都要進行三場比賽，故每組要進行場，4組要進行場；在淘汰賽階段，第一輪：8支球隊，2支一場，則共進行；第二輪：8支球隊，2支一場，共進行場，此時決出分別爭奪冠亞軍、第三四名、第五六名、第七八名的球隊，再進行4場，決出冠軍、亞軍、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.綜上，可得共進行場.故選：C.【變式31】（2022·河南安陽·校聯(lián)考模擬預測）為推動就業(yè)與培養(yǎng)有機聯(lián)動?人才供需有效對接，促進高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實施供需對接就業(yè)育人項目.現(xiàn)安排甲?乙兩所高校與三家用人單位開展項目對接，若每所高校至少對接兩家用人單位，則不同的對接方案共有（）A．15種B．16種C．17種D．18種【答案】B【解析】甲高校與用人單位對接的方案種數(shù)為，同理，乙高校與用人單位對接的方案種數(shù)為，故不同的對接方案共有種．故選：B．【變式32】（2022春·福建泉州·高二福建省德化第一中學?？茧A段練習）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）A．36B．18C．9D．6【答案】C【解析】由題可知，中間格只有一種放法；十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放法，或每種都放兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；所以不同放法共有種.故選：C.【變式33】（2022春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（）A．3B．6C．7D．8【答案】D【解析】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，從甲村到乙村再到丙村的走法有種，所以從甲村到丙村的走法共有種.故選:D.題型四代數(shù)中的計數(shù)問題【例4】（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，若從這兩個集合中各取一個元素作為點的橫坐標或縱坐標，則可得平面直角坐標系中第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是（）A．18B．16C．14D．10【答案】C【解析】分兩類情況討論：第一類，從中取的元素作為橫坐標，從中取的元素作為縱坐標，則第一、二象限內(nèi)的點共有（個）；第二類，從中取的元素作為縱坐標，從中取的元素作為橫坐標，則第一、二象限內(nèi)的點共有（個），由分類加法計數(shù)原理，所以所求個數(shù)為．故選：C【變式41】（湖北省十七所重點中學2023屆高三下學期2月第一次聯(lián)考數(shù)學試題）設(shè)集合，則集合S的元素個數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對每個，在中的從屬關(guān)系有以下101種：（1），（2），（3），…（101）．由分步乘法計數(shù)原理，集合S中共個元素．故選：D【變式42】（2023·全國·高二專題練習）如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱a為“好數(shù)”(如：6，24，2013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，則n＝（）A．50B．51C．52D．53【答案】B【解析】本題可以把數(shù)歸為“四位數(shù)”(含0006等)，因此比2013小的“好數(shù)”為0×××，1×××，2004，共三類數(shù)，第一類可分為：00××，01××，…，0600，共7類，共有7＋6＋…＋2＋1＝28個數(shù)；第二類可分為：10××，11××，…，1500，共6類，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個數(shù)，第二類可分為：2004，共1個故2013為第28+21+1+1=51個數(shù)，故n＝51.故選：B.【變式43】（2023·全國·高二專題練習）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取兩個，其中一個作為底數(shù)，另一個作為真數(shù)，則可以得到不同對數(shù)值的個數(shù)為（）A．64B．56C．53D．51【答案】C【解析】由于1只能作為真數(shù)，則以1為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，對數(shù)值均為0，從除1外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成個對數(shù)式，其中，，，，，重復了4次，所以得到不同對數(shù)值的個數(shù)為.故選：C題型五數(shù)字排列計數(shù)問題【例5】（2022春·湖南長沙·高二長沙縣實驗中學統(tǒng)考期末）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字（允許重復），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（）A．7B．9C．10D．13【答案】C【解析】其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1，1，4三個數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個；②由1，2，3三個數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個；③由2，2，2三個數(shù)字可以組成1個三位數(shù)，即222．共有個，故選：C．【變式51】（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）用1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個數(shù)為（）A．6B．12C．16D．24【答案】B【解析】先排個位，有4種排法，再排十位，有3種排法，因此共有種排法，故選：B.【變式52】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┯脭?shù)字0，1，2，3，4組成允許有重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)個數(shù)為（）A．125種B．100種C．64種D．60種【答案】B【解析】首先排百位數(shù)字，只能是1，2，3，4中的一個，故有4種排法，因為允許有重復數(shù)字，故十位與個位均有5種排法，故一共有種；故選：B【變式53】（2022秋·廣西欽州·高二浦北中學統(tǒng)考期末）用0，1，2，3，，9這十個數(shù)字.（1）可組成多少個三位數(shù)？（2）可組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（3）可組成多少個小于500且沒有重復數(shù)字的自然數(shù)？【答案】（1）900；（2）648；（3）379.【解析】（1）要確定一個三位數(shù)，可分三步進行：第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；第三步，確定個位數(shù)，有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種.（2）要確定一個無重復數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進行：第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個位數(shù)，有8種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有個無重復數(shù)字的三位數(shù).（3）由已知，小于500且沒有重復數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類，第一類，滿足條件的一位自然數(shù)：有10個，第二類，滿足條件的兩位自然數(shù)：有個，第三類，滿足條件的三位自然數(shù)：第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1，2，3，4，有4種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個位數(shù)，有8種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有個.由分類加法計數(shù)原理知共有，共有379個小于500且無重復數(shù)字的自然數(shù).題型六涂色計數(shù)問題【例6】如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種方法，所以，由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案