廣州黃埔區(qū)第二中學(xué)2024年高三3月高考診斷性測試(一模)數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

廣州黃埔區(qū)第二中學(xué)2024年高三3月高考診斷性測試(一模)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.2.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個(gè)向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.3.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}4.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動,則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值5.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.6.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術(shù)”,則()A.48 B.63 C.99 D.1207.在正方體中,E是棱的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn),且與平面的垂線垂直,如圖所示,下列說法不正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B.與BE是異面直線C.與不可能平行 D.三棱錐的體積為定值8.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.9.己知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)分別在拋物線上,且,直線交于點(diǎn),,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.610.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布,則,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%11.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.12.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于________.14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究,從其中一些數(shù)學(xué)用語可見,譬如“憋臑”意指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖(圖中網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長為1)如圖所示,已知幾何體高為,則該幾何體外接球的表面積為__________.15.記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長,若,則的取值范圍是.16.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí),需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若存在實(shí)數(shù),使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長.21.(12分)已知在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,,且.(1)求的值;(2)求的面積.22.(10分)設(shè)數(shù)陣,其中、、、.設(shè),其中,且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一行,若其中有或,則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以;若其中沒有且沒有,則這一行中所有數(shù)均保持不變”(、、、).表示“將經(jīng)過變換得到,再將經(jīng)過變換得到、,以此類推,最后將經(jīng)過變換得到”,記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.(1)若,寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)若,,求的值;(3)對任意確定的一個(gè)數(shù)陣,證明:的所有可能取值的和不超過.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡單題目.3、B【解析】

按補(bǔ)集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.5、A【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。6、C【解析】

觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義,體積公式分別進(jìn)行判斷.【詳解】對于,設(shè)平面與直線交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面內(nèi)的相交直線平面平面,由此結(jié)合平面,可得直線平面,即點(diǎn)是線段上上的動點(diǎn).正確.對于,平面平面,和平面相交,與是異面直線,正確.對于,由知,平面平面,與不可能平行,錯(cuò)誤.對于,因?yàn)椋瑒t到平面的距離是定值,三棱錐的體積為定值,所以正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.8、B【解析】

采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?,其關(guān)于原點(diǎn)對稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選A排除;對于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.9、D【解析】

作,垂足為,過點(diǎn)N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進(jìn)而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點(diǎn),即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過點(diǎn)N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因?yàn)?,所以為線段的中點(diǎn),所以F到l的距離為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.10、B【解析】試題分析:由題意故選B.考點(diǎn):正態(tài)分布11、C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.12、A【解析】

分別代值計(jì)算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),

,

,

,

…,

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,

,

故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用:求數(shù)列中的項(xiàng),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可知直線過拋物線的焦點(diǎn),求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離,進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過定點(diǎn),,而拋物線的焦點(diǎn)為,,弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì),考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.14、【解析】三視圖還原如下圖:,由于每個(gè)面是直角,顯然外接球球心O在AC的中點(diǎn).所以,,填?!军c(diǎn)睛】三視圖還原,當(dāng)出現(xiàn)三個(gè)尖點(diǎn)在一個(gè)位置時(shí),我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,而直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等,所以本題的球心為AC中點(diǎn)。15、【解析】試題分析:顯然,又,①當(dāng)時(shí),,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是(1,1)和,從而②當(dāng)時(shí),,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點(diǎn):不等式、簡單線性規(guī)劃.16、60【解析】分析:首先將選定第一個(gè)釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號,之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計(jì)數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè),共有6種選擇方法,并且是機(jī)會相等的,若第一個(gè)選1號釘?shù)臅r(shí)候,第二個(gè)可以選3,4,5號釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個(gè)的將對應(yīng)的過程寫出來,所以利用列舉法將對應(yīng)的結(jié)果列出,而對于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會均等的,從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)分三種情況討論,分別求解不等式組,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得,不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,等價(jià)于,解不等式即可求的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),即,①當(dāng)時(shí),得,所以;②當(dāng)時(shí),得,即,所以;③當(dāng)時(shí),得成立,所以.故不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)?,由題意得,則,解得,故的取值范圍是.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】(1),根據(jù)題意,在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,則不等式在上有解,由得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,所以當(dāng)時(shí),,所以存在,使得成立,所以的取值范圍為。(2)當(dāng)時(shí),,則,從而所證不等式轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則不等式轉(zhuǎn)化為,即,即,令,則不等式轉(zhuǎn)化為,因?yàn)椋瑒t,從而不等式化為,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,所以即不等式成立,故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),在證明不等式時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理,本題是一道有高度的壓軸解答題.19、(1);(2).【解析】

(1)將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù),然后分、、三段求解不等式,綜合可得出不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最大值,由題意得出,解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.(1)當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則,即;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則.綜上所述,函數(shù)的最大值為,由題知,,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時(shí)也考查了絕對值不等式中的參數(shù)問題,考查分類討論思想的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.20、(1)l:,C:;(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;

(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標(biāo)及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長.【詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查弦長的求法、運(yùn)算求解能力,是中檔題.21、(1);(2)【解析】

(1)將代入等式,結(jié)合正弦定理將邊化為角,

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