2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)梯級練三十八等差數(shù)列及其前n項和課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時作業(yè)梯級練三十八等差數(shù)列及其前n項和一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若等差數(shù)列{an}的公差為d,則數(shù)列{QUOTE}是 ()A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列C.公差為nd的等差數(shù)列D.非等差數(shù)列【解析】選B.數(shù)列{QUOTE}其實就是a1,a3,a5,a7,…,奇數(shù)項組成的數(shù)列,它們之間相差2d.2.(2024·安順模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S17=51,則2a10-a11= ()A.2B.3C.4D.6【解析】選B.因為S17=51,所以QUOTE=51,a1+a17=6=2a9,解得a9=3,則2a10-a11=a9=3.3.已知QUOTE是等差數(shù)列,且a2+a5+a8+a11=48,則a6+a7= ()A.12 B.16 C.20 【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,則a6+a7=24.4.(2024·貴陽模擬)在等差數(shù)列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,則其前n項和取最小值時的n的值為 ()A.6 B.7 C.8 【解析】選C.因為在等差數(shù)列{an}中,|a6|=|a11|,所以a6<0,a11>0,a6=-a11,a1=-QUOTEd,有Sn=QUOTE[(n-8)2-64],所以當(dāng)n=8時前n項和取最小值.5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S13<0,S12>0,則在數(shù)列中肯定值最小的項為 ()A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項【解析】選C.依據(jù)等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn=QUOTE,因為QUOTE所以QUOTE由QUOTE得QUOTE所以數(shù)列{an}中肯定值最小的項為第7項.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·開封模擬)已知QUOTE是公差不為零的等差數(shù)列,且a1+a10=a9,則QUOTE=.

【解析】由條件可知2a1+9d=a1+8d,整理得a1=-d,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個整除問題:將2至2024這2024個整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按由小到大的依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列QUOTE,則此數(shù)列的項數(shù)為.

【解析】由能被2除余1且被3除余1的數(shù)就是能被6除余1的數(shù),故an=6n-5.因為an=6n-5≤2024,解得n≤337QUOTE,n∈N*,n=1時,an=1,不是數(shù)列中的項,所以數(shù)列的項數(shù)為337-1=336.答案:3368.記Sn為等差數(shù)列QUOTE的前n項和,a1≠0,a2=3a1,則QUOTE=.

【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,因為a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.答案:4【一題多解】考慮到題型問題,可令a1=1,則a2=3,即d=2,從而S5=5a1+QUOTE×d=5+20=25,S10=10a1+QUOTE×d=10+90=100,故QUOTE=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知QUOTE是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且滿意S5=30,a1=2.(1)求數(shù)列QUOTE的通項公式;(2)設(shè)bn=QUOTE,求數(shù)列QUOTE的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列QUOTE的公差為d,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S5=5a3=30,則a3=6,則a3-a1=2d,即d=2,所以數(shù)列QUOTE的通項公式為an=2n(n∈N*);(2)Sn=QUOTE=n2+n,bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.10.已知等差數(shù)列QUOTE滿意:a3=7,a5+a7=26,QUOTE的前n項和為Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=QUOTE(n∈N*),求數(shù)列QUOTE的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列QUOTE的公差為d,因為a3=7,a5+a7=26,所以有QUOTE解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+QUOTE×2=n2+2n.(2)由(1)知,an=2n+1,所以bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-QUOTE),所以Tn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.即數(shù)列QUOTE的前n項和為Tn=QUOTE.1.(2024·長沙模擬)數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列,且a1=1,a3=-QUOTE,那么a5= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.5 D.-5【解析】選B.由于數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列,所以QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,又a1=1,a3=-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,解得a5=-QUOTE.2.等差數(shù)列QUOTE與QUOTE的前n項和分別為Sn與Tn,若QUOTE=QUOTE,則QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故QUOTE=QUOTE.3.(2024·北京模擬)已知Sn是等差數(shù)列QUOTE(n∈N*)的前n項和,且S5>S6>S4,以下有四個命題:①數(shù)列QUOTE中的最大項為S10;②數(shù)列QUOTE的公差d<0;③S10>0;④S11<0.其中正確的序號是 ()A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④【解析】選B.因為S5>S6>S4,所以a6<0,a5+a6>0,所以a5>0,d<0,所以數(shù)列QUOTE中的最大項為S5,S10=QUOTE=5QUOTE>0,S11=QUOTE=11a6<0,所以正確的序號是②③④.4.在數(shù)列QUOTE中a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求證:數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列QUOTE的前n項和Sn.【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的兩邊同除以n(n+1),得QUOTE-QUOTE=2,又QUOTE=4,所以數(shù)列QUOTE是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)得QUOTE=a1+2(n-1),即QUOTE=2n+2,所以an=2n2+2n,故QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【加練備選·拔高】已知數(shù)列QUOTE的首項a1=3,通項an與前n項和Sn之間滿意2an=Sn·Sn-1(n≥2).(1)求證:數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列,并求公差;(2)求數(shù)列QUOTE的通項公式.【解析】(1)因為n≥2時,an=Sn-Sn-1,所以2QUOTE=SnSn-1,所以QUOTE-QUOTE=-QUOTE.所以QUOTE為等差數(shù)列且首項為QUOTE,公差為-QUOTE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE,an=QUOTE-QUOTE(n≥2),a1=3不滿意上式,故an=QUOTE,整理得an=QUOTE.5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).(1)求證:QUOTE-an=λ.(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.【解析】(1)由題設(shè),anan+1=λSn-1,知an+1QUOTE=λSn+1-1.兩式相減得,an+1(QUOTE-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以QUOTE-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故QUOTE-an=4,由此可得,{QUOTE}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,QUOTE=1+(n-1)·4=4n-3=2(2n-1)-1;{QUOTE}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,QUOTE=3+(n-1)·4=4n-1=2×(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列.1.已知數(shù)列QUOTE的通項公式為an=26-2n,要使數(shù)列QUOTE的前n項和Sn最大,則n的值為 ()A.14 B.13或14C.12或11 D.13或12【解析】選D.因為an=26-2n,所以數(shù)列QUOTE是以a1=24為首項,公差d=-2的等差數(shù)列,所以Sn=na1+QUOTEd=-n2+25n.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:當(dāng)n=13或12時Sn最大.2.(2024·濰坊模擬)已知數(shù)列QUOTE,定義數(shù)列QUOTE為數(shù)列QUOTE的“2倍差數(shù)列”,若QUOTE的“2倍差數(shù)列”通項公式為an+1-2an=2n+1,且a1=2,若函數(shù)QUOTE的前n項和為Sn,則S33= ()A.238+1 B.239+2C.238+2 D.239【解析】選B.依據(jù)題意得an+1-2an=2n+1,a1=2,所以QUOTE-QUOTE=1,所以數(shù)列QUOTE表示首項為1,公差d=1的等差數(shù)列,所以QUOTE=1+QUOTE=n,所以an=n·2n,所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,所以2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,所以-Sn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1=QUOTE-n·2n+1=-2+2n+1-n·2n+1=-2+QUOTE2n+1,所以Sn=QUOTE2n+1+2,S33=QUOTE233+1+2=239+2.【加練備選·拔高】項數(shù)為n的數(shù)列a1,a2,a3,…,an的前k項和為Sk(k=1,2,3,…,n),定義QUOTE為該項數(shù)列的