2024-2025版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2.2解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例-高度角度問題學(xué)案新人教A版必修5

PAGE第2課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例——高度、角度問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些有關(guān)底部不行到達(dá)的物體高度測(cè)量的問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題(數(shù)學(xué)建模)3.分清仰角、俯角、方向角、方位角和視角等概念(數(shù)學(xué)抽象)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思方位角、方向角和視角的含義是什么?1.仰角和俯角(1)前提:在視線所在的垂直平面內(nèi).(2)仰角:視線在水平線以上時(shí),視線與水平線所成的角.(3)俯角:視線在水平線以下時(shí),視線與水平線所成的角.為了測(cè)量某建筑物的高度通常須要構(gòu)造的三角形其所在平面與地面什么關(guān)系?提示:構(gòu)造的三角形其所在平面與地面垂直.2.視角從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的夾角,如圖所示,視角50°指的是視察該物體的兩端視線張開的角度.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)俯角和仰角都是對(duì)于水平線而言的.()(2)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面.()(3)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為α+β=180°.()提示:(1)√.由俯角和仰角的定義可知此說法正確.(2)√.由仰角與俯角的定義可知,此說法正確.(3)×.畫出示意圖如圖,由圖可知α=β.2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)如圖所示,為測(cè)量一樹的高度,在地上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)之間的距離為60m,則樹的高度為()A.QUOTEm B.QUOTEmC.QUOTEm D.QUOTEm【解析】選A.設(shè)樹高為xm,則BP=QUOTExm,在△ABP中,AB=60,BP=QUOTEx,A=30°,∠APB=15°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得x=30+30QUOTE.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)如圖所示為一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并測(cè)量得AC=3mm,BC=2QUOTEmm,AB=QUOTEmm,則∠ACB=.

【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=QUOTE=-QUOTE.因?yàn)椤螦CB∈(0,π),所以∠ACB=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一在同一鉛垂面內(nèi)的高度問題(數(shù)學(xué)建模)【典例】1.如圖在離地面高400m的熱氣球上,觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為45°.已知∠BAC=60°,則山的高度BC為()A.700mB.640mC.600mD.560m2.濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)仿照的是隸書“泉”字,其造型流暢新穎,是濟(jì)南的標(biāo)記和象征.李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度,于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°,他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m,到達(dá)B點(diǎn),又測(cè)得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎?(精確到1m,參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.34,sin80°≈0.98)【思路導(dǎo)引】1.在△MAC中,三個(gè)角和AM可求,依據(jù)正弦定理可求AC,進(jìn)而可求山的高度BC;2.設(shè)C,D分別為泉標(biāo)的底部和頂端,先在△ABD中,依據(jù)正弦定理求BD,然后在Rt△BCD中求CD.【解析】1.選C.如圖,過點(diǎn)M作MD⊥AB,垂足為D.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=QUOTE=400QUOTE(m).在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.由正弦定理,得AC=QUOTE=QUOTE=400QUOTE(m).在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400QUOTE×QUOTE=600(m).2.如圖所示,點(diǎn)C,D分別為泉標(biāo)的底部和頂端.依題意,∠BAD=60°,∠CBD=80°,AB=15.2m,則∠ADB=80°-60°=20°,在△ABD中依據(jù)正弦定理,得BD=QUOTE≈QUOTE≈38.72,在Rt△BCD中,CD=BDsin80°≈38.72×0.98≈38(m),即泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)的高約為38m.測(cè)量仰角(或俯角)求高度問題(1)基本思路:構(gòu)造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.(2)構(gòu)造三角形的方法.①如圖1所示,取經(jīng)過建筑物AB底部B的基線上兩點(diǎn)H,G,用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀DH和CG測(cè)量得仰角β,α,測(cè)量?jī)蓚€(gè)測(cè)角儀的距離,構(gòu)成△ACD.②如圖2所示,在建筑物CD頂部的直立物體BC,分別在B,C兩處測(cè)量俯角α,β,構(gòu)成△ABC.1.如圖是一個(gè)斜拉橋示意圖的一部分,AC與BD表示兩條相鄰的鋼纜,A,B與C,D分別表示鋼纜在橋梁與主塔上的鉚點(diǎn),兩條鋼纜的仰角分別為α,β,為了便于計(jì)算,在點(diǎn)B處測(cè)得C的仰角為γ,若AB=m,則CD=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.在△ABC中由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE,在△BCD中,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以CD=QUOTE=QUOTE.2.某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35°,沿傾斜角為20°的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處,又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°,求此山的高度.(精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.5736,QUOTE≈1.414)【解析】如圖,過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E,因?yàn)椤螪AC=20°,所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=QUOTE=QUOTE=1000QUOTE(m).在Rt△ABC中,BC=ABsin35°≈811(m).答:此山的高度約為811m.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在社會(huì)實(shí)踐中,小明視察一棵桃樹.他在點(diǎn)A處發(fā)覺桃樹頂端點(diǎn)C的仰角大小為45°,往正前方走4米后,在點(diǎn)B處發(fā)覺桃樹頂端點(diǎn)C的仰角大小為75°.(1)求BC的長(zhǎng).(2)若小明身高為1.70米,求這棵桃樹頂端點(diǎn)C離地面的高度(精確到0.01米,其中QUOTE≈1.732).【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75°,則∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,解得BC=4QUOTE(米).(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4QUOTE,所以DC=4QUOTEsin75°,因?yàn)閟in75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=QUOTE,則DC=2+2QUOTE,所以CE=3.70+2QUOTE≈3.70+3.464≈7.16(米).答:(1)BC的長(zhǎng)為4QUOTE米類型二不在同一鉛垂面內(nèi)的高度問題(數(shù)學(xué)建模)【典例】空中有一氣球D,在它正西方向的地面上有一點(diǎn)A,在此處測(cè)得氣球的仰角為45°,同時(shí)在氣球的南偏東60°方向的地面上有一點(diǎn)B,測(cè)得氣球的仰角為30°,兩視察點(diǎn)A,B相距266m,計(jì)算氣球的高度.(結(jié)果保留根號(hào))四步內(nèi)容理解題意條件:①在氣球D的正西方向的地面上A處測(cè)得氣球的仰角為45°②在氣球D的南偏東60°方向的地面上B處,測(cè)得氣球的仰角為30°③A,B相距266m結(jié)論:計(jì)算氣球的高度.思路探求令氣球D在地面上的投影為點(diǎn)C,解Rt△ACD和Rt△BCD?AC與氣球的高度的關(guān)系,CB與氣球的高度的關(guān)系?在△ABC中用余弦定理構(gòu)造方程求氣球的高度.書寫表達(dá)如圖,令氣球D在地面上的投影為點(diǎn)C,設(shè)CD=x,在Rt△ACD中,∠DAC=45°,在Rt△BCD中,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=90°+60°=150°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,所以所以x=38QUOTEm留意書寫的規(guī)范性:①解Rt△ACD,建立AC與所求量的關(guān)系②解Rt△BCD,建立CB與所求量的關(guān)系③在△ABC中構(gòu)建方程計(jì)算所求量是解題關(guān)鍵.題后反思此類問題中,既有方向角,又有仰角,要留意作出的示意圖應(yīng)是立體圖解不在同一鉛垂面內(nèi)的高度問題的思路和方法(1)基本思路.方向角屬于水平面的角度,而仰角屬于鉛垂面內(nèi)的角,所以此類問題的圖形通常是立體圖形.解題的基本思路是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng),從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題.(2)基本方法.首先在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐,再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個(gè)或幾個(gè)三角形,從而求出高度.1.A,B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn),相距800m,在點(diǎn)A測(cè)得山頂C的仰角為45°,∠BAD=120°,又在點(diǎn)B測(cè)得∠ABD=45°,其中點(diǎn)D是點(diǎn)C在海平面上的射影,則山高CD為.

【解析】如圖,由于CD⊥AD,∠CAD=45°,所以CD=AD.因此,只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由QUOTE=QUOTE,得AD=QUOTE=QUOTE=800(QUOTE+1)m.所以CD=AD=800(QUOTE+1)m.答案:800(QUOTE+1)m2.如圖,某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車,須要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30°,山頂C的仰角為60°,∠AEC=150°,則兩山頂A,C之間的距離為()A.2QUOTEkm B.3QUOTEkmC.4QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】選A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE,在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×2QUOTE×QUOTE=28,所以AC=2QUOTE,即兩山頂A,C之間的距離為2QUOTEkm.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,某人在塔的正東方向上的C處,在與塔垂直的水平面內(nèi),沿南偏西60°的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后,在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60°.(1)求該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時(shí),走了幾分鐘;(2)求塔的高AB.【解析】(1)依題意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6000×QUOTE=100(m),∠D=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=50(QUOTE-1)(m).在Rt△ABE中,tanα=QUOTE,因?yàn)锳B為定長(zhǎng),所以當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí),α取最大值60°,這時(shí)BE⊥CD.當(dāng)BE⊥CD時(shí),在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(QUOTE-1)·QUOTE=25(3-QUOTE)(m),設(shè)該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時(shí),走了t分鐘,則t=QUOTE×60=QUOTE×60=QUOTE(分鐘).(2)由(1)知,當(dāng)α取得最大值60°時(shí),BE⊥CD,在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCD,所以AB=BE·tan60°=BC·sin∠BCD·tan60°=50(QUOTE-1)·QUOTE·QUOTE=25(3-QUOTE)(m),即所求塔高為25(3-QUOTE)m.類型三測(cè)量角度問題(數(shù)學(xué)建模)角度1角度問題

【典例】如圖所示,在坡度肯定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的傾斜度為15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,又測(cè)得C對(duì)于山坡的傾斜度為45°,若CD=50m,山坡對(duì)于地平面的坡度為θ,則cosθ等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE-1 D.QUOTE-1【思路導(dǎo)引】由題意可知△ADC可解,角θ與∠BDC有親密關(guān)系.【解析】選C.在△ABC中,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以AC=100QUOTE.在△ADC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以cosθ=sin(θ+90°)=QUOTE=QUOTE-1.角度2航行方向問題

【典例】如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距30QUOTE海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心馬上把消息告知在其南偏西45°、相距20海里【思路導(dǎo)引】先利用余弦定理求出BC,再利用正弦定理求出sin∠ACB,得到cos∠ACB,利用兩角和與差的余弦即可求出cosθ.【解析】如圖所示,在△ABC中,AB=30QUOTE,AC=20,∠BAC=135°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos135°=3400,所以BC=10QUOTE,由正弦定理得sin∠ACB=QUOTE·sin∠BAC=QUOTE.由∠BAC=135°知∠ACB為銳角,故cos∠ACB=QUOTE.故cosθ=cos(∠ACB+45°)=cos∠ACBcos45°-sin∠ACBsin45°=QUOTE(QUOTE-QUOTE)=QUOTE.答案:QUOTE將本例條件“30QUOTE”改為“40”,“45°”改為“30°”,其他條件不變,試求cosθ.【解析】如圖所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20QUOTE.由正弦定理得sin∠ACB=QUOTE·sin∠BAC=QUOTE.由∠BAC=120°知∠ACB為銳角,cos∠ACB=QUOTE.cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=QUOTE.1.有關(guān)仰角和俯角的問題(1)建筑物頂部無法到達(dá)或高度過高而無法測(cè)量時(shí),通常采納解三角形的方法解決,在構(gòu)造三角形時(shí),一般利用與地面垂直的直角三角形,此時(shí)應(yīng)留意仰角的應(yīng)用.(2)但在某些狀況下,仍需依據(jù)正、余弦定理來解三角形.2.測(cè)量角度問題畫示意圖的基本步驟1.長(zhǎng)為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離C處1.4m的地面上,另一端B在離C處的2.8m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tanα=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意得在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=QUOTE.2.已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船?(參考數(shù)據(jù):sin38°≈QUOTE,sin22°≈QUOTE)【解析】如圖,設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點(diǎn),緝私艇的速度為每小時(shí)x海里,則BC=0.5x,AC=5,依題意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠ABC=38°,又因?yàn)椤螧AD=38°,所以BC∥AD,故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.【補(bǔ)償訓(xùn)練】游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路.線路1是從A沿直線步行到C,線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)動(dòng)身勻速步行,甲的速度是乙的速度的QUOTE倍,甲走線路2,乙走線路1,最終他們同時(shí)到達(dá)C處.經(jīng)測(cè)量,AB=1040m,BC=500m,則sin∠BAC等于.

【解析】依題意,設(shè)乙的速度為xm/s,則甲的速度為QUOTExm/s,因?yàn)锳B=1040m,BC=500m,所以QUOTE=QUOTE,解得:AC=1260m,在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sin∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.如圖,在海岸A處,發(fā)覺南偏東45°方向距A為(2QUOTE-2)海里的B處有一艘走私船,在A處正北方向,距A為2QUOTE海里的C處的緝私船馬上奉命以10QUOTE海里/時(shí)的速度追截走私船.(1)剛發(fā)覺走私船時(shí),求兩船的距離;(2)若走私船正以10QUOTE海里/時(shí)的速度從B處向南偏東75°方向逃跑,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所須要的時(shí)間.(精確到分鐘,參考數(shù)據(jù):QUOTE≈1.4,QUOTE≈2.5)【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)锳B=(2QUOTE-2)海里,AC=2QUOTE海里,∠BAC=135°,由余弦定理,得BC=QUOTE=4(海里).(2)依據(jù)正弦定理,可得sin∠ABC=QUOTE=QUOTE.所以∠ABC=30°,易知∠ACB=15°,設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船,如圖所示.則有CD=10QUOTEt(海里),BD=10QUOTEt(海里).而∠CBD=120°,在△BCD中,依據(jù)正弦定理,可得sin∠BCD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠BCD=45°,∠BDC=15°,所以∠ACD=60°.在△CBD中,依據(jù)正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得t=QUOTE小時(shí)≈0.78小時(shí)≈47分鐘.故緝私船沿南偏東60°方向,需47分鐘才能追上走私船.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.如圖,要測(cè)出山上一座天文臺(tái)BC的高,從山腰A處測(cè)得AC=60m,天文臺(tái)最高處B的仰角為45°,天文臺(tái)底部C的仰角為15°,則天文臺(tái)BC的高為()A.20QUOTEm B.30QUOTEmC.20QUOTEm D.30QUOTEm【解析】選B.由題圖,可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC=QUOTE=QUOTE=30QUOTEm.2.一輪船從A點(diǎn)沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B,又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C,若此輪船從A點(diǎn)干脆沿直線行駛至海島C,則此船沿方向行駛海里至海島C.

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