2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.2命題及其關(guān)系充分條件與必要條件知識(shí)點(diǎn)講解理科版含解析

專題1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【考情分析】1.理解命題的概念。2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系。3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義。4.重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理實(shí)力的核心素養(yǎng)。【學(xué)問清單】學(xué)問點(diǎn)一命題及其關(guān)系1．命題用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題，其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題。2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．學(xué)問點(diǎn)二充分條件與必要條件1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p【特殊提示】若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請(qǐng)寫出集合A，B的其他關(guān)系對(duì)應(yīng)的條件p，q的關(guān)系．2．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、判定定理、性質(zhì)定理與必要條件、充分條件的聯(lián)系①判定定理中前提是結(jié)論的充分條件；②性質(zhì)定理中結(jié)論是前提的必要條件；③數(shù)學(xué)定義中條件是結(jié)論的充要條件．即定義可以用于判定也可以作為性質(zhì)．3．充分條件與必要條件的兩個(gè)特征①對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”則“q?p”．②傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”，則“p?r”(“p?q且q?r”，則“p?r”)．【考點(diǎn)梳理】高頻考點(diǎn)一、四種命題及其相互關(guān)系（2024·廣東廣雅中學(xué)模擬）給出以下四個(gè)命題:①“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題;②“全等三角形的面積相等”的否命題;③“若q≤-1，則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題;④若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù).其中真命題是________.(寫出全部真命題的序號(hào))

【答案】①③【解析】①命題“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x+y=0”，明顯①為真命題；②不全等的三角形的面積不相等，故②為假命題；③原命題正確，所以它的逆否命題也正確，故③為真命題；④若ab是正整數(shù)，但a，b不肯定都是正整數(shù)，例如a=-1，b=-3，故④為假命題?！疽?guī)律方法】1.寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需留意：(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提.2.(1)推斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；推斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例.(2)依據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題干脆推斷不易時(shí)，可間接推斷.【變式探究】（2024·河北邯鄲四中模擬）給出命題:若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限。在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是 ()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】原命題與逆否命題等價(jià)，而原命題為真，所以逆否命題為真命題。原命題的逆命題為:若y=f(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，明顯此命題為假，又因?yàn)槟婷}與否命題同真假，所以否命題為假。高頻考點(diǎn)二充分條件與必要條件的判定例2、（2024年北京）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|?|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|?eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0，由點(diǎn)A，B，C不共線，得〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角，故選C?！疽?guī)律方法】充要條件的推斷方法(1)定義法：依據(jù)p?q，q?p進(jìn)行推斷.(2)集合法：依據(jù)使p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：依據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要推斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行推斷.這個(gè)方法特殊適合以否定形式給出的問題.【變式探究】（2024年天津）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B。高頻考點(diǎn)三充分條件、必要條件的應(yīng)用例3、（2024·陜西省咸陽(yáng)一中質(zhì)檢）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________?！敬鸢浮縖0，3]【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.又S為非空集合，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.即所求m的取值范圍是[0，3]?！痉椒记伞恳罁?jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(diǎn)(1)先合理轉(zhuǎn)化條件，常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，肯定要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)確定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)簡(jiǎn)單出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.【變式探究】（2024·安