高職數(shù)學(xué)課件 1.3 1.4 1.5 極限的運算 法則

1.3極限的運算

法則定理

若,則（3）（1）（2）,則有(若)常數(shù)因子可以提到極限記號外面例1求解原式例2求解原式

例3

求解原式

例4

求

解原式

其中．的極限，有下面結(jié)論：一般地,對于有理函數(shù)（即兩個多項式函數(shù)的商）例5下列做法是否正確?(1)解錯.正確的為(2)解錯.正確的為1.4極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限1.4.1極限存在準(zhǔn)則1.4.2兩個重要極限1.4.1極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1(單調(diào)有界有極限)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升（或單調(diào)下降），且有界，則存在，（其中也可改為）．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升（或單調(diào)下降），且有界，則存在，（其中也可改為）．準(zhǔn)則2（兩邊夾準(zhǔn)則）設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)滿足：1.此極限也可記為：（式中□代表同一個變量）例1求解

1.4.2兩個重要極限例3

求解例2求解

例4

求解

例5解2．

這里的是一個無理數(shù)2.71828182845904…，此極限也可記為（式中□代表同一變量）解

例6

求例7解例8解例9

求極限解當(dāng)時，，這是一個“”未定型．于是，1.5無窮小量與無窮大量1.5.1無窮小量1.5.2無窮大量1.5.3無窮小量與無窮大量的關(guān)系例如:是當(dāng)時的無窮小量是當(dāng)時的無窮小量是當(dāng)時的無窮小量定義1:在自變量的某一個變化過程中，如果函數(shù)的極限為零，那么，就稱是的這個變化過程中的無窮小。1.5.1無窮小量1.無窮小量的概念注意:1.無窮小量是個變量,而不是數(shù);2.一個函數(shù)是無窮小量,必須指明自變量的變化趨勢;3.零是唯一可稱為無窮小量的數(shù)。時,函數(shù)為無窮小

但時，

函數(shù)不是無窮小

如:2．無窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質(zhì)3有限個無窮小的乘積仍是無窮小。性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.例1

求為無窮小,解因為當(dāng)時,因此當(dāng)時,為無窮小量，所以≤又因為為有界量,考察下列極限，例如，當(dāng)時都是無窮小而，，沒極限這一事實反映了同一過程中如時各個的快慢程度.

小趨于無窮3、無窮小的比較（1）若為比高階的無窮小,,則稱（2）若，為常數(shù),（3）若與定義2設(shè)是自變量的同一變化過程中的兩個則在所論過程中：;無窮小,記作與為同階無窮小;則稱．

為等價無窮小,記作,則稱與例如:是比當(dāng)時,高階的無窮小當(dāng)時,與是同階無窮小)()(()當(dāng)時,與是等價無窮小(令,則,當(dāng)時,,于是)的等價無窮小是當(dāng)時,常見的等價無窮小:當(dāng)時無窮小的等價代換定理

設(shè)在自變量的同一變化過程中，