數(shù)學(xué)課件 1.2數(shù)列的極限

一、案例

二、知識(shí)要點(diǎn)

三、應(yīng)用1.2數(shù)列的極限如可用漸近的方法求圓的面積S？用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1A2A3A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正6

2n-1邊形面積,

,

.

顯然n越大,An越接近于S.

因此,需要考慮當(dāng)n

時(shí),An的變化趨勢(shì).

一、案例1[圓面積的計(jì)算]

割圓術(shù)

春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期哲學(xué)家莊子在《莊子·天下篇》中對(duì)“截丈問(wèn)題”有一段名言：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，意思是說(shuō)，一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，這個(gè)過(guò)程將無(wú)窮無(wú)盡，其中也隱含了深刻的極限思想。一、案例2[截丈問(wèn)題]

定義1

如果按照某一法則,對(duì)每一n

N

,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)yn,則得到一個(gè)序列：y1,y2,y3,

,yn

,

,這一序列叫做數(shù)列,記為{yn},其中第n項(xiàng)yn叫做數(shù)列的一般項(xiàng)(通項(xiàng)).

二、知識(shí)要點(diǎn)

（1.2.1）數(shù)列極限的概念觀察：下列數(shù)列的變化趨勢(shì)(1)(2)(3)(4)定義2數(shù)列的極限

若對(duì)于數(shù)列｛yn｝,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)yn無(wú)限接近于常數(shù)A，則稱A是數(shù)列｛yn｝的極限，或稱數(shù)列｛yn｝收斂于A，記作或若數(shù)列｛yn｝沒(méi)有極限，則稱數(shù)列｛yn｝是發(fā)散的。例題：(1)(2)(3)(4)不存在不存在1)（唯一性）若數(shù)列{yn}收斂，則其極限值唯一。2)（有界性）收斂數(shù)列必有界。推論：無(wú)界數(shù)列必發(fā)散。（1.2.2）收斂數(shù)列的性質(zhì)例題1.討論下列數(shù)列的極限情況

①②（1.2.3）數(shù)列極限的四則運(yùn)算

根據(jù)極限的定義，可用觀察的方法求出了一些簡(jiǎn)單數(shù)列的極限，但對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)列，用觀察法求極限很難，需要研究數(shù)列極限的運(yùn)算。下面我們給出數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則。數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：

設(shè)有數(shù)列且則(1)(2)(3)(4)注：法則(1),(2)可以推廣到三個(gè)及三個(gè)以上有限個(gè)數(shù)列極限的情形1.2.4、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式

例題4.求等比數(shù)列的前n和，并求當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限。解：

定義3一般的，等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，稱為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列。其前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)的極限叫做這個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和，并用符號(hào)S表示因?yàn)樗苑Q公式為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式。

三、應(yīng)用

練習(xí)1[循環(huán)數(shù)]

觀察循環(huán)數(shù)列的變化趨勢(shì)，可以看出，隨著項(xiàng)數(shù)n的無(wú)限增大，此數(shù)列無(wú)限接近于1，即

練習(xí)2[彈球模型]

一只球從100米的高空掉下，每次彈回的高度為，這樣下去，用球第上次高度的

次的高度來(lái)表示球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則得數(shù)列從數(shù)列的變化趨勢(shì)可以看出，隨著次數(shù)n的無(wú)限增大，數(shù)列無(wú)限接近于0，即

練習(xí)3[存款分析]

若某人有本金A元，銀行存款的年利率為r，不考慮個(gè)人所得稅．試建立此人n年末