5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的那些性質(zhì)？

根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最大(小）值等。【問題導(dǎo)入】另外，單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，即三角函數(shù)具有周而復(fù)始的變化規(guī)律。這就是三角函數(shù)最重要的規(guī)律：周期性。

周期性請閱讀教科書5.4.2節(jié)“1.周期性”中的內(nèi)容，回答下列問題：什么是周期函數(shù)？什么叫做周期？一般的，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且

那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.存在一個(gè)非零常數(shù)T每一個(gè)x∈D【探究1】問題1：觀察單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)這種周而復(fù)始的變化規(guī)律，

猜想正弦函數(shù)是否為周期函數(shù)？正弦函數(shù)的周期是多少？用代數(shù)方法如何解釋你的猜想？正弦函數(shù)為周期函數(shù).

我們得到：1.正弦函數(shù)是周期函數(shù)；

2.都是它的周期。y=sinx周期T

追問：對周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)

取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)”，要特別注意其中“每一個(gè)”的要求.如果只是對某些有，那么T就不是函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期。y=sinx正弦函數(shù)是周期函數(shù)，

都是它的周期，最小正周期是

。

追問：余弦函數(shù)是否為周期函數(shù)？周期是多少？1、余弦函數(shù)是周期函數(shù)；2、

都是它的周期，且最小正周期為y=cosx【探究1】例1

求下列函數(shù)的周期【典例精析】定義判斷整體換元代數(shù)運(yùn)算思考：

1、回顧例題，你能發(fā)現(xiàn)形如

函數(shù)的周期性與解析式中哪些量有關(guān)？思考：

2、對形如

的函數(shù)，你能得到周期公式嗎？【學(xué)以致用】

求下列函數(shù)的周期。問題2：知道了一個(gè)函數(shù)的周期，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助？根據(jù)周期性，只要把握了函數(shù)在一個(gè)周期上的規(guī)律，就把握了整個(gè)函數(shù)的規(guī)律。數(shù)學(xué)思想方法：特殊到一般【探究1】y=sinx

問題1：觀察正弦函數(shù)的圖象，你發(fā)現(xiàn)它有什么對稱性？奇函數(shù)【探究2】對稱軸：對稱中心：偶函數(shù)

追問：余弦函數(shù)有怎樣的對稱性？對稱軸：對稱中心：

y=cosx

【探究2】

y=sinx

增區(qū)間為[，]

x

sinx

…0……

…-1010-1減區(qū)間為[，

]

問題1：觀察正弦函數(shù)的圖象，y=sinx

在有怎樣的單調(diào)性？【探究3】由周期性可得：正弦函數(shù)y=sinx

增區(qū)間為減區(qū)間為

y=cosx

xcosx-

……0…

…

-1010-1

追問：觀察余弦函數(shù)的圖象，y=cosx在有怎樣的單調(diào)性？【探究3】增區(qū)間為[-

，0]

減區(qū)間為[0，

]由周期性可得：余弦函數(shù)y=cosx增區(qū)間為

[-

+2k,

2k

],kZ減區(qū)間為

[2k,

+2k

],kZ當(dāng)且僅當(dāng)x=

（k∈Z）時(shí)，(sinx)max=1當(dāng)且僅當(dāng)x=（k∈Z）時(shí)，(sinx)min=-1

問題1：觀察正弦函數(shù)圖象，你發(fā)現(xiàn)它的最值何時(shí)取到？【探究4】y=sinx當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí)，(cosx)max=1當(dāng)且僅當(dāng)x=π+2kπ(k∈Z)時(shí)，(cosx)min=-1

追問：觀察余弦弦函數(shù)圖象，你發(fā)現(xiàn)它的最值何時(shí)取到？

y=cosx

【探究4】請閱讀教科書5.4.2節(jié)“2.奇偶性”“3.單調(diào)性”“4.最大值與最小值”的內(nèi)容，完善以下表格：y=sinxy=cosx定義域

值域

圖象

周期

奇偶性

對稱軸

對稱中心

單調(diào)遞增區(qū)間

單調(diào)遞減區(qū)間

最大值點(diǎn)

最小值點(diǎn)

單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：當(dāng)且僅當(dāng)x=

(k∈Z)時(shí)，(sinx)max=1當(dāng)且僅當(dāng)x

=(k∈Z)時(shí)(sinx)min=1當(dāng)且僅當(dāng)x=(k∈Z)時(shí)，(cosx)max=1當(dāng)且僅當(dāng)x=(k∈Z)時(shí)，(cosx)min=1y=sinxy=cosx圖像定義域RR值域[-1,1][-1,1]周期奇偶性

奇函數(shù)

偶函數(shù)對稱軸對稱中心單調(diào)區(qū)間最值點(diǎn)【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

【總結(jié)提升】

這節(jié)課我們探究了什么問題？有那些發(fā)現(xiàn)？正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)周期性對稱性單調(diào)性最大（?。┲祵ΨQ中心對稱軸奇偶性思想方法：數(shù)形結(jié)合、特殊與一般我們使用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？