淺析分?jǐn)?shù)與除法的內(nèi)在聯(lián)系

人教版數(shù)學(xué)五年級下冊《分?jǐn)?shù)與除法》單元的教學(xué)重點是理解分?jǐn)?shù)既可以表示一個具體的量，又可以表示兩個量之間的關(guān)系；教學(xué)難點是理解分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系。為突破以上教學(xué)重難點，筆者教學(xué)該單元內(nèi)容時基于單元整體教學(xué)理念做了如下嘗試。一、綜合分析，確定教學(xué)目標(biāo)教學(xué)前，筆者綜合分析了人教版、蘇教版和北師大版教材中關(guān)于“分?jǐn)?shù)與除法”的相關(guān)內(nèi)容。人教版教材先給出“把1個月餅平均分給4個人”的例題情境，旨在引導(dǎo)學(xué)生感受除法的商可以用分?jǐn)?shù)表示。在此基礎(chǔ)上，教材呈現(xiàn)第二個例題情境“把3個月餅平均分給4個人”，并提示了兩種分法——一個一個地分（3個[14]個是[34]個）、三個摞在一起分（3個[14]是[34]個），進(jìn)而引出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。蘇教版教材在人教版的兩個例題的基礎(chǔ)上又給出第三個例題情境——3個月餅平均分給5個人，然后引出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。北師大版教材用一個例題呈現(xiàn)了兩個情境——1個餅平均分給2個人、7個餅平均分給3個人，最終也引出了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。三個版本的教材均采用了分餅的情境引出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，人教版和蘇教版大致相同，蘇教版多一個例題，北師大版與其他版本差異較大，直接從[12]過渡到[73]。隨后，筆者對學(xué)生學(xué)情做了如下分析：在三年級上學(xué)期的學(xué)習(xí)中，學(xué)生初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，知道了分?jǐn)?shù)各部分的名稱，能夠讀、寫簡單的分?jǐn)?shù)，能夠比較分子是1的分?jǐn)?shù)和同分母分?jǐn)?shù)的大小，會計算簡單的同分母分?jǐn)?shù)加減法。但是從三年級初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)到五年級再次認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生所見到的分?jǐn)?shù)基本上是分子比分母小的真分?jǐn)?shù)。在許多學(xué)生心目中，分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系，部分只能小于或等于整體，不可能超過整體，所以學(xué)生很難理解假分?jǐn)?shù)的含義，這就需要教師通過多種情境活動進(jìn)一步拓展和延伸分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生充分把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。分?jǐn)?shù)有不同的意義，學(xué)生印象最深的就是分?jǐn)?shù)的比率意義，即部分與整體的關(guān)系，而本節(jié)內(nèi)容要引導(dǎo)學(xué)生感受和理解分?jǐn)?shù)作為商可以表示數(shù)量。量和率的辨析向來是分?jǐn)?shù)教學(xué)的難點。如何突破這個難點呢？多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中只有真分?jǐn)?shù)，而假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)在實際生活中有重要的意義，因此，筆者決定借助分餅這個大情境，引導(dǎo)學(xué)生感受真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)是一脈相承的。綜合以上分析，筆者將本單元的教學(xué)目標(biāo)確定如下：①結(jié)合具體情境，理解分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，會用分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)相除的商，知道分?jǐn)?shù)既可以表示一個具體的量，又可以表示兩個量之間的關(guān)系；②借助觀察比較活動，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的意識和能力，提高學(xué)生的抽象、概括能力，培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題和解決問題的能力；③在探索分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的過程中，增強學(xué)生的交流與合作意識，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，幫助學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。二、創(chuàng)設(shè)情境，理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)了如下分餅情境，引導(dǎo)學(xué)生寫出計算過程，并用自己喜歡的方式解釋思考過程，逐步梳理分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，感受如何用分?jǐn)?shù)表示商。①8個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？②1個餅平均分給2個人，每人分得幾個餅？③1個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？圍繞情境①，學(xué)生均能列得出式8÷4=2（個）。圍繞情境②，有的學(xué)生列式得出1÷2=0.5（個），有的列式得出1÷2=[12]（個）。筆者讓學(xué)生解釋算式中[12]的含義，當(dāng)有學(xué)生答出“把1個餅平均分成兩份，每份就是[12]”后，筆者讓學(xué)生回顧情境1的具體問題“每人分得幾個餅”，引導(dǎo)學(xué)生將“每份就是[12]”的說法更正為“每人分得[12]個餅”。圍繞情境③，有的學(xué)生畫線段圖并列式得出1÷4=0.25，有的學(xué)生畫餅圖并列式得出1÷4=[14]。筆者讓學(xué)生分別解釋各自的思考過程。畫線段圖的學(xué)生解釋：把1條線段看成1個餅，平均分給4個人，用除法計算，每人得到0.25個餅；畫餅圖的學(xué)生解釋：把1個圓看成1個餅，平均分給4個人，用除法計算，每人得到0.25個餅或者說[14]個餅。筆者提示：雖然圖形不一樣，但得到的結(jié)果是一樣的，也就是說，當(dāng)除法的商不是整數(shù)時，除了用小數(shù)表示商，還可以用分?jǐn)?shù)表示商。至此，學(xué)生初步理解了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。為讓學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，筆者創(chuàng)設(shè)新的分餅情境：3個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？學(xué)生列出算式“3÷4”后遲遲寫不出答案。筆者引導(dǎo)學(xué)生先大膽估一估、猜一猜，再通過折一折、剪一剪、拼一拼的方式研究。學(xué)生小組合作探究后，派代表匯報。學(xué)生代表1用圓片代替餅，現(xiàn)場剪、分后，匯報如下：我們把第1個餅平均分成4份，每人得到一小塊，剩下的兩張餅也像這樣分，最后每個人手里拿到了3個[14]塊，合起來就是[34]個餅。筆者指導(dǎo)學(xué)生把分到的餅貼到黑板上，在每一個圓片下面均寫“[14]個”，進(jìn)而直觀地得到[34]個餅。學(xué)生代表2匯報：我們把3個餅摞在一起，同時分成4份，每人拿走其中1份，也就是3個[14]，合起來就是[34]個餅。此時，有學(xué)生提出異議，認(rèn)為合起來應(yīng)該是[312]個餅。該學(xué)生代表一時也給不出合理的解釋。筆者請“外援團(tuán)”幫忙解答這個疑問。有學(xué)生說：[312]是拿走部分占整體的[312]，也就是3個餅的[312]，不是餅的個數(shù)；還有學(xué)生補充，不能說[312]個，它是占3個餅的[312]，我們要求的是幾個餅，就是和1個餅比的，不是和3個餅比的。筆者肯定了學(xué)生的質(zhì)疑精神和理性思考，并讓學(xué)生把手里的3個餅的[14]拼在一起，看看究竟是[34]個餅還是[312]個餅。學(xué)生動手操作后，發(fā)現(xiàn)每人得到[34]個餅。筆者提示：我們可以說每人分到的餅占整體的[312]，但如果說餅的個數(shù)，只能說每人分得[34]個餅。學(xué)生代表3匯報：我們把前2張餅摞在一起，直接剪一刀平均分成4塊，每人拿走其中1塊，也就是[12]個，再把第三個餅平均分成4份，每人分得[14]個，合起來也是[34]個餅。也就是說，[12]個加上[14]個，拼在一起就是[34]個。筆者指出，分餅時既可以一個一個地分，也可以摞在一起分，還可以先分前兩個再分第三個，雖然過程不同，但得到的結(jié)果“[34]個”是相同的。隨后，筆者用動畫演示這三種分餅過程，讓學(xué)生邊看邊思考，從相應(yīng)的除法算式和結(jié)果中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象、概括出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：被除數(shù)相當(dāng)于是分子，除數(shù)相當(dāng)于分母，除號相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線；如果用字母表示，a除以b就是b分之a(chǎn)（b不等于0）。三、拓展延伸，升華學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知拓展延伸環(huán)節(jié)，筆者繼續(xù)創(chuàng)設(shè)分餅情境“5個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅”，引導(dǎo)學(xué)生利用前面概括的分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，探究[54]個、1[14]個的關(guān)系，升華學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)列式“5÷4”，按照剛才得出的關(guān)系，結(jié)果應(yīng)該寫作[54]。有的學(xué)生上講臺拼5個[14]個餅，得到[54]個餅。有的學(xué)生認(rèn)為可以先每人分得1