2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1基本不等式課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修5VIP

PAGE基本不等式(20分鐘35分)1.設(shè)0<a<1<b,則肯定有 ()A.logab+logba≥2 B.logab+logba≥-2C.logab+logba≤-2 D.logab+logba>2【解析】選C.因為0<a<1<b,所以logab<0,logba<0,-logab>0,-logba>0,所以(-logab)+(-logba)=(-logab)+QUOTE≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時,等號成立,所以logab+logba≤-2.【補償訓(xùn)練】(2024·寧波高一檢測)下列不等式①a2+1>2a;②x2+QUOTE≥1;③QUOTE≥2;④sin2x+QUOTE≥4,其中恒成立的不等式的個數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選B.①因為a2+1-2a=(a-1)2≥0,所以a2+1≥2a,故不恒成立;②因為x2+QUOTE=x2+1+QUOTE-1≥2-1=1,當(dāng)x2+1=1時等號成立,所以x2+QUOTE≥1正確;③若a<0,b<0,則QUOTE<0,故不恒成立;④令t=sin2x∈(0,1],y=t+QUOTE∈[5,+∞),故原不等式sin2x+QUOTE≥4恒成立,所以恒成立的有2個.2.已知等比數(shù)列{an}中各項均為正數(shù),公比q≠1,設(shè)P=QUOTE,Q=QUOTE,則P與Q的大小關(guān)系是 ()A.P<Q B.P>QC.P=Q D.無法確定【解析】選B.由等比數(shù)列的性質(zhì)得Q=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=P,又a2≠a9,故等號不成立,則P>Q.3.已知m>0,n>0,α=m+QUOTE,β=n+QUOTE,m,n的等差中項為1,則α+β的最小值為()A.3 B.4 C.5 【解析】選B.由已知得m+n=2,所以α+β=m+QUOTE+n+QUOTE=(m+n)+QUOTE=2+QUOTE.因為m>0,n>0,所以mn≤QUOTE=1,所以α+β≥2+QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時等號成立.所以α+β的最小值為4.4.設(shè)正數(shù)a,使a2+a-2>0成立,若t>0,則QUOTElogatlogaQUOTE(填“>”“≥”“≤”或“<”).【解析】因為a2+a-2>0,所以a<-2或a>1,又a>0,所以a>1,因為t>0,所以QUOTE≥QUOTE,所以logaQUOTE≥logaQUOTE=QUOTElogat.答案:≤5.若a<1,則a+QUOTE與-1的大小關(guān)系是.

【解析】因為a<1,即a-1<0,所以-(a-1+QUOTE)=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2.即a+QUOTE≤-1.答案:a+QUOTE≤-16.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.證明:(1)ab+bc+ac≤QUOTE;(2)QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.【證明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤QUOTE.(2)因為QUOTE+b≥2a,QUOTE+c≥2b,QUOTE+a≥2c,故QUOTE+QUOTE+QUOTE+(a+b+c)≥2(a+b+c),即QUOTE+QUOTE+QUOTE≥a+b+c.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·宣城高一檢測)下列不等式肯定成立的是 ()A.QUOTE<1(x∈R) B.x+QUOTE≥2(x≠0)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.lgQUOTE>lgx(x>0)【解析】選C.對于A:因為x2≥0,所以QUOTE≤1,故A不成立;對于B:當(dāng)x>0時,x+QUOTE≥2QUOTE=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE=1時取等號;當(dāng)x<0時,-x>0,x+QUOTE=-QUOTE≤-2QUOTE=-2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=QUOTE=1時取等號;故B錯誤;對于C:因為(|x|-1)2≥0,所以x2+1≥2|x|,故C正確.對于D:lgQUOTE>lgx(x>0)等價于x2+QUOTE>x,即QUOTE>0,故得x≠Q(mào)UOTE,而題設(shè)x>0,當(dāng)x=QUOTE時不成立.故D錯誤.2.若QUOTE<QUOTE<0,則下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④QUOTE+QUOTE>2中,正確的不等式是 ()A.①④ B.②③ C.①② D.③④【解析】選A.由于QUOTE<QUOTE<0,所以b<a<0,由此可知①a+b<0<ab,所以①正確.②|b|>|a|,所以②錯誤.③錯誤.④由于b<a<0,所以QUOTE>1,有基本不等式得QUOTE+QUOTE>2QUOTE=2,所以④正確.綜上所述,正確不等式的序號是①④.3.已知a>0,b>0,給出下列三個不等式:①Q(mào)UOTE≤QUOTE;②QUOTE≤QUOTE;③QUOTE+QUOTE≥a+b.其中正確的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 【解析】選D.依題意,因為a>0,b>0,所以QUOTE≥QUOTE≥QUOTE≥QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,所以①②正確,因為QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=a+b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,所以③正確.4.(2024·濱州高一檢測)小王從甲地到乙地前后半程的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則 ()A.a<v<QUOTE B.v=QUOTEC.QUOTE<v<QUOTE D.v=QUOTE【解析】選A.設(shè)甲地到乙地的總路程為s所以v=QUOTE=QUOTE,因為a>0,b>0,所以a+b≥2QUOTE當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號,又b>a,所以a+b>2QUOTE,所以v=QUOTE<QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE>1,所以v=QUOTE>a故a<v=QUOTE<QUOTE.【誤區(qū)警示】不能正確列出關(guān)系式是本題的最大易錯點.5.(2024·珠海高一檢測)若x>0,y>0,且x+y≤4,則下列不等式中恒成立的是 ()A.QUOTE≤QUOTE B.QUOTE+QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥2 D.QUOTE≥1【解析】選B.對于選項A,因為0<x+y≤4,所以QUOTE≥QUOTE,故A不恒成立;對于選項B,因為QUOTE+QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,又因為4≥x+y≥2QUOTE,所以0<QUOTE≤2,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE+QUOTE≥1≥QUOTE,故B成立;對于選項C,因為4≥x+y≥2QUOTE,所以QUOTE≤2,故C不恒成立;對于選項D,由4≥x+y≥2QUOTE,所以QUOTE≤2,即0<xy≤4,所以QUOTE≥QUOTE,故D不恒成立.【光速解題】選B.特值法:令x=y=1,則可解除A,C;令x=y=2,則可解除D.二、填空題(每小題5分,共15分)6.給出以下結(jié)論:①當(dāng)a≠0時,a2+QUOTE≥2;②對隨意x,y∈R,2x+2y≥2QUOTE;③當(dāng)x>y>0時,有QUOTE≤QUOTE.其中正確的結(jié)論的序號是.

【解題指南】利用基本不等式對式子逐一驗證,要留意等號成立的條件是否滿意.【解析】當(dāng)a≠0時,a2>0,QUOTE>0,所以a2+QUOTE≥2QUOTE=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=±1時取等號,故①正確;對隨意x,y∈R,2x>0,2y>0,所以2x+2y≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號,故②正確;當(dāng)x>y>0時,應(yīng)有QUOTE>QUOTE,故③錯誤.答案:①②【補償訓(xùn)練】設(shè)a>0,b>0,給出下列不等式:①a2+1>a;②QUOTE≥4;③a2+9>6a.其中恒成立的是.(填序號)

【解析】由于a2+1-a=(a-QUOTE)2+QUOTE>0,故①恒成立;由于a+QUOTE≥2,b+QUOTE≥2,所以QUOTE≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時,等號成立,故②恒成立;當(dāng)a=3時,a2+9=6a,故③不恒成立.綜上,恒成立的是①②.答案:①②7.(2024·張家界高一檢測)設(shè)a,b為正數(shù),A為a,b的等差中項,G為a,b的等比中項,則A與G的大小關(guān)系為AG.(用“>”“<”“≥”“≤”填空)

【解析】因為a,b為正數(shù),A為a,b的等差中項,G為a,b的等比中項,則A=QUOTE,G=±QUOTE,又QUOTE≥QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,又QUOTE≥±QUOTE,所以A≥G.答案:≥8.(2024·菏澤高一檢測)設(shè)a,b∈R,則下列不等式肯定成立的是.(填寫序號)

①a2+b2≥2ab;②a+QUOTE≥2;③b2+1≥2b;④|QUOTE|+|QUOTE|≥2.【解析】①當(dāng)a,b∈R時,a2+b2≥2ab成立,故①正確;②當(dāng)a>0時,a+QUOTE≥2,等號成立的條件是a=1,當(dāng)a<0時,a+QUOTE≤-2,等號成立的條件是a=-1,故②不正確;③當(dāng)b∈R時,b2+1-2b=QUOTE≥0,所以b2+1≥2b,故③正確;④|QUOTE|>0,|QUOTE|>0,所以|QUOTE|+|QUOTE|≥2QUOTE=2,等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)|QUOTE|=|QUOTE|,即a2=b2,故④正確.答案:①③④三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知a,b,c>0,求證:a+b+c≥QUOTE+QUOTE+QUOTE.【證明】因為a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2QUOTE,b+c≥2QUOTE,a+c≥2QUOTE,所以2(a+b+c)≥2(QUOTE+QUOTE+QUOTE),即a+b+c≥QUOTE+QUOTE+QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.10.(2024·張家港高一檢測)已知a>b,ab=1,求證:a2+b2≥2QUOTE(a-b).【證明】因為a>b,所以a-b>0,又ab=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=a-b+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE即QUOTE≥2QUOTE,即a2+b2≥2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=QUOTE,即a-b=QUOTE時取等號.1.△ABC三邊a,b,c滿意a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,則△ABC的形態(tài)是【解析】由a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,三式相加可得:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立,答案:等邊三角形2.是否存在常數(shù)c,使得不等式QUOTE+QUOTE≤c≤QUOTE+QUOTE