高等數(shù)學(xué)課件 12-2矩陣及其運(yùn)算

由

m×n

個(gè)數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作第二節(jié)矩陣及其運(yùn)算簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.行數(shù)不等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：特殊的矩陣形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位陣．記作記作．同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)比較交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣．顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．?dāng)?shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)比較其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．可用矩陣表示為一般地，矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．例：設(shè)則知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例P.35例5

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例：已知解法1解法2定義：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣?yán)涸O(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對稱陣．方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式令，則

C=(cij)=