河北省棗強(qiáng)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

河北省棗強(qiáng)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則A到平面xOy的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．2．直線傾斜角的正切值是（

）A． B． C． D．3．若點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的方程是（

）A． B．C． D．4．已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是（

）A．5 B．9 C．4 D．35．若圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C． D．6．已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，7．已知圓上的所有點(diǎn)都在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（

）A．的面積為B．若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為9C．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為D．內(nèi)切圓的面積為二、多選題（本大題共4小題）9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，其中，若四邊形OPQR為菱形，則（

）A． B． C． D．10．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，圓與圓有2條公切線B．當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C．當(dāng)時(shí)，圓與圓相交D．當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A．直線與平面所成的角等于B．點(diǎn)到面的距離為C．兩條異面直線和所成的角為D．三棱柱的體積是12．（多選）已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的范圍為三、填空題（本大題共4小題）13．若直線的斜率、在軸上的截距分別為，直線經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為3，則、的交點(diǎn)坐標(biāo)為.14．若平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為.15．已知直線（其中k為常數(shù)），圓，直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，則AB長(zhǎng)度的最小值為.16．已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.四、解答題（本大題共6小題）17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是(1)若直線過點(diǎn)，且與AB平行，求直線的一般式方程;(2)求的面積.18．已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑;(2)求線段AB的中點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程.19．已知.(1)若，求的值；(2)若且，求的值.20．已知圓，過作直線圓交于點(diǎn)．(1)求證：是定值；(2)若點(diǎn)．求的值．21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.(1)求的離心率;(2)設(shè)恒過點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，求及|AB|.22．如圖，已知四點(diǎn)均在直徑為的球B的球面上，，，，，，直線PO與平面AOC所成的角為，點(diǎn)D在線段PC上運(yùn)動(dòng)．(1)證明：(2)設(shè)平面BOC與平面KHD的夾角為，求的最大值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意可知：點(diǎn)A到平面xOy的距離為該點(diǎn)豎坐標(biāo)的絕對(duì)值，即為3.故選：C.2．【答案】B【詳解】直線，即，所以直線傾斜角的正切值，即直線斜率為.故選：B.3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，可知以AB為直徑的圓的圓心為，半徑，所以圓的方程是.故選：D.4．【答案】C【詳解】由已知得，，，設(shè)，則，所以，從而或時(shí)取最小值為4.故選：C.5．【答案】D【詳解】聯(lián)立得，故A、B坐標(biāo)為，即.故選：D6．【答案】B【詳解】對(duì)于A，因，即共面，故A不合題意；對(duì)于B,因，，其中任何一個(gè)向量都不能用另外兩個(gè)向量表示，故，，不共面，即B符合題意；對(duì)于C，因，即，，共面，故C不合題意；對(duì)于D，因，即，，共面，故D不合題意.故選：B.7．【答案】A【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可得圓心及其半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)與第二象限的點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】由化簡(jiǎn)可得，則該圓圓心為，半徑為，由題意可得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8．【答案】D【詳解】對(duì)A，根據(jù)橢圓定義可得，則①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，則，，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由A，的面積為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：D.9．【答案】ABD【詳解】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，的中點(diǎn)為，四邊形OPQR為菱形，則，可得，則，可得，解得，則或，結(jié)合選項(xiàng)可知：ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.10．【答案】BD【詳解】由可知圓心為，半徑為1；由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，有4條公切線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與圓相切，圓心到的距離為2，即與圓也相切，所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，化簡(jiǎn)可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D正確.故選：BD11．【答案】AB【分析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線面角、點(diǎn)面距、線線角的概念以及柱體體積公式進(jìn)行計(jì)算和判斷，可得結(jié)果.【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為1，對(duì)于選項(xiàng)直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)如圖由平面，平面，所以又,，面所以面，所以點(diǎn)到面的距離為長(zhǎng)度的一半，即，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)如圖由//，所以異面直線和所成的角為連接，所以為等邊三角形則兩條異面直線和所成的角為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)如圖三棱柱的體積是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查線面角、點(diǎn)面距、線線角的概念以及柱體體積公式，牢記概念，屬基礎(chǔ)題.12．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A中，由橢圓，可得，且，可得，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)Px,y，則，且，可得，則為定值，所以B正確；對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D中，由點(diǎn)Q在橢圓外，設(shè)直線與橢圓相交于，如圖所示，則，因?yàn)?，且，可得，即，所以，所以，所以D正確.故選BCD.

13．【答案】【詳解】由題意，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，故直線的交點(diǎn)為.故答案為：.14．【答案】【詳解】由題意得，，故點(diǎn)到平面的距離為：.故答案為：.15．【答案】【詳解】由題意得直線過定點(diǎn)，圓圓心為，半徑為，在圓內(nèi)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，所以AB長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：.16．【答案】0【詳解】因?yàn)椋詣?dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，且，則，所以，所以滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.設(shè)Px,y，由，得，整理得，即，所以滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡在以0,2為圓心，以2為半徑的圓上及圓的內(nèi)部，且不過0,1點(diǎn).如圖，動(dòng)點(diǎn)P的兩種軌跡沒有交點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在，因此點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為0.故答案為：0.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：直線AB的斜率，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）由題意可知：，可知，則邊的高為，所以的面積.18．【答案】(1)圓心坐標(biāo)，半徑.(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑.（2）因?yàn)?，可知在圓內(nèi)，設(shè)Mx,y，則，因?yàn)?，則，即，所以軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，，∵，∴，解得.（2）由題意得，，∵且，∴,解得.20．【答案】(1)為定值，證明見解析(2)-1【詳解】（1）若直線的斜率不存在，則，則，所以；若直線的斜率存在，設(shè)，，消去，得，，又，所以.綜上，為定值.（2）易知直線的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.21．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：，即，且點(diǎn)在上，則，聯(lián)立方程，解得，即，所以橢圓的離心率.（2）對(duì)于直線，即，可知直線過定點(diǎn)，由（1）可知：橢圓方程為，且，即定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線AB與橢圓必相交，設(shè)，，聯(lián)立，消去y得，則，，可得，解得，此時(shí)二次方程為，，，所以.22．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到，再由題意證出平面，進(jìn)而由平面，所以，再由線面垂直的判定證出即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再求出平面的法向量，解出，換元法令，再結(jié)合二次函數(shù)在特定區(qū)間的最值求得即可.【詳解】（1）證明：由題意可知為球的