河南省南陽市六校2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

河南省南陽市六校2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線以兩個(gè)坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)和，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．5．“”是“直線與垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或7．如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當(dāng)水面處于位置時(shí)，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當(dāng)水面上漲0.9m后，水面的寬度為（

）

A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m8．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線上一點(diǎn)，若P與恰好關(guān)于C的一條漸近線對(duì)稱，且，則的面積為（

）A．2 B． C． D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則曲線表示橢圓B．若曲線表示雙曲線，則C．無論取何值，曲線都不能表示圓D．無論取何值，曲線都不能表示拋物線10．在平面直角坐標(biāo)系中，方程所表示的曲線記為曲線C，由曲線C構(gòu)成的封閉圖形記為Ω，則下列說法正確的是（

）A．圖形Ω為菱形 B．圖形Ω的面積為2C．若P為曲線C上的點(diǎn)，則 D．曲線C與橢圓有四個(gè)公共點(diǎn)11．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，P為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，且Q為圓C上一點(diǎn)，則（

）A． B．的值可以為C．的最小值為 D．直線一定過坐標(biāo)原點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．若雙曲線的焦距為4，則實(shí)數(shù)的值為．13．已知，兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，．（1）若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C一次反射后到達(dá)，且入射光線、反射光線與x軸恰好圍成底邊為，頂角為的等腰三角形，則C的離心率為；（2）若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，C在點(diǎn)P處的切線為，在上的射影H在圓上，則C的短軸長為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)A是圓C：與y軸的公共點(diǎn)，點(diǎn)B是圓C上到x軸距離最大的點(diǎn)．(1)求直線的方程；(2)求經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．16．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到直線的距離小2，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．(1)求W的方程；(2)已知A，B是W上不同的兩點(diǎn)，，若A，B，C三點(diǎn)共線，求的值．17．已知直線：．(1)若直線m與平行，且m，之間的距離為，求m的方程；(2)P為上一點(diǎn)，點(diǎn)，，求取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．已知雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若上兩點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程；(3)過的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，且和分別與的右支交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，設(shè)的斜率為，求四邊形的面積（用表示）19．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被C截得的弦長為1.(1)求C的方程.(2)過點(diǎn)作兩條直線，分別與C交于點(diǎn)A，D和點(diǎn)B，E，其中A在D的上方，B在E的上方.①若直線過點(diǎn)，且傾斜角為鈍角，的面積為，證明：；②若A是的中點(diǎn)，且，求直線的方程.

參考答案1．【答案】D【詳解】斜率為的直線的一個(gè)方向向量為，因此直線的一個(gè)方向向量為，而ABC中向量與不共線，，所以直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為.故選：D2．【答案】C【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為.故選：C3．【答案】B【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B4．【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線：，點(diǎn)和在曲線上，∴，兩式相減可得，即.∴漸近線方程為：，故選：B.5．【答案】C【詳解】若直線與垂直，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線無意義，舍去；當(dāng)時(shí)，與垂直；所以“”是“直線與垂直”的充要條件.故選：C6．【答案】A【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓心到直線的距離為3，此直線與圓相切，因此直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由，得圓心到直線的距離，于是，解得或，所以直線的方程為或.故選：A7．【答案】A【詳解】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，依題意可知，拋物線過點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為，所以當(dāng)時(shí)，，解得，所以當(dāng)水面上漲0.9m后，水面的寬度為.故選：A

8．【答案】D【詳解】連接交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，則（為原點(diǎn)），而分別為的中點(diǎn)，則，，且，由雙曲線的一條漸近線為，得，則，所以的面積為.故選：D

9．【答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，若曲線表示橢圓，則，解得，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若曲線表示雙曲線，則，解得，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由上述分析可知，當(dāng)時(shí)，曲線方程可化為，表示圓，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，依題意可知且，由上述分析可知：無論取何值，曲線C都不能表示拋物線，D選項(xiàng)正確.故選：BD10．【答案】ACD【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，曲線C表示直線上兩點(diǎn)間的線段，當(dāng)時(shí)，曲線C表示直線上兩點(diǎn)間的線段，當(dāng)時(shí)，曲線C表示直線上兩點(diǎn)間的線段，當(dāng)時(shí)，曲線C表示直線上兩點(diǎn)間的線段，對(duì)于AB，圖形Ω是邊長為的菱形，其面積為，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，觀察圖形知，為菱形的中心，，，C正確；對(duì)于D，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，是菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，且菱形除頂點(diǎn)外，都在橢圓內(nèi)，因此曲線C與橢圓有四個(gè)公共點(diǎn)，D正確.故選：ACD11．【答案】AD【詳解】圓C：可化為，其圓心，半徑，直線，即，

對(duì)于A，，則，因此，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)到直線的距離，則，若，即，解得，則，，矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，以線段為直徑的圓，即，與圓的方程相減得直線：，此直線恒過原點(diǎn)，D正確.故選：AD.12．【答案】【詳解】由于方程表示雙曲線，所以，雙曲線的焦距為，所以.故答案為：13．【答案】【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14．【答案】/【詳解】（1）令入射光線射到橢圓上的點(diǎn)，依題意，，由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，則，所以橢圓C的離心率為；（2）由光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，得，即，延長交于點(diǎn)，由光的反射定律知垂直平分線段，連接，則是的中位線，于是，而點(diǎn)H在圓上，則，短軸長.故答案為：；

15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，解得，即，顯然軸，，點(diǎn)在軸上方，則，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，，線段的中點(diǎn)為，而直線的斜率為1，因此線段的中垂線方程為，即，由，解得，于是所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到直線的距離小2，得點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線的距離，因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)P的軌跡W的方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，由消去得，恒成立，，所以.17．【答案】(1)或；(2).【詳解】（1）由直線m與平行，設(shè)直線m的方程為，由m，之間的距離為，得，解得或，所以直線m的方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，直線的方程為，即，由，解得，點(diǎn)，所以取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

18．【答案】(1)(2)(3)，【詳解】（1）依題意，雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，上兩點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，兩式相減并化簡得，所以直線的方程為.由消去得，，因此直線必與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線的方程為.（3）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線，其中，因?yàn)榫c的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，將的方程與聯(lián)立，可得.設(shè)，則，所以，同理，所以,.

19．【答案】(1)；(2)①證明見解析；②.【詳解