上海市控江中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

上海市控江中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、填空題1．若球的半徑為5，圓為該球的一個(gè)小圓且面積為，則線段的長度是.2．如圖，一水平放置的三角形的直觀圖是，且的面積為3，則原三角形的面積為.

3．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側(cè)面積為.4．如圖，在正方體中，二面角的大小是.5．如圖，在正四棱錐中，，直線與平面所成角為，則該正四棱錐的高是

6．若球的體積是，則球的表面積是.7．在正四面體中，棱與所成角大小為.8．如圖，平面.正方形的邊長為，，則到平面的距離是.9．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，為棱上一個(gè)點(diǎn)，若，則.10．已知圓柱底面半徑為1，高為2，是上底面圓的一條直徑，為下底面圓的一條動(dòng)弦且與平行，設(shè)與的距離為，則的取值范圍是.11．在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.12．如圖，對(duì)于一個(gè)給定的四面體.存在四個(gè)依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相鄰的兩個(gè)平面間的距離都相等.記四面體夾在平面與之間的體積為，則.二、單選題13．若是平面與平面的交線，直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．至少與、中的一條相交 B．與、都相交C．至多與、中的一條相交 D．與、都不相交14．如圖，在三棱錐中，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，經(jīng)過、、的截面一定是（

）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形15．定義：通過小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）來判斷降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一個(gè)圓錐形容器（如圖）接了小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨16．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（）A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條三、解答題17．如圖，在長方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，，.(1)求直線與平面所成的角的大??；(2)求直線與直線所成的角的大小.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求二面角的大小.19．如圖，是圓柱下底面的直徑且長度為，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn).(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；(2)若，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，求的最小值，并求此時(shí)的長.20．如圖，已知是底面邊長為2的正四棱柱，為與的交點(diǎn).為與的交點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高；(3)若線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，求線段的取值范圍.21．如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，、、分別為棱、、上的動(dòng)點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等.（注：棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）(1)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求棱臺(tái)的體積；(2)求在二面角的變化過程中，線段在平面上投影所掃過的平面區(qū)域的面積；(3)設(shè)常數(shù)，稱較小內(nèi)角為的菱形為-菱形.當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）時(shí)，總存在底面為-菱形的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)有相同的體積，也有相同的棱長和，求的取值范圍.參考答案：題號(hào)13141516答案ADBD1．3【分析】求出小圓的半徑，從而由勾股定理得到答案.【詳解】設(shè)小圓的半徑為，則，解得，又球的半徑為5，故線段.故答案為：32．【分析】根據(jù)直觀圖的面積和原圖形的面積比進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)直觀圖的面積為，原圖形的面積為，則，故原三角形的面積為.故答案為：3．【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【詳解】由圓錐的側(cè)面積公式故答案為：2π4．【分析】直接由定義法求二面角即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為1，則，由三線合一可知，平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角為，而在直角三角形中，，所以.故答案為：.5．【分析】作出輔助線，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案.【詳解】連接，相交于點(diǎn)，連接，則⊥平面，故，因?yàn)椋?，，故，故，正四棱錐的高為.

故答案為：6．【分析】求出球體的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)該球的半徑為，則球的體積為，解得，因此，該球的表面積為.故答案為：.7．【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取中點(diǎn)，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進(jìn)而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連，，正四面體是四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.8．【分析】證明線面平行，得到點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，證明出⊥平面，故的長即為到平面的距離，結(jié)合，，利用勾股定理等知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又⊥，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，故的長即為到平面的距離，因?yàn)?，，故，則.故答案為：9．/0.5【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，由求出，求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，故，解得，故.故答案為：10．【分析】作出輔助線，當(dāng)與重合時(shí)，最小，此時(shí)，當(dāng)越接近于時(shí)，越大，故的取值范圍是.【詳解】如圖所示，點(diǎn)為上底面的圓心，下底面的直徑為，為下底面的圓心，連接，則，過點(diǎn)作⊥，交圓于點(diǎn)，則，連接，由勾股定理得，當(dāng)與重合時(shí)，最小，此時(shí)，當(dāng)越接近于時(shí)，越大，故的取值范圍是.

故答案為：11．12【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等且等于球體半徑，故可得解.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故答案為:12.12．/0.5【分析】先作出輔助線，得到面面平行，故平面即為平面，平面即為平面，計(jì)算出，，，計(jì)算出.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的三等分點(diǎn)分別為，其中靠近，連接，，由中位線可知，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，同理可證平面，又，平面，故平面平面，且到平面的距離，到平面的距離，平面與的距離，三者相等，故平面即為平面，平面即為平面，故，，設(shè)四面體的體積為，由于，，故點(diǎn)到底面的距離為點(diǎn)到平面的距離的，故，同理可得，故，所以.故答案為：13．A【分析】舉出實(shí)例，得到至少與、中的一條相交，A正確，BC錯(cuò)誤；與、都不相交，故與平行，但此時(shí)和不是異面直線，D錯(cuò)誤；【詳解】BC選項(xiàng)，如圖1，與、都相交，如圖2，與相交、與平行，BC錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，與、都不相交，故與平行，但此時(shí)和不是異面直線，D錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，至少與、中的一條相交，A正確.故選：A14．D【分析】作出輔助線，得到，所以四邊形為平行四邊形，求出經(jīng)過、、的截面為平行四邊形.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，所以，，故，所以四邊形為平行四邊形，故經(jīng)過、、的截面為平行四邊形.故選：D15．B【分析】計(jì)算圓錐的體積，進(jìn)而可得降雨高度，即可判斷.【詳解】

做出容器的軸截面，如圖所示，則，，，則為中點(diǎn)，則，，由已知在直徑為的圓柱內(nèi)的降雨總體積，則降雨高度為，所以降雨級(jí)別為中雨，故選：B.16．D【詳解】在上任意取一點(diǎn)，直線與確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與有且僅有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)取不同的位置就確定不同的平面，從而與有不同的交點(diǎn)，而直線與這條異面直線都有交點(diǎn)，如圖所示，故選D．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，其中解答中涉及到立體幾何中空間直線相交問題、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線的概念等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題，本題的解答中正確把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵．17．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量為，求出直線與平面所成的角的正弦值，得到答案；（2）計(jì)算出，進(jìn)而求出線線角的大小.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個(gè)法向量為，故直線與平面所成的角的正弦值為，所以直線與平面所成的角的大小為；（2）設(shè)直線與直線所成角的大小為，，故直線與直線所成角為.18．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到為等邊三角形，故⊥，結(jié)合，得到⊥平面，從而面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量的夾角余弦值，結(jié)合二面角的大小為銳角，得到二面角的大小.【詳解】（1）連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，，所以為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，又平面，所以平面平面；?）由（1）知，⊥平面，取的中點(diǎn)，則，故⊥平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故，又平面的一個(gè)法向量為，則，由圖形可看出二面角的大小為銳角，故二面角的大小為.19．(1)側(cè)面積為；體積為(2)；【分析】（1）代入圓柱側(cè)面積公式和體積公式計(jì)算即可；（2）延長線段至，使得，則，作，故為的最小值，在中，求出即可．【詳解】（1）由已知，圓柱底面圓的半徑，∵母線長，∴圓柱的高，∴圓柱的側(cè)面積，圓柱的體積.（2）如圖，延長線段至，使得，作，垂足為，交與，因?yàn)槭菆A柱下底面的直徑，是圓柱的母線，所以，則，∴，所以，此時(shí)，取得最小值，因?yàn)椋?，所以，所以在中，，所以，所以的最小值?又在中，，所以，則在中，.20．(1)證明過程見解析(2)(3)或.【分析】（1）作出輔助線，得到，所以平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，則，求出平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離向量公式列出方程，求出，得到答案；（3）設(shè)，則，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，，由得到方程，化為在上有解問題，當(dāng)時(shí)，，不合要求，當(dāng)時(shí)，求出兩根，只需，得到答案.【詳解】（1）連接，因?yàn)槭堑酌孢呴L為2的正四棱柱，所以，，故四邊形為平行四邊形，則，又為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，點(diǎn)到平面的距離為，解得，故正四棱柱的高為；（3）設(shè)，則，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，，，則，化簡得在上有解，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，不合要求，當(dāng)時(shí)，，故方程的根為，故只需，解得或，綜上，或，故線段的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問，設(shè)，，由得到方程，化為在上有解問題，再進(jìn)行下一步的求解.21．(1)(2)(3)【分析】（1）先得到正三棱錐為正四面體，求出，從而得到，求出棱臺(tái)體積；（2）點(diǎn)在平面上的投影在上，故線段在平面上投影所掃過的平面區(qū)域?yàn)?，求出答案；?）設(shè)-菱形的邊長為，直平行六面體的高為，表達(dá)出直平行六面體的體積為，設(shè)，表達(dá)出棱臺(tái)的體積，從而得到方程，再根據(jù)棱長和相等得到另一個(gè)方程，兩方程聯(lián)立，得到，分別求出等式兩邊的取值范圍，得到，得到不等式，求出答案.【詳解】（1）因?yàn)槭堑酌孢呴L為1的正三棱錐，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等，所以，又，故，即正三棱錐為正四面體，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥平面，且，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼?，故，故，，則，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，故棱臺(tái)的體積為，（2）二面角的變化過程中，點(diǎn)在平面上的投影在上，故線段在平面上投影所掃過的平面區(qū)域?yàn)?，顯然；（3）設(shè)-菱形的邊長為，直平行六面體的高為，則-菱形的高，則菱形的面積為，直平行六面體的體積為，當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）時(shí)，設(shè)，，則棱臺(tái)的體積為，則，直平行六面體與棱臺(tái)