甘肅省武威市涼州區(qū)武威五中聯(lián)片教研2024-2025學年九年級上學期10月期中數(shù)學試題

2024-2025學年甘肅省武威五中聯(lián)片教研九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.以下四個圖形中屬于中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列方程中，屬于一元二次方程的是(

)A. B. C. D.3.如果將方程配方成的形式，則的值為(

)A. B.10 C.5 D.94.如圖所示為長20米、寬15米的矩形空地，現(xiàn)計劃要在中間修建三條等寬的小道，其余面積種植綠植，種植面積為400平方米，若設小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為(

)A.

B.

C.

D.5.函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則m的值為(

)A.1 B.7 C.5 D.46.關于函數(shù)的圖象和性質，下列說法錯誤的是(

)A.函數(shù)圖象開口向上 B.當時，y隨x的增大而增大

C.函數(shù)圖象的頂點坐標是 D.函數(shù)圖象與x軸沒有交點7.如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，若水面下降，那么水面寬度為A.3 B.6 C.8 D.98.如圖，將三角形ABC繞點A逆時針旋轉得到三角形，若，則(

)A.

B.

C.

D.9.如圖，在中，，，，D在BC上，且BD：：連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉得到線段AE，連接BE，則的面積是(

)

A. B. C. D.310.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③；④中，其中正確結論的個數(shù)為(

)A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.若m是方程的根，則的值等于______.12.非零實數(shù)a，滿足，，則的值是______.13.如圖，中，，，，點P從點B出發(fā)向終點C以1個單位長度移動，點Q從點C出發(fā)向終點A以2個單位長度移動，P、Q兩點同時出發(fā)，一點先到達終點時P、Q兩點同時停止，則______秒后，的面積等于

14.將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得到的函數(shù)解析式為______.15.二次函數(shù)經(jīng)過點，兩點，則關于x的一元二次方程的解是______.16.如圖，已知一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于點，，則能使成立的x的取值范圍是______.

17.某汽車剎車后行駛的距離單位：米關于行駛時間單位：秒的函數(shù)解析式是，則從汽車開始剎車到汽車停止所需的時間是______.18.如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞O點順時針旋轉后，得到正方形，以此方式，繞O點連續(xù)旋轉2024次得到正方形，如果點C坐標為，那么點的坐標為______.

三、解答題：本題共9小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題6分

如圖，三個頂點的坐標分別為，，

經(jīng)過平移得到，其中內(nèi)任意一點平移后的對應點，畫出平移的；

畫出繞點O逆時針旋轉后的

求平移到的平移距離的長.20.本小題8分

解方程：

；

21.本小題6分

某社區(qū)組織一次排球比賽，規(guī)定每兩個隊伍之間比賽一場，賽程計劃安排7天，每天舉行3場比賽，應邀請多少支球隊參賽？22.本小題6分

已知關于x的一元二次方程求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根.23.本小題6分

已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

求m的取值范圍；

若方程的一個根是，求方程的另一個根.24.本小題8分

如圖為拋物線，圖象經(jīng)過點直線與拋物線交于B，C兩點，點A，B在x軸上.

求拋物線與直線的函數(shù)解析式；

求的面積.25.本小題8分

如圖，在中，，在BC上截取，連接AD，在AD右側作交BD于

若，求CE的長；

如圖，M、N分別為AB和AC上的點，且，連接EM、DN，若，求證：26.本小題8分

如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉，得到線段AE，連接CD，

求證：；

連接DE，若，求的度數(shù).27.本小題10分

如圖，拋物線的對稱軸是直線，與x軸交于點A，，與y軸交于點C，連接

求此拋物線的解析式；

已知點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；

已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：選項A、B、C不是中心對稱圖形，選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．

故選：

根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．

本題考查的是中心對稱圖形，把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．2.【答案】B

【解析】解：含2個未知數(shù)，不是一元二次方程；

B.是一元二次方程；

C.的分母中含未知數(shù)，是分式方程，不是一元二次方程；

D.的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程；

故選：

根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．

本題考查了一元二次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)都是2，像這樣的方程叫做一元二次方程．3.【答案】A

【解析】解：，

配方，得，

由完全平方公式得，

所以，，

故選：

先移項，再添項配方得到，求出，，再代入求出答案即可．

本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．4.【答案】C

【解析】解：設小道的寬為x米，則6個小矩形可合成長為米、寬為米的矩形，

根據(jù)題意知：

故選：

設小道的寬為x米，則6個小矩形可合成長為米、寬為米的矩形，然后利用矩形的面積公式列出關于x的一元二次方程求解即可．

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系、正確列出一元二次方程是解題的關鍵．5.【答案】B

【解析】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，

，

故選：

將點代入計算即可求出m的值．

本題考查了查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握該知識點是關鍵．6.【答案】D

【解析】解：A、可以判斷出圖象的開口向上，故此選項正確，不符合題意；

B、見函數(shù)化為頂點式可得：的對稱軸為直線，當時，y隨x的增大而增大，故此選項正確，不符合題意；

C、由B項結果可得，頂點坐標是，故此選項正確，不符合題意；

D、當時，，方程有兩不等根，故與x軸有兩個交點，故此選項錯誤，符合題意；

故選：

根據(jù)從開口方向，頂點坐標，增減性等方面逐個分析即可．

本題考查二次函數(shù)的性質，拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是熟練運用以上知識點．7.【答案】B

【解析】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，

拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為，

設頂點式，把A點坐標代入得，

拋物線解析式為，

當水面下降米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：

當時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線與拋物線相交的兩點之間的距離，

可以通過把代入拋物線解析式得出：

，

解得：，

水面寬度為

故選：

根據(jù)已知確定平面直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．

此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關鍵，學會把實際問題轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質解決問題，屬于中考?？碱}型．8.【答案】A

【解析】解：由旋轉的性質得，，

，

故選：

由旋轉的性質得到，，根據(jù)角的和差關系進行計算，則可求出答案．

本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵．9.【答案】C

【解析】解：線段AD繞點A順時針旋轉得到線段AE，

，，

，

在中，，，

，，

，

≌，

，，

，

，BD：：3，

，，

，

故選：

根據(jù)旋轉的性質得出，，再根據(jù)SAS證明≌得出，，得出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．

本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，根據(jù)SAS證明≌是解題的關鍵．10.【答案】C

【解析】解：①由圖可知，拋物線開口向上，得；當時，；進而推斷出，那么①錯誤．

②由圖可知，二次函數(shù)與x軸有兩個交點，故，那么②正確．

③由圖可知，當時，，那么③錯誤．

④由圖可知，對稱軸，結合得，那么④正確．

綜上：正確的有②④，共2個．

故選：

根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸的位置，與x軸交點個數(shù)判斷即可．

此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，時，拋物線與x軸有2個交點；時，拋物線與x軸有1個交點；時，拋物線與x軸沒有交點是解題的關鍵．11.【答案】8

【解析】解：將代入原方程得：，

，

原式

故答案為：

將代入原方程，可得出，再將其代入原式中，即可求出結論．

本題主要考查一元二次方程的根以及代數(shù)式求值，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關鍵．12.【答案】

【解析】解：由題意可知：a、b是方程的兩根，

，，

，

，

故答案為：

由題意可知a、b是方程的兩根，由根與系數(shù)的關系可得，，再由完全平方公式可得，代入計算即可．

本題考查了代數(shù)式求值，一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，掌握相關知識是解題的關鍵．13.【答案】1

【解析】解：設t秒后的面積等于4，

由題意得：，，則，

，

，整理得：，

解得：，，

點Q從點C到點A的時間為，

，不合題意，舍去，

秒后，的面積等于

故答案為：

設t秒后

的面積等于4，然后根據(jù)三角形面積公式列出一元二次方程求解即可．

本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)圖形正確列出一元二次方程成為解題的關鍵14.【答案】

【解析】解：根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律知：

二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度后所得拋物線解析式為：，即

故答案為：

按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進而求出即可．

主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．15.【答案】，

【解析】解：，

，

二次函數(shù)經(jīng)過點，兩點，

或，

解得：，，

故答案為：，

由，則，又二次函數(shù)經(jīng)過點，兩點，從而有或，然后求解即可．

本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，正確理解二次函數(shù)與一元二次方程是解題的關鍵．16.【答案】或

【解析】解：當時，一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方，

一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于點，，

能使成立的x的取值范圍是或，

故答案為：或

利用一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方時，，據(jù)此可得x的取值范圍．

此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，正確利用函數(shù)圖象得出正確信息是解題的關鍵．17.【答案】3秒

【解析】解：，

從汽車開始剎車到汽車停止所需的時間是3秒，

故答案為：3秒．

利用配方法求二次函數(shù)最值的方法解答即可．

此題主要考查了利用配方法求最值的問題，根據(jù)已知得出頂點式是解題關鍵．18.【答案】

【解析】解：由題意可得：點B的坐標為，則，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

點的坐標為，

…，

旋轉后點B的對應點的坐標按，，，，，，，循環(huán)出現(xiàn)，

由，得到點的坐標為，

故答案為：

根據(jù)正方形的運動發(fā)現(xiàn)點B的對應點的坐標按旋轉后點B的對應點的坐標按為，，，，，，，循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此即可得到答案．

本題考查點的坐標變化規(guī)律，依次求出每次旋轉后點B對應點的坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題是解題關鍵．19.【答案】解：由題意得，是向右平移6個單位長度，向上平移4個單位長度得到的

如圖，即為所求．

如圖，即為所求．

由勾股定理得，

【解析】由題意得，是向右平移6個單位長度，向上平移4個單位長度得到的根據(jù)平移的性質作圖即可．

根據(jù)旋轉的性質作圖即可．

利用勾股定理計算即可．

本題考查作圖-平移變換、旋轉變換、勾股定理，熟練掌握平移的性質、旋轉的性質、勾股定理是解答本題的關鍵．20.【答案】解：，

，

，

，

解得；

，

，

，

，

，

解得

【解析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再方程兩邊同時除以4，最后利用開方解方程即可；

先把常數(shù)項移到方程右邊，再方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進行配方，進而解方程即可．

本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程是關鍵．21.【答案】解：設應邀請x支球隊參賽，

根據(jù)意得：，

整理得，，

解得：，不合題意，舍去，

所以應邀請7支球隊參賽．

答：應邀請7支球隊參賽．

【解析】設應邀請x支球隊參賽，根據(jù)題意列方程即可求解．

本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，正確找到等量關系．22.【答案】證明：由題意可知：，

無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．

【解析】由題意知，，進而結論得證．

本題考查了一元二次方程根的判別式．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．23.【答案】解：一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

，

即：，

整理得：，

；

解：方程有一個根是，

將代入方程得：，

，

則原方程為：，

解得：，，

方程的另一個根為

【解析】由根的判別式，列不等式求解即可．

將代入原方程，求出m，再解方程即可．

本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判別式：方程有兩個不相等的實數(shù)根，方程有兩個相等的實數(shù)根，方程沒有實數(shù)根，方程有實數(shù)根．熟練掌握根的判別式是解題關鍵．24.【答案】解：把代入代入得，

解得，

拋物線的解析式為，

令，則，

解得，

，，

把代入得，

解得，

一次函數(shù)解析式為；

聯(lián)立方程組，

解得或，

，

，，

，

【解析】把代入即可求出拋物線解析式，再求出A，B坐標，最后代入計算即可；

聯(lián)立二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，解方程組求出點C坐標，再根據(jù)求解即可．

本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，關鍵是求出二次函數(shù)的解析式．25.【答案】解：設，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

證明：如圖，

，，

將繞點A逆時針旋轉，得到，

，，，，

，

，

，N，T共線，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

【解析】設，想辦法證明，，推出，可得結論；

將繞點A逆時針旋轉，得到，首先證明D，N，T共線，再證明，可得結論．

本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．26.【答案】證明：是等邊三角形，

，，

線段AD繞點A順時針旋轉，得到線段AE，

，，

，

，

在和中，

，

≌，

；

解：如圖，連接DE，

，，

為等邊三角形，

，

又，

【解析】由等邊三角形的性質知，，