幾何問題的處理方法(第2課時(shí))課件

幾何問題的處理方法（第2課時(shí)）想一想：在公理的基礎(chǔ)上，我們已證得了許多與平行線、三角形有關(guān)的圖形的屬性，并將這些圖形的屬性均作為進(jìn)一步推理的依據(jù)，于是又進(jìn)一步證明等腰三角形、平行四邊形的性質(zhì)與判定定理。例如，有了“邊角邊”公理，我們以證明了等腰三角形的性質(zhì)定理“等腰三角形的底角相等”、“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）”。等腰三角形性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

（簡寫成“等邊對等角”）

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成“等腰三角形的三線合一”）我們還可以用邏輯推理的方法得到等腰三角形的性質(zhì)：

以等腰三角形為條件時(shí)的常用輔助線:如圖：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有結(jié)論:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，連結(jié)AD，必有結(jié)論：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有結(jié)論：AD⊥BC，BD=DC作輔助線時(shí)，一定要作滿足其中一個(gè)性質(zhì)的輔助線，然后證出其它兩個(gè)性質(zhì)，不能這樣作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.

對一般三角形能用（SSA）判定兩個(gè)三角形全等嗎？為什么？探索與證明

我們曾經(jīng)通過畫圖、比較，發(fā)現(xiàn)：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形是全等的－－RT△HL定理．

已知：如圖，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB＝∠AˊCˊBˊ＝90°,AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ求證：△ABC≌△AˊBˊCˊ探索與證明已知：如圖19.2.2，在△ABC和△A’B’C’中,∠ACB=∠A’C’B’=90°，AB=A’B’,AC=A’C’.求證：△ABC≌△A’B’C’

把△ABC和△A’B’C’拼在一起，使相等的直角邊AB和A’B’重全在一起，并使點(diǎn)C和C’在A’B’.的兩旁，C、B（B’）、C’在一條直線上。19.2.2(A)C(B')A'C'B'c'B'A'CBA19.2.2(A)C(B)A'C'B''c'B'A'CBA證明；如圖,把△ABC和△A’B’C’拼在一起,因?yàn)椤螦BC=∠A’B’C’=90°(已知)所以∠C’B’C=180°（等式的性質(zhì)）即點(diǎn)C’、B’、C在同一條直線上。在△A’C’C中，因?yàn)锳’C’=AC=A’C（已知）所以∠C=C’（等邊對等角）在△ABC和△A’B’C’中。因?yàn)椤螦BC=∠A’B’C’（已知）∠C=∠C’（已證）AC=A’C’

（已知）所以△ABC≌△A’B’C’

（A.A.S）1.證明等腰三角形的判定方法證明：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等．

已知：在△ABC中，∠B＝∠C，求證：AB＝ACD等腰三角形的判定定理（簡寫成“等角對等邊”）在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC如圖16.1.2。按照下面的步驟，在方格紙上畫一個(gè)平行四邊形。探索步驟1：畫兩條平行線；步驟2：在兩條線上分別取點(diǎn)A和點(diǎn)B，連結(jié)AB；步驟3：沿著水平方向平移AB到DC，就得到ABCD。

圖16.1.2ABABDC如圖16.1.3。用剪刀把ABCD從方格紙上剪下，再在一張紙上沿ABCD的邊沿，畫出一個(gè)四邊形，記為四邊形EFGH。則四邊形EFGH和四邊形ABCD完全一樣，也為平行四邊形。它們的對應(yīng)邊、對應(yīng)角都相等。在ABCD中連結(jié)AC、BD，它們的交點(diǎn)記為O。用一枚圖釘在點(diǎn)O穿過，將ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1800，觀察旋轉(zhuǎn)后的ABCD和紙上所畫的EFGH是否重合。

旋轉(zhuǎn)1800之后兩個(gè)平行四邊形完全重合。即平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)O就是對稱中心。由此得到：你能從中得出ABCD的一些邊角關(guān)系嗎？AD＝BC，AB＝DC

A＝

C；

B＝

D即平行四邊形的對邊相等、對角相等。如圖29.1.4，四邊形ABCD是平行四邊形。求證：AB＝CD，BC＝DA。例2證明：連結(jié)AC?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形（已知）∴AB∥CD（平行四邊形的定義）?！唷螧AC＝∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理∠BCA＝∠DAC在△ABC和△CDA中，

∠BAC＝∠DCA（已證），AC＝CA（公共邊），∠BCA＝∠DAC（已證），

∴△ABC≌△CDA

（A.S.A）

∴AB＝CD，BC＝DA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）由△ABC≌△CDA

，還可得：∠B＝∠D，同理也可得出:∠BAD=∠DCB.平行四邊形的對邊相等，對角相等。平行四邊形的性質(zhì)定理:平行四邊形的對邊相等.′BDCA∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四邊形的對角相等.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠A=∠C,∠B=∠D.定理:平行四邊形的對角線互相平分.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴CO=AO,BO=DO.BDCAO推論:夾在兩條平行線間的平行線段相等.∵M(jìn)N∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顧思考平行四邊形的性質(zhì)邊平行四邊形的對邊平行平行四邊形的對邊相等角平行四邊形的對角相等平行四邊形的鄰角互補(bǔ)對角線

平行四邊形的對角線互相平分溫故知新例3：有了平行四邊形的性質(zhì)，還可以證明矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)。例如要證明菱形的對角線互相垂直，可以先證明菱形的四條邊相等。這是因?yàn)榱庑蔚膶呄嗟?，且有一組鄰邊相等，故四條邊都相等。如圖29.1.5，四邊形ABCD是菱形。求證：AC⊥BD，且AC平分∠BAD。證明：設(shè)AC與BD相交于O?！咚倪呅蜛BCD是菱形，∴BO＝DO（平行四邊形的對角線互相平分）AB＝AD（菱形的四條邊相等）∴AC⊥BD，且AC平分∠BAD（等腰三角形三線合一）矩形的性質(zhì)定理:矩形的四個(gè)角都是直角.駛向勝利的彼岸已知:如圖,四邊形ABCD是矩形.分析:由矩形的定義,利用對角相等,鄰角互補(bǔ)可使問題得證.證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=900,四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900,∠D=1800-∠A=900.求證:∠A=∠B=∠C=∠D=900.∴四邊形ABCD是矩形.DBCA想一想:正方形的四個(gè)角都是直角嗎?

我思,我進(jìn)步定理:矩形的兩條對角線相等.已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線.求證:AC=BD.證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.分析:根據(jù)矩形的性質(zhì)性質(zhì),可轉(zhuǎn)化為全等三角形(SAS)來證明.DBCA∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.矩形的性質(zhì)

我思,我進(jìn)步定理:菱形的四條邊都相等.已知:如圖,四邊形ABCD是菱形.分析:由菱形的定義,利用平行四邊形性質(zhì)可使問題得證.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD,AD=BC.求證:AB=BC=CD=DA.∴AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性質(zhì)

我思,我進(jìn)步定理:菱形的兩條對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.已知:如圖,AC,BD是菱形ABCD的兩條對角線,AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:(1).AC⊥BD;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=CD,AO=CO.分析:根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和等腰三角形“三線合一”來證明.∵DO=DO,∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.DBCAO∴AC⊥BD.(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD;∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.菱形的性質(zhì)

我思,我進(jìn)步定理:正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,ABCD已知:四邊形ABCD是正方形.正方形的性質(zhì)

我思,我進(jìn)步定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.求證:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.證明:∴四邊形ABCD是平行四邊形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四邊形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對角線.ABCDO正方形的性質(zhì)

我思,我進(jìn)步等腰梯形的性質(zhì)定理1.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等.ABCD2.等腰梯形的兩條對角線相等.ABCD對上述定理分別作出證明：定理等腰梯形的同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等．1.已知：如圖19.3.8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．求證：∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．分析可以過點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于E．請你寫出完整的證明過程．演示證明：過D作DE∥AB，交BC于E，因?yàn)锳D∥BC，所以ABED是平行四邊形.所以AB=DE.又因?yàn)锳B=DC，則DE=DC,所以△DEC是等腰三角形,可得∠DEC=∠C.因?yàn)镈E∥AB，所以∠ABC=∠DEC(兩直線平行同位角相等)所以∠ABC