江蘇省無錫市經(jīng)開區(qū)2024-2025學年上學期九年級期中考試數(shù)學試題

2024年秋學期期中考試試卷九年級數(shù)學2024.11本試卷分試題和答題卡兩部分，所有答案一律寫在答題卡上．考試時間為120分鐘．試卷滿分150分．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知，則的值是（）A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定4．已知的半徑是8，點A到圓心O的距離是7，則點A與的位置關系是（）A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定5．如圖，，下列結論錯誤的是（）A． B．C．平分 D．是、的比例中項6．今年是新中國成立75周年，國慶檔電影《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》展現(xiàn)了打不垮的英雄鐵軍，燃不盡的奮勇志氣，第一天當日票房約為1億元，如果每天票房按相同的增長率增長，第三天當日票房約為2億元，方程可以列為（）A． B． C． D．7．如果兩個相似三角形對應面積的比為，則這兩個三角形對應周長的比是（）A． B． C． D．8．下列說法正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦B．外心和重心重合的三角形是等邊三角形C．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等D．過三點一定可以畫一個圓9．如圖，在中，，，點D，E分別在邊，上，且，，連接，，相交于點O，則面積最大值為（）A． B． C．3 D．10．如圖，正方形中，，連接，點E，F(xiàn)分別在，邊上運動，始終滿足，連接、交于點G，連接，，則下列結論：①；②；③；④的最小值是．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置）11．2024年巴黎奧運會，中國體育代表團以40金27銀24銅位于金牌榜并列第一、獎牌榜第二，在比例尺為的地圖上，無錫到巴黎的長度約為，則它的實際長度約為________．12．如圖，是的弦，半徑，點D在上，且，則________．13．關于y的一元二次方程有一個根是2，則這個一元二次方程可以是________．（寫出一個即可）14．在中，，，，點D，E，F(xiàn)分別是，，的中點，則的外接圓半徑為________．15．下列命題中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圓都相似，正確命題的有________．（填序號）16．《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的竿長是________尺．17．若一元二次方程的兩根為，，則方程的兩根為________．18．在平面直角坐標系中，的半徑為2．對于的弦和不在直線上的點C，給出如下定義：若點C關于直線的對稱點不在外，且此時，則稱點C是弦的“點”．如圖，已知點，點，在點，，中，點________是弦的“點”；若點F是弦的“點”，則點F的橫坐標的最大值為________．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題滿分16分）解方程：（1）； （2）；（3）； （4）．20．（本題滿分8分）已知關于x的一元二次方程．（1）當m為何值時，方程有兩個實數(shù)根；（2）若、是方程的兩根，且，求m的值．21．（本題滿分8分）如圖，在中，E為邊上一點，交于點F．（1）求證：；（2）若，，，求對角線的長．22．（本題滿分8分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點在格點（網(wǎng)格線的交點）上，以點O為原點建立平面直角坐標系，點A的坐標為．（1）將向左平移5個單位長度得到，畫出；（2）以點O為位似中心，將放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），得到，在所給的網(wǎng)格中畫出；（3）若點是內的一點，經(jīng)過（1）、（2）兩次變換，點D的對應點的坐標是________．（用含a，b的代數(shù)式表示）23．（本題滿分8分）我們已經(jīng)學習了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉化為二次方程或一次方程進行求解．例如，①換元法求解四次方程：設，則原方程可變?yōu)?，解得，，當時，即，∴；當時，即，∴；∴原方程有四個根：，，，．②因式分解法求解三次方程：將其變形為；∴，∴，∴，∴，∴或，∴原方程有三個根：，，（1）仿照以上方法解方程：①；②；（2）已知：，且，則的值為________．24．（本題滿分8分）如圖，已知銳角中，．（圖1）（圖2）（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的角平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡，標注相應的字母）（2）在（1）的條件下，若，，則的半徑為________．（如需畫草圖，請使用圖2）25．（本題滿分10分）如圖，是的直徑，內接于，，，的延長線相交于點E，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．26．（本題滿分10分）2024年4月23日是第二十九個世界讀書日，第三屆全民閱讀大會在昆明如期舉行，共建書香社會，共享現(xiàn)代文明，學校積極響應“最是書香能致遠”，計劃購買文學和科普兩類圖書．已知文學類圖書每本50元，科普類圖書每本40元．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，商家決定對文學類圖書推出銷售優(yōu)惠活動：若不超過50本，按每本50元價格銷售；若超過50本，每增加2本，單價降低1元，但單價不得低于30元（即超過一定的購買數(shù)量后，單價保持30元不變）．（1）如果每本文學類圖書的單價是30元，則至少購買文學類圖書________本；（2）如果學校購進兩類圖書共100本，用去購書款4300元，求購進文學類圖書多少本？27．（本題滿分10分）【問題背景】2021年7月，第14屆國際數(shù)學教育大會在中國上海召開，其會標（如圖1）設計的基本思想來自《河圖》，會標中蘊含豐富的數(shù)學知識，請觀察、思考、探究：【觀察】如圖2，《河圖》是中華文明之源，由1、2、310這10個自然數(shù)排列而成，“十”字形布局中，橫向上的5個數(shù)（8、3、10、4、9）之和為34，縱向上的5個數(shù)（7、2、5、1、6）之和為21，這兩個數(shù)字是相鄰的斐波那契數(shù)（斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55），該數(shù)列隨著項數(shù)增大，相鄰兩數(shù)的比越接近黃金比，因而又被稱為黃金分割數(shù)列．請直接寫出該黃金分割數(shù)列中第13個數(shù)為________．【思考】會標右下方“ICME—14”下面的“卦”是中國古代某個數(shù)進制（正整數(shù)進制且十進制以內）的計數(shù)符號表示為3745，換算成十進制數(shù)為2021，即表示開會年份，請通過計算說明，此“卦”是幾進制？（例如：二進制數(shù)1101，逢2進1，只有1和0兩個數(shù)字組成，換算成十進制為：．）【探究】會標中心的弦圖是三國時期數(shù)學家趙爽給出勾股定理的一個絕妙證明．如圖3，在由四個全等的直角三角形（，，，）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，，點E是的黃金分割點，求正方形與正方形的面積之比．（圖1）（圖2）（圖3）28．（本題滿分10分）【數(shù)學實驗】將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，將其中一張紙片繞這個頂點旋轉，探究圖形旋轉的性質．如圖1，已知直角三角形紙片和中，，，．【感知】（1）如圖，在繞點A旋轉過程中，若連接，，求的值．【探究】（2）在繞點A旋轉過程中，當點E恰好落在的中線上時，求的長．【拓展】（3）在繞點A旋轉過程中，連接，，試探究與能否相似，若能，請求出此時的面積；若不能，請說明理由．2024年秋學期期中考試九年級數(shù)學參考答案及評分說明一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）1-5：CBAAB 6-10：CDBAD二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11．9150． 12．50． 13．答案不唯一，如．14．． 15．③④． 16．10．17．，． 18．D，．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（1） （2分） （2） （2分）∴，． （4分） ∴，． （4分）（3） （2分） （4） （2分）∴，．（4分） ∴，． （4分）20．（1）∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴， （2分）∴且． （4分）（2）∵、是方程的兩根，∴，， （6分）∵，∴，∴， （7分）∴經(jīng)檢驗，m的值為． （8分）21．（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， （1分）∴，， （3分）∴． （4分）（2）可得：， （5分）∵，∴， （6分）∴，． （8分）22．（1）如圖； （2分）（2）如圖； （5分）（3） （8分）23．（1）①設，則原方程可變?yōu)?，解得，?（1分）當時，即，∴無解（舍去）；當時，即，∴，，∴原方程有兩個根：，． （3分）②將其變形為：；∴，∴，∴，∴，∴或， （5分）∴原方程有三個根：，，． （6分）（2）． （8分）24．（1）作角平分線交于點D， （2分）作（或）垂直平分線交于點O， （4分）以點O為圓心、為半徑作． （5分）（2）． （8分）25．（1）∵，∴， （2分）∵，∴，∴， （4分）又∵，∴． （5分）（2）連接，∵是的直徑，∴， （6分）設，∵，∴，∵，∴， （7分）∵四邊形是的內接四邊形，∴，∴，∴， （9分）∴ （10分）26．（1）90； （3分）（2）設購進文學類圖書x本，①當時，，∴； （5分）②當時，，∴（不符合題意，舍去），； （8分）③當時，，∴（不符合題意，舍去）； （9分）答：購進文學類圖書30本或60本． （10分）27．（1）233； （3分）（2）設此“卦”是x進制，由題意可得，且x為正整數(shù)，∴或9，代入驗證，可得：符合題意，答：此“卦”是八進