《數學分析2》課程教學大綱

《數學分析2》教學大綱課程名稱：數學分析（3）英文名稱：MathematicalAnalysis課程編號：F035091041學分：6總學時/課內實踐學時：96/0課程性質：必修課程開課單位：數理科學與工程學院數學系基層教學組織適應對象：信息與計算科學專業(yè)一、課程簡介數學分析是信息與計算科學專業(yè)的一門專業(yè)基礎課程，是進一步學習復變函數、常微分方程、偏微分方程、概率論、實變函數、泛函分析等后續(xù)課程的基礎，是數學類專業(yè)碩士研究生必考的基礎課。本課程以極限思想貫穿始終，主要內容包括極限論、一元函數微積分、多元函數微積分、級數理論。本課程的主要目的是通過三個學期對數學分析的系統(tǒng)學習與訓練，逐步提高學生的數學修養(yǎng)，掌握數學的基本思想和方法，具備一定的理論分析及論證能力，提高學生利用數學分析的基本思想和方法解決實際問題的能力。本課程以課堂講授為主，輔以自學和討論?？己朔绞綖殚]卷考試。在課堂講授中，深入思考挖掘課程中蘊含的哲學及政治思想，將思政教育融匯于教學過程，引導學生樹立正確的人生觀、價值觀，培養(yǎng)學生的家國情懷。Mathematicalanalysisisaprofessionalbasiccourseininformationandcomputationalscience.Itisthebasisforfurtherlearningofcomplexvariablefunction,ordinarydifferentialequation,partialdifferentialequation,probabilitytheory,realvariablefunction,functionalanalysisandothersubsequentcourses.Itisthebasiccourserequiredformasterstudentsmajoringinmathematics.Thiscourserunsthroughtheconceptoflimits.Andthemaincontentofthecourseincludeslimittheory,calculusoffunctionsofonevariable,calculusoffunctionsofmultiplevariables,andseriestheory.Themainpurposeofthecourseistograduallyimprovestudents'mathematicalcultivation,masterthebasicideasandmethodsofthebasicideasandmethodsofmathematics,havecertaintheoreticalanalysisanddemonstrationability,andimprovestudents'abilitytosolvepracticalproblemsthroughthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis.Thiscourseismainlyaboutclassroomteaching,supplementedbyself-studyanddiscussion.Theassessmentmethodisaclosed-bookexamination.Intheclassroomteaching,weshouldthinkdeeplyaboutandexplorethephilosophyandpoliticalthoughtscontainedinthecourse,integrateideologicalandpoliticaleducationintotheteachingprocess,guidestudentstoestablishacorrectoutlookonlifeandvalues,andcultivatestudents'feelingsofhomeandcountry.二、課程目標1.強化科學倫理教育，注重科學思維方法訓練和科學精神培養(yǎng)，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生科技報國的家國情懷和使命擔當。2.理解極限思想，在極限思想的基礎上，掌握一元函數微積分、多元函數微積分、級數論，為后續(xù)課程的學習奠定良好的基礎。3.掌握數學分析的基本思想與方法，培養(yǎng)數學思維，提高學生運用數學思想和方法解決實際問題的能力。1.Strengthenscientificethicseducation,payattentiontothetrainingofscientificthinkingmethodsandscientificspirit,improvestudents'abilitytoanalyzeandsolveproblems,andcultivatestudents'nationalfeelingsandmissionresponsibilityforservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Deepunderstandingoflimitthought,onthebasisoflimitthought,masterthecalculusoffunctionsofonevariableandseveralvariables,seriestheory,tolayagoodfoundationforthesubsequentcourselearning.3.Masterthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis,cultivatemathematicalthinking,andimprovestudents'abilitytousemathematicalideasandmethodstosolvepracticalproblems.三、課程目標與畢業(yè)要求對應關系本課程的課程目標對信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)要求指標點的支撐情況如表1所示：表1課程目標與畢業(yè)要求對應關系畢業(yè)要求指標點課程目標畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數學基礎；了解數學的歷史概況和廣泛應用，以及當代數學的新發(fā)展。目標2，3畢業(yè)要求2：能力要求掌握數學科學的思想方法，具有扎實的數學基礎和較強的數學語言表達能力。目標2，3畢業(yè)要求3：素質要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀；具有較好的數學的人文社科素養(yǎng)。目標1四、課程教學安排課程共有7項教學內容，具體安排如下。表2：課程教學安排表序號教學內容思政元素課堂教學學時實驗/實踐教學學時學時小計1多元函數的極限與連續(xù)人生觀10102多元函數微分學-——16163隱函數定理及其應用理論聯系實際12124含參變量積分-——14145曲線積分-——886重積分-——22227曲面積分辯證唯物主義哲學思想1414合計9696教學安排第一章多元函數的極限與連續(xù)教學要求：掌握平面點集的有關概念，理解多元函數的極限、累次極限以及連續(xù)性等概念，了解平面點集上的完備性定理，掌握有界閉域上連續(xù)函數的性質。教學內容：平面點集的概念，多元函數的極限、累次極限以及連續(xù)性等概念，平面上的完備性定理，有界閉域上連續(xù)函數的性質。重點難點：多元函數極限的概念、性質、計算，有界閉域上連續(xù)函數的性質及平面的完備性定理。思政元素：在介紹多元函數的極限時，可以插入對極限理論有著巨大貢獻的數學家-柯西的生平?？挛?Cauchy,1789-1857)是法國\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"數學家、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"物理學家、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"天文學家。1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，后經魏爾斯特拉斯改進，成為現在所說的柯西極限定義或叫“ε-δ”定義，在此基礎上，才有了連續(xù)、導數、收斂等概念的的嚴謹定義?？挛鲗Χǚe分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運算之前，\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"強調必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴格證明了\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"微積分基本定理。通過柯西以及后來魏爾斯特拉斯的艱苦工作，使數學分析的基本概念得到嚴格的論述。從而結束微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對幾何概念、運動和直觀了解的完全依賴中解放出來，并使微積分發(fā)展成現代數學最基礎最龐大的數學學科?？挛髟谄渌矫娴难芯砍晒埠茇S富。\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"復變函數的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"代數方面、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"理論物理、光學、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"彈性理論方面，也有突出貢獻。柯西的數學成就不僅輝煌，而且數量驚人。柯西全集有27卷，其論著有800多篇，在數學史上是僅次于歐拉的多產數學家。他的光輝名字與許多定理、準則一起銘記在當今許多教材中。柯西就是這樣在他的一生中，孜孜不倦，勤奮工作，在數學中取得了卓越的貢獻。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一句名言“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績永存?！蓖ㄟ^柯西的生平介紹，激發(fā)學生學習這些偉大科學家的精神，培養(yǎng)科學嚴謹的團隊，樹立人生目標，不懈追求，永不言棄。第二章多元函數微分學教學要求：掌握偏導數、全微分、方向導數、梯度、高階偏導數等概念，理解全微分、偏導數、連續(xù)三者之間的關系，會求函數的偏導數、全微分、方向導數、梯度，熟練掌握多元復合函數微分法與求導法則，了解多元函數的泰勒公式，能夠運用多元函數微分學理論求極值。教學內容：多元函數的全微分、偏導數、可微性條件，復合函數微分法，方向導數與梯度，泰勒公式，極值。重點難點：偏導數、全微分的概念，復合函數求導法則，方向導數與梯度，泰勒公式，極值。第三章隱函數定理及其應用教學要求：了解隱函數、隱函數組的概念，能用隱函數存在定理判別隱函數的存在性，會求隱函數的導數或偏導數，掌握隱函數存在定理在幾何上的應用，會用拉格朗日乘數法求條件極值。教學內容：隱函數的概念，隱函數存在條件，利用隱函數存在定理求導，隱函數存在定理在幾何上的應用，條件極值。重點難點：隱函數存在定理，隱函數存在定理在幾何上的應用，用拉格朗日乘數法求條件極值。思政元素：在介紹條件極值時，可以引入實際生活中的問題：在設計易拉罐時，在容量一定的條件下，為什么現在的易拉罐會設計成圓柱狀？如何選擇圓柱的底半徑與高，用料最??？而后用拉格朗日乘數法求條件極值，即約束條件下的最優(yōu)解。這樣將所學知識用于實際生活中，理論聯系實際，激發(fā)學生學習數學的興趣，并引導學生節(jié)約資源，關注環(huán)境保護。第四章含參變量積分教學要求：掌握含參變量正常積分的概念和分析性質，理解含參變量反常積分收斂和一致收斂的概念及性質，掌握含參變量反常積分一致收斂的M判別法、阿貝爾判別法、狄立克雷判別法，了解Г函數、B函數的性質及二者的關系，能用收斂性判別法判斷某些含參變量反常積分的一致收斂性。教學內容：參變量正常積分，參變量反常積分，歐拉積分。重點難點：含參變量積分正常積分的概念和分析性質，含參變量反常積分一致收斂的概念、性質與判別，Г函數、B函數。第五章曲線積分教學要求：掌握第一及第二類曲線積分的定義、性質、計算方法，了解兩類曲線積分之間的聯系。教學內容：第一及第二類曲線積分的定義、性質、計算，兩類曲線積分之間的聯系。重點難點：兩類曲線積分的定義、計算，及它們之間的關系。第六章重積分教學要求：掌握二重積分與三重積分的概念、性質，掌握直角坐標系及極坐標系下二重積分的計算方法，以及二重積分的一般換元法，理解格林公式及其應用，掌握曲線積分與路徑的無關性，會用直角坐標、柱面坐標、球面坐標計算三重積分，了解三重積分的一般換元法，理解重積分在幾何上的應用，了解重積分在物理上的應用。教學內容：二重積分與三重積分的概念、性質、計算，格林公式，曲線積分與路徑的無關性，重積分的應用。重點難點：二重積分與三重積分的概念、格林公式，計算，曲線積分與路徑的無關性。第七章曲面積分教學要求：掌握第一及第二型曲面積分的定義、性質、計算，了解兩類曲面積分之間的關系，理解三重積分和曲面積分之間聯系的高斯公式，理解曲線積分和曲面積分之間聯系的斯托克斯公式。教學內容：第一型曲面積分與第二型曲面積分的定義、性質、計算，高斯公式，斯托克斯公式。重點難點：第一型曲面積分與第二型曲面積分的定義