新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破 專題5 第1講　計數(shù)原理與概率（含解析）

第1講計數(shù)原理與概率[考情分析]1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應(yīng)用，時常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概率的基本應(yīng)用．考點(diǎn)一排列與組合問題核心提煉解決排列、組合問題的一般過程(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請在國慶期間到A，B，C三個路口協(xié)助交警值勤，他們申請值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁這4名志愿者的申請被批準(zhǔn)，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A，B，C三個路口都要有志愿者值勤，則不同的安排方法有()A．14種 B．11種C．8種 D．5種答案B解析由題意得，以C路口為分類標(biāo)準(zhǔn)：C路口值勤分得人數(shù)情況有2種，兩個人或一個人，若C路口值勤分得人數(shù)為2，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口值勤，此時有兩種安排方法．若C路口值勤分得人數(shù)為1，丙或丁在C路口，具體情況如下．丙在C路口：A(丁)B(甲乙)C(丙)；A(甲丁)B(乙)C(丙)；A(乙丁)B(甲)C(丙)．丁在C路口：A(甲乙)B(丙)C(丁)；A(丙)B(甲乙)C(丁)；A(甲丙)B(乙)C(丁)；A(乙)B(甲丙)C(丁)；A(乙丙)B(甲)C(丁)；A(甲)B(乙丙)C(丁)．所以一共有2＋3＋6＝11(種)安排方法．(2)(2022·衡陽模擬)2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時，創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？()A．192B．240C．120D．288答案A解析由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240(種)，當(dāng)“立春”和“驚蟄”相鄰，且“清明”與“驚蟄”也相鄰時，有2種排法，即“驚蟄”在中間，“立春”“清明”分布兩側(cè)，此時再用捆綁法，將三者捆在一起，即2Aeq\o\al(4,4)＝48(種)，所以最終滿足題意的排法為240－48＝192(種)．規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．跟蹤演練1(1)2021年1月18號，國家航天局探月與航天工程中心表示，中國首輛火星車全球征名活動已經(jīng)完成了初次評審．評審委員會遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風(fēng)火輪、追夢、天行、星火共10個名稱，將其作為中國首輛火星車的命名范圍．某同學(xué)為了研究這些初選名稱的涵義，計劃從中選3個名稱依次進(jìn)行分析，其中有1個是祝融，其余2個從剩下的9個名稱中隨機(jī)選取，則祝融不是第3個被分析的情況有()A．144種 B．336種C．672種 D．1008種答案A解析選取的3個名稱中含有祝融的共有Ceq\o\al(2,9)種不同的情況．分析選取的3個名稱的不同情況有Aeq\o\al(3,3)種，其中祝融是第3個被分析的情況有Aeq\o\al(2,2)種，故祝融不是第3個被分析的情況有Ceq\o\al(2,9)(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＝144(種)．(2)(2022·廣東聯(lián)考)現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為()A．12B．14C．16D．18答案B解析因?yàn)榧缀鸵叶紱]去首鋼滑雪大跳臺，則安排方法分兩類：若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)；若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)，然后剩下的一個人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)，則共有2×6＝12(種)．綜上，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為12＋2＝14.考點(diǎn)二二項(xiàng)式定理核心提煉1．求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路(1)利用通項(xiàng)公式將Tk＋1項(xiàng)寫出并化簡．(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項(xiàng)公式即得所求．2．對于兩個因式的積的特定項(xiàng)問題，一般對某個因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解．例2(1)(2022·新高考全國Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案－28解析(x＋y)8展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Ceq\o\al(6,8)x2y6；令k＝5，得T5＋1＝Ceq\o\al(5,8)x3y5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)－Ceq\o\al(5,8)＝－28.(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x4)))n的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為120，所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則實(shí)數(shù)a的值為________，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．答案145解析因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x4)))n的展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，且奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等，所以2n－1＝512，解得n＝10，所以展開式中第四項(xiàng)T4＝Ceq\o\al(3,10)x7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x4)))3，所以Ceq\o\al(3,10)a3＝120，解得a＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x4)))10的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)x10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))k＝Ceq\o\al(k,10)x10－5k，令10－5k＝0，解得k＝2，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(2,10)＝45.易錯提醒二項(xiàng)式(a＋b)n的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)；其中Ceq\o\al(k,n)是二項(xiàng)式展開式的第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式的展開式的第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)．跟蹤演練2(1)(2022·淄博模擬)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，則a6等于()A．－448B．－112C．112D．448答案C解析(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，a6＝Ceq\o\al(2,8)×(－2)2＝112.(2)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則下列結(jié)論正確的是________．①展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1；②展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22023；③a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－2；④a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0.答案②③④解析令x＝1得a0＋a1＋…＋a2023＝－1，∴①錯誤；二項(xiàng)式系數(shù)和為Ceq\o\al(0,2023)＋Ceq\o\al(1,2023)＋…＋Ceq\o\al(2023,2023)＝22023，∴②正確；令x＝0得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a2023＝－2，∴③正確；令x＝eq\f(1,2)有a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0，∴④正確．考點(diǎn)三概率核心提煉1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)).2．幾何概型概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積)3．條件概率公式設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).例3(1)(2022·新高考全國Ⅰ)從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案D解析從7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有Ceq\o\al(2,7)＝21(種)取法，取得的2個數(shù)互質(zhì)的情況有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個數(shù)互質(zhì)的概率為eq\f(14,21)＝eq\f(2,3).(2)(2022·臨沂模擬)甲和乙兩個箱子中各有質(zhì)地均勻的9個球，其中甲箱中有4個紅球，2個白球，3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球，2個黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以A1，A2，A3表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①A1，A2，A3兩兩互斥；②P(B|A2)＝eq\f(2,5)；③P(B)＝eq\f(1,2)；④B與A1相互獨(dú)立．答案①②解析A1，A2，A3中任何兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此它們兩兩互斥，①正確；P(B|A2)＝eq\f(PBA2,PA2)＝eq\f(\f(2,9)×\f(4,10),\f(2,9))＝eq\f(2,5)，②正確；P(B)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,10)＋eq\f(2,9)×eq\f(4,10)＋eq\f(3,9)×eq\f(4,10)＝eq\f(4,9)，③錯誤；又P(A1)＝eq\f(4,9)，P(A1B)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,10)＝eq\f(2,9)，P(A1)P(B)＝eq\f(4,9)×eq\f(4,9)＝eq\f(16,81)，∴P(A1B)≠P(A1)P(B)，∴A1與B不相互獨(dú)立，④錯誤．規(guī)律方法求概率的方法與技巧(1)古典概型、幾何概型、條件概率分別用各自的公式求解．(2)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對應(yīng)事件的概率公式求解．跟蹤演練3(1)有一個底面圓的半徑為1,高為2的圓柱，點(diǎn)O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案A解析由題設(shè)，到O1，O2的距離都大于1的部分為圓柱體去掉以底面為最大軸截面的兩個半球體，所以到O1，O2的距離都大于1的部分的體積為V＝2π×12－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).(2)(2022·莆田模擬)從0,1,2，…，9這十個數(shù)字中隨機(jī)抽取3個不同的數(shù)字，記A為事件：“恰好抽的是2,4,6”，記B為事件：“恰好抽取的是6,7,8”，記C為事件：“抽取的數(shù)字里含有6”．則下列說法正確的是()A．P(AB)＝P(A)P(B)B．P(C)＝eq\f(1,10)C．P(C)＝P(AB)D．P(A|C)＝P(B|C)答案D解析由題知，從10個數(shù)中隨機(jī)地抽取3個數(shù)，共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)可能情況，對于A選項(xiàng)，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”為互斥事件，則P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，P(C)＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(3,10))＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10)，故B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，P(AB)＝0，P(C)＝eq\f(3,10)，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由于P(AC)＝P(BC)＝eq\f(1,C\o\al(2,9))＝eq\f(1,36)，故由條件概率公式得P(A|C)＝P(B|C)，故D選項(xiàng)正確．專題強(qiáng)化練一、選擇題1．(2022·福州質(zhì)檢)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．－540B．－15C．15D．135答案D解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(3x)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝(－1)k·36－kCeq\o\al(k,6)·，k≤6，k∈N，由6－eq\f(3,2)k＝0，解得k＝4，則T5＝(－1)4×32×Ceq\o\al(4,6)＝135，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為135.2.(2022·玉林模擬)有詩云：“芍藥乘春寵，何曾羨牡丹．”芍藥不僅觀賞性強(qiáng)，且具有藥用價值．某地打造了以芍藥為主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四個角的白色部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心、正方形邊長的一半為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的(如圖所示)．白色部分種植白芍，中間陰影部分種植紅芍．倘若你置身此正方形花海之中，則恰好處在紅芍中的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,4)－eq\f(1,2)C.eq\f(π,2)－1D.eq\f(π,4)答案A解析由題意，設(shè)正方形的邊長為2，可得以正方形的頂點(diǎn)為圓心的圓的半徑為r＝1，可得正方形的面積為S＝2×2＝4，陰影部分的面積為S1＝S－4×eq\f(1,4)πr2＝4－π，根據(jù)面積比的幾何概型，可得恰好處在紅芍中的概率是P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).3．池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預(yù)報4月1日起連續(xù)4天，每天下雨的概率為0.6，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計4天中恰有3天下雨的概率：在0～9十個整數(shù)值中，假定0,1,2,3,4,5表示當(dāng)天下雨，6,7,8,9表示當(dāng)天不下雨．在隨機(jī)數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機(jī)數(shù)：95339522001874720018387958693281789026928280842539908460798024365987388207538935據(jù)此估計4天中恰有3天下雨的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(7,20)D.eq\f(9,20)答案B解析由表中數(shù)據(jù)可得4天中恰有3天下雨的有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753，共8組，所以估計4天中恰有3天下雨的概率為eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).4．(2022·荊州聯(lián)考)某人民醫(yī)院召開抗疫總結(jié)表彰大會，有7名先進(jìn)個人受到表彰，其中有一對夫妻．現(xiàn)要選3人上臺報告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報告，若夫妻同時被選，則兩人的報告順序需要相鄰，這樣不同的報告方案共有()A．80種 B．120種C．130種 D．140種答案D解析若夫妻中只選一人，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝120(種)不同的方案；若夫妻二人全選，且兩人報告順序相鄰，則有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝20種不同的方案，故總計有140(種)不同的方案．5．(2022·惠州模擬)(a－x)(2＋x)6的展開式中x5的系數(shù)是12，則實(shí)數(shù)a的值為()A．4B．5C．6D．7答案C解析利用二項(xiàng)式定理展開得(a－x)(2＋x)6＝(a－x)(Ceq\o\al(0,6)26＋Ceq\o\al(1,6)25x＋Ceq\o\al(2,6)24x2＋Ceq\o\al(3,6)23x3＋Ceq\o\al(4,6)22x4＋Ceq\o\al(5,6)2x5＋Ceq\o\al(6,6)x6)，則x5的系數(shù)為aCeq\o\al(5,6)2－Ceq\o\al(4,6)22＝12，∴a＝6.6．(2022·新高考全國Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種答案B解析先將丙和丁捆在一起，有Aeq\o\al(2,2)種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有Ceq\o\al(1,2)種排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(種)．7．(2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知(a＋b)n的展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的所有可能取值的和為()A．15B．16C．17D．24答案D解析若展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則eq\f(n,2)＋1＝5，解得n＝8；若展開式中第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則eq\f(n＋3,2)＝5，解得n＝7；若展開式中第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則eq\f(n＋1,2)＝5，解得n＝9.故n的所有可能取值的和為7＋8＋9＝24.8．(2022·仙桃模擬)定義：eq\x\to(abcde)＝10000a＋1000b＋100c＋10d＋e(a，b，c，d，e∈Z)，當(dāng)a>b<c>d<e時，稱這個數(shù)為波動數(shù)，由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，是波動數(shù)的概率為()A.eq\f(1,15)B.eq\f(2,15)C.eq\f(7,60)D.eq\f(1,12)答案B解析由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)一共有Aeq\o\al(5,5)＝120(個)．而構(gòu)成波動數(shù)，需滿足a>b<c>d<e，有31425，31524,41325,41523,51324,51423，32415，32514,42315,42513,52314,52413，21435，21534,53412,43512，共16個．所以波動數(shù)的概率為eq\f(16,120)＝eq\f(2,15).9．(2022·瀘州模擬)在[－11,6]內(nèi)取一個實(shí)數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋2m，記事件A為“函數(shù)f(x)有零點(diǎn)”，事件B為“函數(shù)f(x)只有負(fù)零點(diǎn)”，則P(B|A)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案A解析令f(x)＝－x2＋mx＋2m＝0，當(dāng)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)時，由Δ＝m2＋8m≥0，得m≥0或m≤－8，又因?yàn)閙∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]∪[0,6]，當(dāng)函數(shù)f(x)只有負(fù)零點(diǎn)時，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2＋8m≥0，,－\f(m,－1)<0，,\f(2m,－1)>0，))解得m≤－8，又因?yàn)閙∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]，所以P(B|A)＝eq\f(－8－－11,－8－－11＋6－0)＝eq\f(1,3).10．有一支醫(yī)療小隊由3名醫(yī)生和6名護(hù)士組成，現(xiàn)要將他們分配到三家醫(yī)院，每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護(hù)士1至3名，其中護(hù)士甲和護(hù)士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法有()A．252種B．540種C．792種D．684種答案D解析6名護(hù)士按人數(shù)可分為2,2,2或者1,2,3，先安排醫(yī)生，再安排護(hù)士．安排醫(yī)生的方法有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，由于“護(hù)士甲和護(hù)士乙必須分到同一家醫(yī)院”，故安排護(hù)士方法有eq\f(C\o\al(2,4)×C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)＝114(種)，其中Ceq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(3,3)表示護(hù)士甲和護(hù)士乙一組的分配方法種數(shù)，Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)表示護(hù)士甲和護(hù)士乙與另一人共3人一組的分配方法種數(shù)．所以總的分配方法有6×114＝684(種)．11．(2022·錦州模擬)定義：兩個正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余，記作a＝b(modm)，比如：26＝16(mod10)．已知n＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)·8＋Ceq\o\al(2,10)·82＋…＋Ceq\o\al(10,10)·810，滿足n＝p(mod7)，則p可以是()A．23B．31C．32D．19答案A解析因?yàn)閚＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)·8＋Ceq\o\al(2,10)·82＋…＋Ceq\o\al(10,10)·810＝(1＋8)10＝(7＋2)10，也即n＝Ceq\o\al(0,10)·710＋Ceq\o\al(1,10)·79·2＋…＋Ceq\o\al(9,10)·7·29＋Ceq\o\al(10,10)·210，故n除以7的余數(shù)即為Ceq\o\al(10,10)·210＝1024除以7的余數(shù)，1024除以7的余數(shù)為2，結(jié)合選項(xiàng)知23除以7的余數(shù)也為2，滿足題意，其它選項(xiàng)都不滿足題意．12．(2022·衡陽模擬)將《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》、《紅樓夢》4本名著全部隨機(jī)分給甲、乙、丙三名同學(xué)，每名同學(xué)至少分得1本，A表示事件：“《三國演義》分給同學(xué)甲”；B表示事件：“《西游記》分給同學(xué)甲”；C表示事件：“《西游記》分給同學(xué)乙”，則下列結(jié)論正確的是()A．事件A與B相互獨(dú)立B．事件A與C相互獨(dú)立C．P(C|A)＝eq\f(5,12)D．P(B|A)＝eq\f(5,12)答案C解析將《三國演義》、《西游記》、《水滸傳》、《紅樓夢》4本名著全部隨機(jī)分給甲、乙、丙三名同學(xué)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(個)基本事件，事件A包含的基本事件數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12，則P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，同理，P(B)＝P(C)＝eq\f(1,3)，事件AB包含的基本事件數(shù)為A