寒假作業(yè)05 正多邊形和圓與圓的相關(guān)計(jì)算（18道經(jīng)典題型+5道中考真題）

第1頁(yè)共2頁(yè)完成時(shí)間：________月________日天氣：寒假作業(yè)05正多邊形和圓與圓的相關(guān)計(jì)算積累運(yùn)用1.正多邊形：各邊、各角都相等的多邊形．2.正多邊形的中心：正多邊形外接圓的圓心；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑．3.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離．4.正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角．圖1圖2圖35.正多邊形中各元素間的關(guān)系：1）如圖2，設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為an，半徑為R，邊心距為rn，中心角為α；則有：2）正多邊形的一些關(guān)系：=1\*GB3①正n邊形的中心角α=360°n；=2\*GB3②正n邊形的周長(zhǎng)Pn=n?an；=3\*GB3③正n邊形的面積Sn=126.與圓有關(guān)的面積和長(zhǎng)度計(jì)算：設(shè)⊙O的半徑為R，n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，弧長(zhǎng)公式：l=nπR180扇形面積公式：S扇形=n扇形與圓錐的關(guān)系：如圖3.圓錐體表面積公式：S=πR2+πRl(常見組合圖形的周長(zhǎng)、面積的幾種常見方法：①公式法；②割補(bǔ)法；③拼湊法；④等積變換法基礎(chǔ)過關(guān)練1．一個(gè)正多邊形的中心角為45°，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

A．3 B．5 C．8 D．102．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM的長(zhǎng)為（

）A．4 B．33 C．23 D3．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，PD與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OE并延長(zhǎng)，交PD于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（

A．20° B．18° C．16° D．4．如圖，已知⊙O，求作：⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作OB的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)A、C；③作OE的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)D、F；④依次連接A→B→C→D→E→F→A，六邊形ABCDEF即為所求（如圖①）．乙：①⊙O上任取點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，OA為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)C；③同上述作圖方法逆時(shí)針作出點(diǎn)D、E、F；④依次連接A→B→C→D→E→F→A，多邊形ABCDEF即為正六邊形（如圖②）．對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對(duì) B．甲對(duì)，乙不對(duì) C．兩人都對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)5．正三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和正三角形高的比為（

）A．1:2:3 B． C．1:2:3 D6．如圖，半圓O的直徑AB為10，點(diǎn)C、D在圓弧上，連接AC、BD，兩弦相交于點(diǎn)E．若CE=BC，則陰影部分面積為（A．254π-254 B．254π-7．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）A．12π B．15π C．18π D．24π8．如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的中心與半徑為2的⊙O的圓心重合，過點(diǎn)O作OE⊥OF，分別交AB、AD于點(diǎn)E、F，則圖中陰影部分的面積為________________．9．如圖，在直徑為2的圓形紙片上裁剪出圓心角∠ACB=90°的扇形CAB．(1)求陰影部分面積；(2)用所裁剪的扇形紙片CAB圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐底面圓的半徑．10．如圖，在⊙O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH中，AB=2，連接DG．(1)求證DG∥(2)DG的長(zhǎng)為_____________．能力提升練11．如圖所示正六邊形ABCDEF的面積為6，點(diǎn)M是邊EF的中點(diǎn)，連接AE、CM相交于N，若四邊形AFMN的面積記作a，四邊形CDEN的面積記作b，則b-A．32 B．1 C． D．212．如圖，已知四個(gè)正六邊形擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個(gè)小正六邊形的邊長(zhǎng)均為2，則大正六邊形的邊長(zhǎng)是（

）A．213+13 B．13+13 C13．如圖，點(diǎn)O是半圓的圓心，是半圓的直徑，點(diǎn)A,D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=4，則過點(diǎn)D作DC⊥BE于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積是（

A．163π-43 B．163π-2314．如圖①，C，D分別是半圓O的直徑AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上，且四邊形CDEF是正方形．

(1)若AB=45，則正方形CDEF的面積為___________(2)如圖②，點(diǎn)G，，M分別在AB，AB，DE上，連接HG，HM，四邊形DGHM是正方形，且其面積為16.①求AB的值；②如圖③，點(diǎn)N，P，Q分別在HM，AB，EM上，連接PN，，四邊形MNPQ是正方形．直接寫出正方形MNPQ與正方形DGHM的面積比．15．如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N；③連接AM,MN,NA．(1)求∠ABC的度數(shù)(2)△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由(3)從點(diǎn)A開始，以DN長(zhǎng)為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．拓展培優(yōu)練16．將既有外接圓又有內(nèi)切圓的多邊形定義為雙心多邊形．例如，三角形既有外接圓也有內(nèi)切圓，所以三角形是雙心多邊形．下列圖形中：①正方形；②長(zhǎng)方形；③正五邊形；④六邊形．其中是雙心多邊形的有（

）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②③④17．請(qǐng)閱讀下列材料，解答問題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=2，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為______________．18．李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此k(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn中考真題練19．（2023年江蘇無(wú)錫中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．120．（2023年湖南婁底中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°A．43π-3 B．43π-321．（2023年山東濱州中考真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1cm的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓⊙A．14πcm2 B． C．22．（2023年湖北十堰中考真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線SB的中點(diǎn)，AB為底面圓的直徑，SB=6，AB=4，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（

）A．5 B．33 C．32 D23．（2023年山東濰坊中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接，DG．(1)求證：△AFD(2)若AB=2，∠BAE=30

寒假作業(yè)05正多邊形和圓與圓的相關(guān)計(jì)算參考答案基礎(chǔ)過關(guān)練1．一個(gè)正多邊形的中心角為45°，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

A．3 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360÷45°2．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM的長(zhǎng)為（

）A．4 B．33 C．23 D【答案】B【解析】如圖，連接OB，OC，∵∠BOC=60°，OB=OC，∴△BOC是等邊三角形，∴OB=BC=6∵OM⊥BC，∴BM=CM=12BC=3，∴OM=63．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，PD與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OE并延長(zhǎng)，交PD于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（

A．20° B．18° C．16° D．【答案】B【解析】如圖，連接OD，∵PD與⊙O相切，∴∠ODP=90∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴AB∴∠DOE=15×360°=72°，∴∠4．如圖，已知⊙O，求作：⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作OB的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)A、C；③作OE的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)D、F；④依次連接A→B→C→D→E→F→A，六邊形ABCDEF即為所求（如圖①）．乙：①⊙O上任取點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，OA為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)C；③同上述作圖方法逆時(shí)針作出點(diǎn)D、E、F；④依次連接A→B→C→D→E→F→A，多邊形ABCDEF即為正六邊形（如圖②）．對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對(duì) B．甲對(duì)，乙不對(duì) C．兩人都對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)【答案】C【解析】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，OF=OE=EF，同理可知EF=AF=AB=BC=CD=DE，∴六邊形ABCDEF是正六邊形，即甲同學(xué)的作業(yè)正確．由乙同學(xué)的作業(yè)可知OA=AB=OB．依次畫弧可得BC=CD=ED=EF=AF=AB．∴六邊形ABCDEF為正六邊形，即乙同學(xué)的作業(yè)正確．故選C.5．正三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和正三角形高的比為（

）A．1:2:3 B． C．1:2:3 D【答案】A【解析】如圖，連接OD、OE.∵AB、AC切圓O于E、D，∴OE⊥AB，又∵AO=AO，EO=DO，∴△AEO≌△ADOHL，故∠又∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠OAC=60°12=30°，∴∵OF=OD，∴OD:AF=1:2+1=1:3，∴內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比是1:2:3．故選6．如圖，半圓O的直徑AB為10，點(diǎn)C、D在圓弧上，連接AC、BD，兩弦相交于點(diǎn)E．若CE=BC，則陰影部分面積為（A．254π-254 B．254π-【答案】B【解析】如圖，連接OD，OC，是直徑，，，∴∠DBC=∠CEB=45°，DC的度數(shù)為90°，，∴S陰影=7．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）A．12π B．15π C．18π D．24π【答案】B【解析】根據(jù)題意得：這個(gè)幾何體為圓錐，如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：AB=AC，AD=4，BC=6，∴CD=12BC=3，∴，即圓錐的母線長(zhǎng)為∴這個(gè)幾何體的側(cè)面積是12π8．如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的中心與半徑為2的⊙O的圓心重合，過點(diǎn)O作OE⊥OF，分別交AB、AD于點(diǎn)E、F，則圖中陰影部分的面積為________________．【答案】9【解析】如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，ON⊥AD于點(diǎn)N．∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，，ON⊥AD，∴OM=ON，，∴∠EOF=90°，即∠EOM+∠∵∠A=∠AMO=∠ANO=90°，∴∠MON=90°，即∠FON+∴∠EOM=∠FON，∴△EOM≌△FON(ASA)，∴S四邊形AEOF=S正方形AMON9．如圖，在直徑為2的圓形紙片上裁剪出圓心角∠ACB=90°的扇形CAB．(1)求陰影部分面積；(2)用所裁剪的扇形紙片CAB圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐底面圓的半徑．【解析】（1）如圖，連接AB，∵∠ACB=90°，∴AB是圓O的直徑，∴點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)共線，∴OB=OC=OA，又∵AC=BC，∴CO⊥∵圓的直徑為2，則AC=BC=2，故S扇形=90π×（2）解：AB的長(zhǎng)l=90π×2180=2故該圓錐的底面圓的半徑是2410．如圖，在⊙O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH中，AB=2，連接DG(1)求證DG∥(2)DG的長(zhǎng)為_______________．【解析】（1）如圖，連接AD，正八邊形ABCDEFGH，∴AB=∵∠BAD=180°8×2=45°（2）∵DE=EF=FG=AB=2，同理可證：EF∥DG，∴四邊形DGFE為等腰梯形，∴∠GFE=∠DEF=135°，作∵EF∥DG，在Rt△QGF中，∠DGF=45°，GF=2，∵EF∥DG，EP⊥DG，F(xiàn)Q⊥∴PQ=EF=2，∴能力提升練11．如圖所示正六邊形ABCDEF的面積為6，點(diǎn)M是邊EF的中點(diǎn)，連接AE、CM相交于N，若四邊形AFMN的面積記作a，四邊形CDEN的面積記作b，則b-

A．32 B．1 C． D．2【答案】B【解析】連接AD,BE,CF,CE，如圖所示，由正六邊形的對(duì)稱性可知：S△∠AOF=∴△AOF，△AOB，△S△AEF=1∵S四邊形CDEF=∵點(diǎn)M是邊EF的中點(diǎn)，∴S△CFM=12b-a=b+12．如圖，已知四個(gè)正六邊形擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個(gè)小正六邊形的邊長(zhǎng)均為2，則大正六邊形的邊長(zhǎng)是（

）A．213+13 B．13+13 C【答案】A【解析】如圖，在小正六邊形中，，則，在大正六邊形中，NG=DG,∠NGD=120°過G作GH⊥DN于點(diǎn)H，∴NH=12DN，在∵NG=DE，∴DN=3DE，設(shè)DE=x，則DN=3由于FC=BE，∴8+x2=x2即DE=213+113．如圖，點(diǎn)O是半圓的圓心，是半圓的直徑，點(diǎn)A,D在半圓上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=4，則過點(diǎn)D作DC⊥BE于點(diǎn)CA．163π-43 B．163【答案】B【解析】如圖，連接OA，∵∠ABO=60°，OA=OB，∴△∵AD∥BO，∴∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∵DC⊥BE，∴∠DCO=90°，∴∠∵△OAD與△ABD與△∴S陰影=S14．如圖①，C，D分別是半圓O的直徑AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上，且四邊形CDEF是正方形．

(1)若AB=45，則正方形CDEF的面積為__________(2)如圖②，點(diǎn)G，，M分別在AB，AB，DE上，連接HG，HM，四邊形DGHM是正方形，且其面積為16.①求AB的值；②如圖③，點(diǎn)N，P，Q分別在HM，AB，EM上，連接PN，，四邊形MNPQ是正方形．直接寫出正方形MNPQ與正方形DGHM的面積比．【解析】（1）如圖，連接OF，∵四邊形CDEF是正方形，∴FC=2CO

∵FC2+CO∴正方形的邊長(zhǎng)為4，∴正方形CDEF的面積為16．（2）①連接OE，ON，∵四邊形DGHM是正方形，且其面積為16，∴HG=DG=4設(shè)OD=x，則DE=2x，在Rt△ODE中，在Rt△OHG中，OH2解得x1=4,x2=②連接OM，PM，DH，∵M(jìn)D=OD=4，且∠∴∠MOD=∠OMD=45又∵∠PMN=45°，∴∠∴MP=45-42，15．如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N；③連接AM,MN,NA．(1)求∠ABC的度數(shù)(2)△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由(3)從點(diǎn)A開始，以DN長(zhǎng)為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．【解析】（1）∵正五邊形ABCDE．∴AB=∴∠AOB=∵AEC=3AE，∴∠AOC(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)∴∠ABC=（2）△AMN是正三角形，理由如下：連接ON,FN，由作圖知：FN=FO,∵ON=OF，∴ON=OF=FN，∴△OFN∴∠OFN=60°，∴∠AMN=∠OFN=60°，同理∠ANM=60∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN，∴△AMN（3）∵△AMN是正三角形，∴∠AON=2∵AD=2AE，∴∵DN=AD-AN，∴∠NOD=144°-120°=24°拓展培優(yōu)練16．將既有外接圓又有內(nèi)切圓的多邊形定義為雙心多邊形．例如，三角形既有外接圓也有內(nèi)切圓，所以三角形是雙心多邊形．下列圖形中：①正方形；②長(zhǎng)方形；③正五邊形；④六邊形．其中是雙心多邊形的有（

）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②③④【答案】B【解析】①正方形既有外接圓又有內(nèi)切圓是雙心多邊形；②長(zhǎng)方形一定有外接圓，沒有內(nèi)切圓所以不是雙心多邊形；③正五邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓是雙心多邊形；④六邊形不一定是雙心多邊形，正六邊形有外接圓又有內(nèi)切圓，非正六邊形沒有內(nèi)切圓.故選B.17．請(qǐng)閱讀下列材料，解答問題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=2，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為______________________．【答案】1+【解析】如圖，連接AD，AC，∵五邊形ABCDE是正五邊形，則∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2，∴AD=AC=BD，設(shè)BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x，解得x1=1+5，x2=1?5（舍去），∴BD=1+5．故答案為1+518．李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此k(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【解析】（1）由題意得，k3=1×3（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，∴此時(shí)正方形的內(nèi)切圓半徑為12，∴k設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，內(nèi)切圓圓心為O，則∠AOB=又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=1，∴OC=OA2-A（3）k3≈1.65，k4≈1.27，k6≈1.10，隨著n的增大，中考真題練19．（2023年江蘇無(wú)錫中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③為真命題；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正n邊形共有n條對(duì)稱軸，故④為真命題.故選C．20．（2023年湖南婁底中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°A．43π-3 B．43π-3【答案】C【解析】如圖，連接AO，標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可得：A，O，D三點(diǎn)共線，△COD∴∠AOQ=∠DOH，∠COD=∠GOH=60°，∴∠COG=∴扇形AOQ與扇形COG重合，∴S陰影∵△COD為等邊三角形，OC=OD=2，過O作OK⊥CD于K，∴∠COD=60°，CK=DK=1，OK=2∴S陰影=S21．（2023年山東濱州中考真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1cm的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)