5.3 垂徑定理 同步練習(xí)

第五章圓3垂徑定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理1.(2022云南中考)如圖,已知AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若AB=26,CD=24,則∠OCE的余弦值為()A.713 B.1213 C.7122.(2021湖北鄂州中考)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理,如圖1.筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖2.已知圓心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米,☉O的半徑長(zhǎng)為4米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn),則點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離是()圖1圖2A.1米 B.(4-7)米 C.2米 D.(4+7)米[變式1·已知弦長(zhǎng)、弓高,求半徑](2023山東德州夏津期中改編)如圖所示的是一個(gè)隧道的橫截面,它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分,若OM⊥CD,延長(zhǎng)MO交☉O于點(diǎn)E,并且CD=8m,EM=8m,則☉O的半徑為.

變式1圖變式2圖[變式2·已知弓高、半徑,求弦長(zhǎng)](2023湖南永州中考)如圖,☉O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面,☉O的半徑為10cm,水的最深處到水面AB的距離為4cm,則水面AB的寬度為cm.[變式3·已知弓高、直徑,求弦長(zhǎng)]如圖所示的是一張隧道斷面結(jié)構(gòu)圖.隧道內(nèi)部為以O(shè)為圓心,AB為直徑的圓.隧道內(nèi)部共分為三層,上層為排煙道,中間為行車(chē)隧道,下層為服務(wù)層.點(diǎn)A到頂棚的距離為1.6m,頂棚到路面的距離為6.4m,點(diǎn)B到路面的距離為4.0m.求路面CD的寬度.(結(jié)果精確到0.1m)3.如圖,AB是☉O的一條弦,點(diǎn)C,D是☉O上的點(diǎn),連接CD交AB于點(diǎn)E,若∠ODC+∠AED=90°.求證:AC=BC.4.如圖,有一座拱橋是圓弧形的,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圓弧所在圓的半徑的長(zhǎng);(2)當(dāng)洪水泛濫到水面寬度只有30米時(shí),要采取緊急措施,若拱頂離水面只有4米,即當(dāng)PE=4米時(shí),是否要采取緊急措施?知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的推論5.(2023湖北宜昌中考)如圖,OA,OB,OC都是☉O的半徑,AC,OB交于點(diǎn)D.若AD=CD=8,OD=6,則BD的長(zhǎng)為()A.5 B.4 C.3 D.26.如圖,B為☉O上一點(diǎn),A為BC的中點(diǎn),AB=3,∠ABC=30°,則☉O的半徑為.

第6題圖第7題圖7.如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在☉O上,AB=AC,AO=5,BC=6,則△ABC的面積=.

8.(2023山東煙臺(tái)棲霞期末)某個(gè)工件槽的兩個(gè)底角均為90°,尺寸(單位:cm)如圖所示.將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi),若同時(shí)具有A,B,E三個(gè)接觸點(diǎn),請(qǐng)你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)求出該球的半徑.能力提升全練9.(2022山東淄博博山一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為5的☉E與y軸交于點(diǎn)A(0,-2),B(0,4),與x軸交于C,D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.(4-26,0) B.(-4+26,0) C.(-4+26,0) D.(4-26,0)10.(2021四川成都中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)y=33x+23311.(2021山東煙臺(tái)龍口期中改編)為了貫徹習(xí)近平總書(shū)記“促進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興,實(shí)現(xiàn)農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化”的指示,某農(nóng)機(jī)組織推廣建立橫截面為弓形的一種全新的全封閉式塑料薄膜蔬菜大棚,如圖所示,已知棚高AD=2m,底部BC=43m,那么BC所在圓的半徑為m.12.(2023山東煙臺(tái)萊州期末)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且點(diǎn)P是弦CD的中點(diǎn).(1)依題意畫(huà)出弦CD;(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)(2)若AP=4,CD=16,求☉O的半徑.13.(2023上海中考)如圖,在☉O中,弦AB的長(zhǎng)為8,點(diǎn)C在BO延長(zhǎng)線(xiàn)上,且cos∠ABC=45,OC=1(1)求☉O的半徑;(2)求∠BAC的正切值.素養(yǎng)探究全練14.(2022山東淄博沂源一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M在x軸的正半軸上,☉M交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于C,D兩點(diǎn),且C為AE的中點(diǎn),AE交y軸于G點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),AE=4.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)連接MG,BC,求證:MG∥BC.

第五章圓3垂徑定理答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B∵AB是☉O的直徑,AB⊥CD,∴CE=12∵AB=26,∴OC=13.∴cos∠OCE=CEOC=122.B如圖,連接OC交AB于D,連接OA.∵點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn),∴OC⊥AB.∴AD=12AB=3(米).在Rt△OAD中,OD=OA2-AD2=[變式1]答案5m解析連接OC(圖略).∵OM⊥CD,CD=8m,∴CM=DM=12設(shè)☉O的半徑為xm,則OM=EM-OE=(8-x)m.在Rt△COM中,由勾股定理得OC2=CM2+OM2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5.∴☉O的半徑為5m.方法解讀半弦、半徑、圓心到弦的垂線(xiàn)段構(gòu)成直角三角形,直角三角形中任知兩邊長(zhǎng)利用勾股定理可求第三邊長(zhǎng),或利用勾股定理列方程可求相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng).[變式2]答案16解析如圖,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C,交☉O于點(diǎn)D,連接OA,∴AC=BC=12在Rt△AOC中,AC=OA2-O[變式3]解析連接OC(圖略).由題意知AB=1.6+6.4+4.0=12(m),∴OC=OB=6m.∴OE=OB-BE=6-4=2(m).由題意知AB⊥CD,∴CD=2CE.在Rt△OCE中,由勾股定理得CE=OC2-OE23.證明如圖,連接OC,交AB于點(diǎn)F,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠ODC+∠AED=90°,∠AED=∠CEB,∴∠OCD+∠CEB=90°.∴∠EFC=90°.∴OC⊥AB.∴AC=BC.∴AC=BC.4.解析(1)如圖,連接OA.設(shè)圓弧所在圓的半徑為r米.由題意可知拱高PD=18米,OP⊥AB,∴AD=12在Rt△ADO中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,即r2=302+(r-18)2,解得r=34.∴圓弧所在圓的半徑的長(zhǎng)為34米.(2)如圖,連接OA'.由(1)知OP=34米,∴OE=OP-PE=34-4=30(米),在Rt△A'EO中,由勾股定理得A'E=A'O2易知OP⊥A'B',∴A'B'=2A'E=32米.∵32>30,∴當(dāng)拱頂離水面只有4米時(shí),不需要采取緊急措施.5.B∵AD=CD=8,∴OB⊥AC.在Rt△AOD中,OA=AD2+O∴OB=10.∴BD=OB-OD=10-6=4.故選B.6.答案3解析如圖,連接AO,BO.∵A為BC的中點(diǎn),∴AO⊥BC.∵∠ABC=30°,∴∠BAO=90°-∠ABC=90°-30°=60°.∵AO=BO,∴△AOB為等邊三角形.∴AO=AB=3.7.答案27解析如圖,延長(zhǎng)AO交BC于D,連接BO.∵AB=AC,O為圓心,∴AO⊥BC.∴BD=12BC=1在Rt△OBD中,OD=OB2-B∴AD=AO+OD=5+4=9.∴△ABC的面積=12BC·AD=18.解析連接OA,AB,OE,OE交AB于C,如圖.由題意得AB=16cm,CE=4cm,E為AB的中點(diǎn),則OE⊥AB.∴AC=BC=12設(shè)☉O的半徑為Rcm,則OC=(R-4)cm,在Rt△OAC中,由勾股定理得OA2=AC2+OC2,即R2=82+(R-4)2,解得R=10.答:該球的半徑是10cm.方法解讀垂徑定理添加輔助線(xiàn)的方法:作弦心距;延長(zhǎng)與半徑或直徑垂直的線(xiàn)段使其與圓相交;連接弦的中點(diǎn)或弧的中點(diǎn)與圓心等.能力提升全練9.B如圖,過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AB于H,EF⊥CD于F,連接ED,EB,則CF=DF,AH=BH.∵A(0,-2),B(0,4),∴AB=6.∴BH=3.∴OH=1.在Rt△BHE中,EH=EB2-B易知四邊形EHOF為矩形,∴EF=OH=1,OF=EH=4.在Rt△DEF中,FD=DE2-EF2∴OD=FD-OF=26-4.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(26-4,0).故選B.10.答案23解析設(shè)直線(xiàn)AB交y軸于C,過(guò)O作OD⊥AB于D,如圖.在y=33x+2令x=0,得y=23∴C的坐標(biāo)為0,2∴OC=23在Rt△AOC中,tan∠CAO=OCOA=233∴∠CAO=30°.在Rt△AOD中,AD=OA·cos30°=2×32=3∵OD⊥AB,∴AB=2AD=23.11.答案4解析設(shè)BC所在圓的圓心為O,連接AB,OB,OD,如圖所示.由題意知AD⊥BC,∴CD=BD=12BC=23在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=AD2+B∴AB=2AD.∴∠ABD=30°.∴∠DAB=60°.∵OA=OB,∴△ABO是等邊三角形.∴AO=AB=4m.12.解析本題綜合尺規(guī)作圖考查垂徑定理.(1)畫(huà)出弦CD,如圖.(2)如圖,連接OD.∵點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),AB是☉O的直徑,∴OP⊥CD,PD=12設(shè)☉O的半徑為r,則OD=r,OP=OA-AP=r-4.在Rt△ODP中,∠OPD=90°,∴OD2=OP2+PD2,即r2=(r-4)2+82,解得r=10.∴☉O的半徑為10.13.解析(1)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB,垂足為D.∵AB=8,∴AD=BD=12在Rt△OBD中,cos∠ABC=BDOB∴OB=BDcos∠ABC=∴☉O的半徑為5.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E.∵OC=12∴BC=32∵OD⊥AB,CE⊥AB,∴OD∥CE.∴OBBC=BDBE,即57.5∴BE=6.∴AE=AB-BE=8-6=2.在Rt△BCE中,CE=BC2-B在Rt△ACE中,tan∠BAC=CEAE=4.52=∴∠BAC的正切值為94素養(yǎng)探究全練14.解析(1)∵AB⊥CD,∴AD=AC,OC=OD,∵C為AE