5.9 弧長及扇形的面積 同步練習

第五章圓9弧長及扇形的面積基礎過關全練知識點1弧長1.(2023吉林中考改編)如圖①,A,B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂.圖②是其示意圖,點O是圓心,半徑r為15m,點A,B是圓上的兩點,圓心角∠AOB=120°,則AB的長為()圖①圖②A.5πm B.10πm C.15πm D.20πm2.(2022山東泰安高新區(qū)一模)量角器的圓心為O點,直徑AB=12,一把寬為3的直尺的一邊過O點且與量角器交于C、D兩點,如圖所示,則CD的長為()A.2π B.32π C.12π3.(2023湖南張家界中考)“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形,它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如圖,分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心,以邊長為半徑畫弧,三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若等邊△ABC的邊長為3,則該“萊洛三角形”的周長等于()A.π B.3π C.2π D.2π-3第3題圖第4題圖4.如圖,正方形ABCD的邊長為1,分別以頂點A、B、C、D為圓心,1為半徑畫弧,四條弧交于點E、F、G、H,則圖中陰影部分的外圍周長為()A.13π B.23π C.π D.5.(2021四川廣安中考)如圖,公園內有一個半徑為18米的圓形草坪,從A地走到B地有觀賞路(劣弧AB)和便民路(線段AB).已知A、B是圓上的點,O為圓心,∠AOB=120°,從A走到B,走便民路比走觀賞路少走()A.(6π-63)米 B.(6π-93)米 C.(12π-93)米 D.(12π-183)米6.(2023浙江溫州中考)若扇形的圓心角為40°,半徑為18,則它的弧長為.7.(2022湖南衡陽中考)如圖,用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升,滑輪旋轉了120°,假設繩索粗細不計,且與輪滑之間沒有滑動,則重物上升了cm.(結果保留π)8.(2022吉林中考)如圖,在半徑為1的☉O上順次取點A,B,C,D,E,連接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,則BC與DE的長度之和為(結果保留π).知識點2扇形面積9.(2022貴州畢節(jié)中考)如圖,一件扇形藝術品完全打開后,AB,AC的夾角為120°,AB的長為45cm,BD的長為30cm,則扇面(陰影部分)的面積是()A.375πcm2 B.450πcm2 C.600πcm2 D.750πcm2第9題圖第10題圖10.(2020山東棗莊中考)如圖,正方形ABCD的邊長為2,O為對角線的交點,點E、F分別為BC、AD的中點.以C為圓心,2為半徑作BD,再分別以E、F為圓心,1為半徑作BO、OD,則圖中陰影部分的面積為()A.π-1 B.π-2 C.π-3 D.4-π11.已知一扇形的弧長是4π,半徑為3,那么這個扇形的面積是.12.(2023重慶中考B卷)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E為BC的中點,連接AE,DE.以E為圓心,EB長為半徑畫弧,分別與AE,DE交于點M,N.則圖中陰影部分的面積為(結果保留π).13.(2023黑龍江綏化中考)如圖,☉O的半徑為2cm,AB為☉O的弦,點C為AB上的一點,將AB沿弦AB翻折,使點C與圓心O重合,則陰影部分的面積為.(結果保留π與根號)14.(2022山東濟南平陰二模)如圖,在△ABC中,AB=6,將△ABC繞點A逆時針旋轉40°后得到△ADE,點B經(jīng)過的路徑為BD,則圖中陰影部分的面積是.[變式1·不規(guī)則陰影部分由線段旋轉形成]如圖,BC是汽車擋風玻璃前的刮雨刷,如果AB=46cm,AC=16cm,當BC繞點A順時針旋轉120°時,刮雨刷BC掃過的面積為cm2(結果保留π).

[變式2·不規(guī)則陰影部分由線段兩端點繞不同旋轉中心旋轉形成](2022山東青島市南二模)如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=4,OB=3,將Rt△AOB繞點O順時針旋轉90°后得Rt△FOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉90°后得線段ED,分別以O,E為圓心,OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分的面積是.

15.(2021山東淄博博山模擬)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB是☉O的直徑,點P為CA延長線上一點,∠CAD=45°.(1)若AB=8,求圖中陰影部分的面積;(2)若BC=AD=AP,求證:PD是☉O的切線.能力提升全練16.(2023湖北荊州中考)如圖,一條公路的轉彎處是一段圓弧(AC),點O是這段弧所在圓的圓心,B為AC上一點,OB⊥AC于D.若AC=3003m,BD=150m,則AC的長為()A.300πm B.200πm C.150πm D.1003πm17.(2022山東泰安中考)如圖,四邊形ABCD中,∠A=60°,AB∥CD,DE⊥AD交AB于點E,以點E為圓心,DE長為半徑,且DE=6的圓交CD于點F,則陰影部分的面積為()A.6π-93 B.12π-93 C.6π-932 18.(2023山東泰安東平模擬)如圖,將半徑為4,圓心角為90°的扇形ABC繞A點逆時針旋轉,在旋轉過程中,點B落在扇形ABC的弧AC上的點B'處,點C的對應點為點C',則陰影部分的面積為()A.23π+23 B.43π+43 C.3+π D.319.(2023山東泰安東平三模)如圖,點O是半圓圓心,BE是半圓的直徑,點A,D在半圓上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=8,過點D作DC⊥BE于點C,則陰影部分的面積是()A.64π3 B.32π3 C.64π3-83 D.20.(2022山東煙臺萊州一模)如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC和BD都是以1為半徑的圓弧,兩部分陰影的面積分別記為S1和S2,則S2-S1等于()A.π2-1 B.1-π4 C.π3-121.(2021山東泰安東平一模)如圖,放置在直線l上的扇形AOB,由①滾動(無滑動)到②,再由②滾動到③,若半徑OA=2,∠AOB=45°,則點O運動的路徑長為.

22.(2022湖北十堰中考)如圖,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,點C為OB上一點,將扇形AOB沿AC折疊,使點B的對應點B'落在射線AO上,則圖中陰影部分的面積為.23.(2023湖南岳陽中考)如圖,在☉O中,AB為直徑,BD為弦,點C為BD的中點,以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E.(1)若∠A=30°,AB=6,則BC的長是(結果保留π);

(2)若CFAF=13,則CEAE素養(yǎng)探究全練24.(2023山東淄博高青二模)如圖,在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,一段圓弧經(jīng)過格點A,B,C,CE的延長線經(jīng)過格點D,則AE的長為()A.3π4 B.π2 C.5π8

第五章圓9弧長及扇形的面積答案全解全析基礎過關全練1.B∵∠AOB=120°,☉O的半徑r為15m,∴AB的長=120π×151802.D如圖,過點D作DE⊥OC,垂足為E.∵直尺的寬度為3,∴DE=3,∵AB=12,∴OC=OD=6.∴DE=12∴CD的長為30π×61803.B∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=3,∠A=∠B=∠C=60°.∴AB=BC=AC.∵AB的長=60π×3180∴該“萊洛三角形”的周長是3π.故選B.4.B如圖,連接AE、AF、DF.由題意得AD=AF=DF,∴△ADF是等邊三角形.∴∠FAD=60°,∵∠BAD=90°,∴∠BAF=90°-60°=30°.同理可得,∠DAE=30°.∴∠EAF=30°.由對稱性知,l

HE=l

EF=l

FG∴陰影部分的外圍周長=4×30π×1180=2π5.D作OC⊥AB于C,如圖,則AC=BC.∵OA=OB,∴∠AOC=12∠AOB=1在Rt△AOC中,OA=18米,∴AC=OA·sin∠AOC=18×sin60°=93(米).∴AB=2AC=183米.∵AB的長=120π×18180∴走便民路比走觀賞路少走(12π-183)米.6.答案4π解析扇形的弧長=40π×181807.答案4π解析由題意得,重物上升的距離是半徑為6cm,圓心角為120°的扇形的弧長,即120π·61808.答案13解析∵∠BAE=65°,∴∠BOE=2∠BAE=130°.∴∠BOC+∠DOE=∠BOE-∠COD=60°.∴BC與DE的長度之和=60π·1180=19.C∵AB的長為45cm,BD的長為30cm,∴AD=AB-BD=15cm.∵∠BAC=120°,∴扇面的面積=S扇形BAC-S扇形DAE=120π×452360-120π×110.B連接BD(圖略).易判斷弓形OB的面積=弓形OD的面積,∴S陰影=S扇形BCD-S△CBD=90π×2236011.答案6π解析該扇形的面積為1212.答案4-π解析由題意得,AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,∵AB=2,BC=4,E為BC的中點,∴AB=CD=BE=CE=2.∴∠BAE=∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°.∴陰影部分的面積=2×12×2×2-2×45π×13.答案23π?解析如圖,連接OA,OC,OC交AB于點M.由折疊性質可得OA=AC,OM=CM,AB⊥OC.∵OA=OC,∴OA=OC=AC=2cm.∴OM=CM=12∵∠AMO=90°,∴AM=OA2-OM2∴S陰影=S扇形AOC-S△AOC=60π×22360-12×2×3=14.答案4π解析由旋轉的性質知,△ABC≌△ADE,∴S△ABC=S△ADE,∵在△ABC中,AB=6,將△ABC繞點A逆時針旋轉40°后得到△ADE,∴陰影部分的面積=扇形BAD的面積+△ADE的面積-△ABC的面積=扇形BAD的面積=40360×π×62[變式1]答案620π解析由旋轉的性質可知△ABC≌△AB'C',∴S△ABC=S△AB'C',∴刮雨刷BC掃過的面積=扇形BAB'的面積+△AB'C'的面積-△ABC的面積-扇形CAC'的面積=扇形BAB'的面積-扇形CAC'的面積=120×π×462360-120×π×1方法解讀由某線段繞旋轉中心旋轉形成的不規(guī)則陰影部分的面積通常為線段兩端點與旋轉中心所連線段分別繞旋轉中心旋轉所形成的扇形面積的差.[變式2]答案332-解析如圖,作DH⊥AE于H.∵∠AOB=90°,OA=4,OB=3,∴AB=OA由旋轉的性質可知,OE=OB=3,DE=EF=AB=5.∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED.∵∠DHE=∠FOE=90°,∴△DHE≌△EOF.∴DH=OE=3.∴陰影部分的面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積-扇形DEF的面積=12×7×3+12×3×4+90π×42360-90π×15.解析(1)連接OC,OD(圖略),∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°.∵AB=8,∴OC=OD=12AB=4.∴S扇形COD=90π·42360=4π,S△OCD=(2)證明:∵BC=AD,∴BC=AD.∴∠BOC=∠AOD.∵∠COD=90°,∴∠AOD=45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=12∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP=12∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,即OD⊥PD.∵OD為☉O的半徑,∴PD是☉O的切線.能力提升全練16.B∵OB⊥AC,∴AD=12AC=1503在Rt△AOD中,AD2+OD2=OA2,∴(1503)2+(x-150)2=x2,解得x=300.∴sin∠AOB=ADOA=3∴∠AOC=120°.∴AC的長=120π×30018017.B如圖,過點E作EG⊥DF于點G.∵∠A=60°,DE⊥AD,∴∠DEA=30°.∵AB∥CD,DE=EF,∴∠EDF=∠EFD=30°.∴∠DEF=120°.∵∠GDE=30°,DE=6,∴GE=3,DG=33.∴DF=2DG=63.∴S陰影=S扇形DEF-S△DEF=120π×62360-12×618.B如圖,連接BB',過A作AF⊥BB'于F,則∠AFB=90°.由題意知AB=AB'=BB'=4,∴△ABB'是等邊三角形.∴∠ABF=60°.∴AF=AB·sin∠ABF=4×32=23∴S陰影=S扇形AB'C'-(S扇形ABB'-S△ABB')=90π×42360-60π×4219.B如圖,連接OA.∵∠ABO=60°,OA=OB,∴△AOB是等邊三角形.∴OA=OB=AB=8,∠AOB=∠OAB=60°.∵AD∥BO,∴∠OAD=∠AOB=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形.∴∠AOD=60°.∴∠OAB=∠AOD,∴AB∥OD.∴△ABD與△AOB是同底等高的三角形,∴S△ABD=S△AOB,∴S陰影=S扇形AOB=60π×8236020.A解法一:∵正方形ABCD的邊長為1,∴AB=BC=CD=AD=1,∠ABC=∠BCD=90°.根據(jù)對稱性,可知兩塊空白部分的面積相等,設兩塊空白部分的面積均為a,則S2-S1=90π×12360-a-1×1?90π×12360-a=90π×解法二(巧解)