云南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

高二數(shù)學(xué)期中考試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)至選擇性必修第一冊(cè)第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，根據(jù)交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得：，即，.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.

故選：D.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得斜率，再由斜率的定義計(jì)算傾斜角即可.【詳解】由得，所以直線的斜率，即，又，所以傾斜角.故選：C.4.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】先判斷出命題，的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得結(jié)論．【詳解】對(duì)于p而言，，故p是假命題，是真命題.對(duì)于q而言，，，故q是真命題，是假命題.綜上，和q都是真命題.故選：B.5.已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D6.已知正方體的內(nèi)切球半徑為，則該正方體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長，正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線長，即可求解.【詳解】因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球半徑為，所以正方體的棱長為．設(shè)外接球的半徑為R，則，所以，故外接球的體積為．故選：B.7.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在個(gè)區(qū)間上遞減，且左邊函數(shù)在右端點(diǎn)值大于右邊函數(shù)的左端點(diǎn)值，建立不等式組，求得范圍.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，則a的取值范圍是.故選：D8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出兩坐標(biāo)之間關(guān)系，將圓方程等式替換成點(diǎn)的坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，即，①.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以滿足②.把①代入②，得，即.故線段OA的中點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，，則（）A. B.直線AB的一個(gè)方向向量為C.四點(diǎn)共面 D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】用空間點(diǎn)的距離公式求得向量的模長，直線上兩點(diǎn)的得到向量即為直線的一個(gè)方向向量；向量共線即可判斷點(diǎn)共面；直線上一點(diǎn)和直線外的點(diǎn)組成的向量的模長即該向量在直線上的投影與該點(diǎn)到直線的距離滿足勾股定理，由此算出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】，A正確；，B錯(cuò)誤；由題意得，則，所以四點(diǎn)共面，C正確；，，，則點(diǎn)到直線的距離為，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B.的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.在上的值域?yàn)镈.將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則【答案】AC【解析】【分析】已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像及其形式即可得到ABC【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；令（），則（），故的單調(diào)遞增區(qū)間為（），B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故在上的值域?yàn)?，C正確；將圖象先向右平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知圓：與圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若圓與圓外切，則或B.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為C.若圓與圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則D.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，曲線W：恒過圓與圓的交點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩圓外切得圓心距等于半徑之和，即可列式求解；對(duì)于B，兩圓的方程相減即可得公共弦所在直線的方程；對(duì)于C，由兩圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得兩圓心關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解；對(duì)于D，根據(jù)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．若圓與圓外切，則，解得或，A正確．當(dāng)時(shí)，圓：，圓：，將兩圓的方程作差可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，B正確．若圓與圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則解得，C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，圓：，圓：，則，所以對(duì)任意的，曲線W恒過圓與圓的交點(diǎn)，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.從1至5這5個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的乘積為奇數(shù)的概率為__________.【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)題意寫出樣本空間，結(jié)合古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意知樣本空間，所以，事件為這2個(gè)數(shù)的乘積為奇數(shù)，所以，則，所以，故答案為：.13.已知點(diǎn)，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共面向量基本定理可設(shè)，求解即可.【詳解】由題可知，，，因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，所以（m，），，即，解得，，所以.故答案為：.14.如圖，在四棱臺(tái)體中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，，P為線段的中點(diǎn)，直線與平面所成角的大小為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量計(jì)算公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，則平面的一個(gè)法向量，所以，即直線平面，故直線與平面所成角的大小為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得直線方程；（2）由兩直線垂直關(guān)系可得所求直線的斜率為3，代入點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.【小問1詳解】由，可知，故所求直線的方程為，即.【小問2詳解】易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動(dòng)時(shí)長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)小組（所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動(dòng)心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.【答案】（1），2.4h（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，再利用中位數(shù)的計(jì)算公式直接計(jì)算；（2）根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)直接計(jì)算人數(shù)，再根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由，解得因?yàn)?，所以中位?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，得，即估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長的中位數(shù)為2.4h.【小問2詳解】由題知，平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，內(nèi)的頻率分別為0.5，0.1，則應(yīng)從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時(shí)間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時(shí)間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個(gè)，所以這2人來自不同分組的概率為.17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面積的最大值【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式可得，即可求得的值；（2）利用余弦定理和重要不等式可求最值.【小問1詳解】由，可得，即，因?yàn)?，所以，解?【小問2詳解】由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，則，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的面積的最大值為.18.已知直線，圓.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）記圓的圓心為，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，為等邊三角形，求的值.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列出關(guān)于的方程求解.（2）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，同樣根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列出關(guān)于的方程求解.【小問1詳解】由圓的方程可知圓心，半徑.直線，即.因?yàn)橹本€與圓相切，則.解得或.【小問2詳解】因?yàn)闉榈冗吶切危詧A心到直線的距離.同樣根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式.化簡得.解得19.如圖，在幾何體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，.（1）求異面直線EB與DF所成角余弦值（2）證明：平面平面BDF.（3）若M是幾何體ABCDEF內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（），點(diǎn)N滿足，，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的空間向量計(jì)算公式求解即可；（2）取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OF，先利用勾股定理的逆定理證明，，從而得平面，進(jìn)而可證得平面平面；（3）根據(jù)題意可得M在線段OE上，N在平面BDF上，結(jié)合數(shù)量積的定義可得，進(jìn)而求得最值