云南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

高二數(shù)學(xué)期中考試卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊至選擇性必修第一冊第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，根據(jù)交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得：，即，.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算化簡復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.

故選：D.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得斜率，再由斜率的定義計算傾斜角即可.【詳解】由得，所以直線的斜率，即，又，所以傾斜角.故選：C.4.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】先判斷出命題，的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得結(jié)論．【詳解】對于p而言，，故p是假命題，是真命題.對于q而言，，，故q是真命題，是假命題.綜上，和q都是真命題.故選：B.5.已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對稱點，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D6.已知正方體的內(nèi)切球半徑為，則該正方體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長，正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線長，即可求解.【詳解】因為正方體的內(nèi)切球半徑為，所以正方體的棱長為．設(shè)外接球的半徑為R，則，所以，故外接球的體積為．故選：B.7.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在個區(qū)間上遞減，且左邊函數(shù)在右端點值大于右邊函數(shù)的左端點值，建立不等式組，求得范圍.【詳解】因為在上單調(diào)遞減，所以，解得，則a的取值范圍是.故選：D8.已知為坐標(biāo)原點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別設(shè)出兩點坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式得出兩坐標(biāo)之間關(guān)系，將圓方程等式替換成點的坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，即，①.因為點A在圓上運動，所以滿足②.把①代入②，得，即.故線段OA的中點P的軌跡方程為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，，，則（）A. B.直線AB的一個方向向量為C.四點共面 D.點到直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】用空間點的距離公式求得向量的模長，直線上兩點的得到向量即為直線的一個方向向量；向量共線即可判斷點共面；直線上一點和直線外的點組成的向量的模長即該向量在直線上的投影與該點到直線的距離滿足勾股定理，由此算出點到直線的距離.【詳解】，A正確；，B錯誤；由題意得，則，所以四點共面，C正確；，，，則點到直線的距離為，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.點是圖象的一個對稱中心B.的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.在上的值域為D.將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則【答案】AC【解析】【分析】已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像及其形式即可得到ABC【詳解】因為，所以點是圖象的一個對稱中心，A正確；令（），則（），故的單調(diào)遞增區(qū)間為（），B錯誤；因為，所以，故在上的值域為，C正確；將圖象先向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，D錯誤.故選：AC11.已知圓：與圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若圓與圓外切，則或B.當(dāng)時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為C.若圓與圓關(guān)于點對稱，則D.當(dāng)時，對任意的，曲線W：恒過圓與圓的交點【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)兩圓外切得圓心距等于半徑之和，即可列式求解；對于B，兩圓的方程相減即可得公共弦所在直線的方程；對于C，由兩圓關(guān)于點對稱得兩圓心關(guān)于點對稱，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，即可求解；對于D，根據(jù)過兩圓交點的圓系方程即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．若圓與圓外切，則，解得或，A正確．當(dāng)時，圓：，圓：，將兩圓的方程作差可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，B正確．若圓與圓關(guān)于點對稱，則解得，C錯誤．當(dāng)時，圓：，圓：，則，所以對任意的，曲線W恒過圓與圓的交點，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.從1至5這5個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的乘積為奇數(shù)的概率為__________.【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)題意寫出樣本空間，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可.【詳解】根據(jù)題意知樣本空間，所以，事件為這2個數(shù)的乘積為奇數(shù)，所以，則，所以，故答案為：.13.已知點，，，，若A，B，C，D四點共面，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共面向量基本定理可設(shè)，求解即可.【詳解】由題可知，，，因為A，B，C，D四點共面，所以（m，），，即，解得，，所以.故答案為：.14.如圖，在四棱臺體中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，，P為線段的中點，直線與平面所成角的大小為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量計算公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，則平面的一個法向量，所以，即直線平面，故直線與平面所成角的大小為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得直線的斜率，利用點斜式即可求得直線方程；（2）由兩直線垂直關(guān)系可得所求直線的斜率為3，代入點斜式方程可得結(jié)果.【小問1詳解】由，可知，故所求直線的方程為，即.【小問2詳解】易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.某社團為統(tǒng)計居民運動時長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為，，，，，六個小組（所調(diào)查的居民平均每天的運動時長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機抽樣的方法從平均每天運動時長在，這兩個時間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.【答案】（1），2.4h（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，再利用中位數(shù)的計算公式直接計算；（2）根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)直接計算人數(shù)，再根據(jù)古典概型公式計算即可.【小問1詳解】由，解得因為，所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，得，即估計這100名居民平均每天的運動時長的中位數(shù)為2.4h.【小問2詳解】由題知，平均每天運動時長在，內(nèi)的頻率分別為0.5，0.1，則應(yīng)從平均每天運動時長在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個，2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個，所以這2人來自不同分組的概率為.17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，求的面積的最大值【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式可得，即可求得的值；（2）利用余弦定理和重要不等式可求最值.【小問1詳解】由，可得，即，因為，所以，解得.【小問2詳解】由余弦定理可得，因為，所以，則，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的面積的最大值為.18.已知直線，圓.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）記圓的圓心為，若直線與圓交于，兩點，為等邊三角形，求的值.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，再根據(jù)點到直線距離公式列出關(guān)于的方程求解.（2）當(dāng)為等邊三角形時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，同樣根據(jù)點到直線距離公式列出關(guān)于的方程求解.【小問1詳解】由圓的方程可知圓心，半徑.直線，即.因為直線與圓相切，則.解得或.【小問2詳解】因為為等邊三角形，所以圓心到直線的距離.同樣根據(jù)點到直線距離公式.化簡得.解得19.如圖，在幾何體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，.（1）求異面直線EB與DF所成角余弦值（2）證明：平面平面BDF.（3）若M是幾何體ABCDEF內(nèi)的一個動點，且（），點N滿足，，求的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的空間向量計算公式求解即可；（2）取BD的中點O，連接OE，OF，先利用勾股定理的逆定理證明，，從而得平面，進而可證得平面平面；（3）根據(jù)題意可得M在線段OE上，N在平面BDF上，結(jié)合數(shù)量積的定義可得，進而求得最值