小初高試卷模板

第1頁/共1頁2024-2025年度河南省高三期中考試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集和補集的知識求得正確答案.【詳解】.故選：B2.已知為實數(shù)，則實數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將化成，再根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件求解即可【詳解】因為為實數(shù)，則，∴故選：B.3.命題“若，則”的否定是（）A.若，則B.若，則C.存在一個實數(shù)，滿足，但D.對任意實數(shù)，滿足，但【答案】C【解析】【分析】求出給定命題的否定即可得解.【詳解】命題“若，則”的否定是存在一個實數(shù)，滿足，但.故選：C4.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：汽車啟動加速過程，隨時間增加路程增加的越來越快，漢使圖像是凹形，然后勻速運動，路程是均勻增加即函數(shù)圖像是直線，最后減速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越來越慢即函數(shù)圖像是凸形．故選A．考點：函數(shù)圖像的特征．5.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m，筒車的半徑r為2.5m，筒轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶M（視為質(zhì)點）的初始位置距水面的距離為3m，則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（，）．A.4.5m B.4.0m C.3.5m D.3.0m【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，構(gòu)造三角函數(shù)模型，求得三角函數(shù)解析式，進而求解問題即可.【詳解】根據(jù)題意，建立如下所示平面直角坐標系：根據(jù)題意，盛水桶M到水面的距離與時間滿足：；因為筒轉(zhuǎn)動的角速度為，故；又；，解得，則；又當時，，則，，則；故當時，.故選：B.6.數(shù)列的通項公式為，則當該數(shù)列的前項和取得最小值時，的值為（）A.5 B.7 C.7或8 D.6或7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的通項公式，判斷其單調(diào)性及值的正負即可得解.【詳解】由，得當時，數(shù)列遞減，當時，數(shù)列遞增，由，得，因此，當時，，所以當該數(shù)列前項和取得最小值時，的值為6或7.故選：D7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助基本不等式比較大小.【詳解】依題意，，，因此，所以.故選：C8.若直線通過點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.當且時，存在唯一的值，使得B.當且時，存在兩個值，使得C.當且時，無最大值D.當時，存在無數(shù)個值，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得點的軌跡，再結(jié)合直線與圓或圓弧的位置關(guān)系逐項分析判斷.【詳解】當時，點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，對于A，當時，直線，點到直線的距離，直線與圓相切，因此值存在且唯一，A正確；對于B，當時，直線，點到直線的距離，直線與圓相交，因此值有兩個，B正確；對于C，當且時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當且僅當時，函數(shù)取最大值，因此有最大值，C錯誤；對于D，由選項C知，當，時，，使得的所有角均有，即；當，時，，令，取點，直線的斜率，而每個點，存在唯一點，因此存在無數(shù)個值，使得，D正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：解析本題的關(guān)鍵是確定出點的軌跡，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于，的方程，下列說法正確的是（）A.若，則該方程表示橢圓，其焦點在軸上B.若，則該方程表示圓，其半徑為C.若，則該方程表示橢圓，其焦點在軸上D.若，，則該方程表示兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓方程及圓的方程特征，逐項分析判斷.【詳解】對于A，當時，，，方程表示橢圓，其焦點軸上，A正確；對于B，當時，方程表示圓，其半徑為，B錯誤；對于C，當時，，，方程表示橢圓，其焦點在軸上，C正確；對于D，，，方程表示兩條直線，D正確.故選：ACD10.記實數(shù)，，，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知函數(shù)，，其中，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且，則下列說法正確的是（）A.當時，的最小值為B.若的圖象關(guān)于直線對稱，則C.“”是“為等邊三角形”的充要條件D.“”是“為等邊三角形”的必要不充分條件【答案】BD【解析】【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，求出最小值判斷A；求出對稱軸判斷B；利用充分條件、必要條件的定義判斷CD【詳解】對于A，當時，，當或時，取最小值0，A錯誤；對于B，當時，圖象的對稱軸為，不符合題意；當時，圖象對稱軸，不符合題意；當時，圖象對稱軸，由，得，B正確；對于CD，為等邊三角形，則，；取，，此時，而是不是等邊三角形，所以“”是“為等邊三角形”的必要不充分條件，C錯誤，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一條公切線B.函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于直線的對稱點都在函數(shù)的圖象上C.當時，恒成立D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象和直線分別交于，兩點，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，先設(shè)直線與兩曲線相切于，兩點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析方程的根的情況，進而判斷；對于B，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于C，轉(zhuǎn)化問題為判斷，構(gòu)造函數(shù)，進而利用導(dǎo)數(shù)分析判斷即可；對于D，設(shè)，，可得，設(shè)，進而利用導(dǎo)數(shù)求解判斷即可.【詳解】對于A，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點，與的圖象相切于點，，因為，，所以，，則，消去得，，令，則，設(shè)，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，且時，，所以存在，使得，所以當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩條公切線，故A錯誤；對于B，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于直線的對稱點都在函數(shù)的圖象上，故B正確；對于C，由，得，由于，則，設(shè)，，則，因為函數(shù)和在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，所以當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，所以當時，恒成立，故C正確；對于D，由，，設(shè)，，其中，且，所以，設(shè)，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題A選項關(guān)鍵在于結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，進而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析方程的根的情況，進而判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，則____________.【答案】【解析】【分析】首先需要求出向量和的坐標，然后根據(jù)向量夾角余弦值公式來計算.【詳解】已知，，則.已知，，則..，..故答案為：.13.過雙曲線的右頂點A作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、若，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】【分析】求出直線l和兩個漸近線的交點，進而表示出和，進而根據(jù)求得a和b的關(guān)系，根據(jù)c2﹣a2=b2，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．【詳解】直線l：y=﹣x+a與漸近線l1：bx﹣ay=0交于B（，），l與漸近線l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故答案為．【點睛】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．要求學生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的運用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用．14.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個某款電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的若干年中將正式生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加，那么從正式生產(chǎn)這款產(chǎn)品算起，在第__________個月，月不合格品的數(shù)量達到最大.【答案】5或6【解析】【分析】設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，bn，則各月不合格品的數(shù)量構(gòu)成數(shù)列．由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列．由于數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問題的解決方法．【詳解】設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，bn．由題意，知，，其中，2，…，24，則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是．由通項公式列表，n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設(shè)法證明當時，遞減，由，得．所以，當時，單調(diào)遞減．所以在第5或6個月，月不合格品的數(shù)量達到最大，故答案為：5或6四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，當取得最大值時，求的面積.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦化簡求解.（2）由（1）的結(jié)論，利用差角的正切，結(jié)合基本不等式求出得，進而求出三角形面積.【小問1詳解】在中，由及正弦定理，得，因此，所以.【小問2詳解】由（1）知，，則，當且僅當時取等號，因此當，，即時，取得最大值，此時，由，得，所以的面積.16.已知向量，.若存在不同時為零的實數(shù)和，使得，，且.（1）求的解析式；（2）求（1）中的在上的極值.【答案】（1）；（2）當，沒有極大值，也沒有極小值；當，有極小值為，沒有極大值.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標表示可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，分、討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】因為，，所以，又因為，所以，所以，所以；小問2詳解】由（1）得，當或時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由題可得，當時，在上單調(diào)遞減，所以沒有極大值，也沒有極小值；當，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時有極小值，為，沒有極大值.綜上所述，當，沒有極大值，也沒有極小值；當，有極小值為，沒有極大值.17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，證明：中的任意不同的三項均不能成等比數(shù)列.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得等差數(shù)列的首項和公差，從而求得.（2）先求得，然后利用反證法，先假設(shè)存，然后推出矛盾，從而證得結(jié)論成立.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，依題意，解得，所以.【小問2詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，則，解得，所以，假設(shè)存在，且兩兩不相等，使得，所以，，，由于兩兩不相等，上式兩邊不同時為，且是整數(shù)，是無理數(shù)，兩邊不相等，所以假設(shè)不成立，所以中的任意不同的三項均不能成等比數(shù)列.18.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值.（2）當且時，證明：.（3）設(shè)函數(shù)，若和的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）遞減區(qū)間，遞增區(qū)間，極小值為；無極大值（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值，需要用到導(dǎo)數(shù)知識，導(dǎo)數(shù)大于零的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間，導(dǎo)數(shù)為零的點可能為極值點；（2）可構(gòu)造函數(shù)，通過研究其單調(diào)性來證明不等式；（3）函數(shù)圖象有兩個交點，可轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，通過參變分離，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等情況來確定參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】首先對求導(dǎo)，得，令，即，解方程，得，當時，，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以在上單調(diào)遞增，那么在處取得極小值，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)極小值為，無極大值；【小問2詳解】設(shè)，對求導(dǎo)得,由（1）知在單調(diào)遞增，因為，且，所以,又因為，所以，即,所以在上單調(diào)遞增，，即；【小問3詳解】因為，和的圖象有兩個交點，所以方程有兩個解，整理得，當時，，顯然無解.當，參變分離，即.設(shè)，導(dǎo)數(shù).令，即，因為，，所以，解得或.當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增.當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，