2024-2025學年高中數(shù)學模塊提升作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE模塊提升作業(yè)一、正、余弦定理及其應用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的狀況A的大小A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).二、等差數(shù)列及其前n項和1．等差數(shù)列的定義一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項公式假如等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d．3．等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m5．等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))7．等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．三、等比數(shù)列及其前n項和1．等比數(shù)列的定義一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0).2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中項假如在a與b中插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么依據(jù)等比數(shù)列的定義，eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq\r(ab)，稱G為a，b的等比中項．4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*).(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an．(3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．5．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).6．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．四、數(shù)列求和的常用方法1．公式法干脆利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和．2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．3．裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．常見的裂項公式(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣．5．錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和．6．并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采納兩項合并求解．五、不等關系與不等式1．兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b，,a－b＝0?a＝b，,a－b＜0?a＜b.))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞b，,\f(a,b)＝1?a＝b，,\f(a,b)＜1?a＜b.))(a∈R，b＞0)2．不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a．(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c．(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c．(4)可乘性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞0))?ac＞bc．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＜0))?ac＜bc.(5)同向可加性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞d))?a＋c＞b＋d．(6)同向可乘性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞d＞0))?ac＞bd．(7)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1).(8)可開方性：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).3．不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)①a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).②a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).③a＞b＞0，0＜c＜d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a).(2)有關分數(shù)的性質(zhì)若a＞b＞0，m＞0，則①eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(b－m＞0).②eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0).六、一元二次不等式及其解法1．“三個二次”的關系判別式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.常用結(jié)論(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}(x－a)·(x－b)＜0{x|a＜x＜b}?{x|b＜x＜a}口訣：大于取兩邊，小于取中間．3．常見分式不等式的解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)＞0(＜0)?f(x)·g(x)＞0(＜0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．七、二元一次不等式(組)與簡潔的線性規(guī)劃問題1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)全部點組成的平面區(qū)域．我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界直線．當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．(2)對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的全部點，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特別點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可斷定Ax＋By＋C>0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．2．線性規(guī)劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解可行域全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題八、基本不等式及其應用1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0．(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號).(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R).(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R).以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a＞0，b＞0，則a，b的算術平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則(1)假如積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p)．(簡記：積定和最小)(2)假如和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4)．(簡記：和定積最大)1．在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B. (√)2．當b2＋c2－a2＞0時，三角形ABC為銳角三角形． (×)3．在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC). (√)4．在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積． (√)5．若一個數(shù)列從其次項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列． (×)6．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d確定的． (√)7．數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對隨意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (√)8．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}肯定是等差數(shù)列． (√)9．滿意an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． (×)10．G為a，b的等比中項?G2＝ab. (×)11．假如數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列． (×)12．數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝eq\f(a（1－an）,1－a). (×)13．若eq\f(a,b)＞1，則a＞b. (×)14．一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變． (×)15．a(chǎn)＞b＞0，c＞d＞0?eq\f(a,d)＞eq\f(b,c). (√)16．若ab＞0，則a＞b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b). (√)17．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞),則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2. (√)18．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R. (×)19．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. (×20．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集肯定不是空集． (√)21．點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0. (√)22．其次、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy＜0表示． (√)23．線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的． (×)24．最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解． (√)25．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2. (×)26．函數(shù)f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4. (×)27．“x＞0且y＞0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要條件． (×)28．若a＞0，則a3＋eq\f(1,a2)的最小值為2eq\r(a). (×)29．不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有相同的成立條件． (×)30．兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項． (√)1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，則eq\f(b,c)＝()A．6 B．5C．4 D．3A[∵asinA－bsinB＝4csinC∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－（4c2＋b2）,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(b,c)＝6.故選A.]2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2nA[法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2－4n.故選A.法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))選項A，a1＝2×1－5＝－3；選項B，a1＝3×1－10＝－7，解除B；選項C，S1＝2－8＝－6，解除C；選項D，S1＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，解除D.故選A.]3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)C[因為S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，所以eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝eq\f(π,4).故選C.]4．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝()A．4eq\r(2) B．eq\r(30)C．eq\r(29) D．2eq\r(5)A[因為coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，所以cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×(eq\f(\r(5),5))2－1＝－eq\f(3,5).于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×(－eq\f(3,5))＝32，所以AB＝4eq\r(2).故選A.]5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，則B＝．eq\f(3π,4)[∵bsinA＋acosB＝0，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,－cosB).由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝eq\f(3π,4).]6．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝．100[∵{an}為等差數(shù)列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝eq\f(a7－a3,7－3)＝eq\f(13－5,4)＝2，首項a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝100.]7．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))則z＝x＋y的最大值為．9[法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標函數(shù)z＝x＋y可化為y＝－x＋z，作出直線y＝－x，并平移，當平移后的直線經(jīng)過點B時，z取得最大值．聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,x－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4，))所以B(5，4)，故zmax＝5＋4＝9.法二：畫圖(圖略)知可行域是封閉的三角形區(qū)域，易求得可行域的三個頂點的坐標分別是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目標函數(shù)z＝x＋y可求得z的值是3，9，5，故zmax＝9.]8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為eq\f(2\r(3),3)[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinB·sinC，因為sinBsinC≠0，所以sinA＝eq\f(1,2).因為b2＋c2－a2＝8，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以bc＝eq\f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).]9．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．[解](1)由條件可得an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.10．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.[解](1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2