【數(shù)學(xué)】拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一）課件+2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

§3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一）定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程溫故知新y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)1、范圍

由拋物線y2=2px（p>0）∴拋物線的范圍為如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?結(jié)論：拋物線在y軸的右側(cè)，開口方向與x軸正向相同；當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。2、對(duì)稱性即點(diǎn)(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，3、頂點(diǎn)定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)

的頂點(diǎn)（0，0）注：這與橢圓、雙曲線不同。4、離心率P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸離心率y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry

≤

0x∈R(0,0)x軸y軸e=1歸納：拋物線的幾何性質(zhì)特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有對(duì)稱中心、沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸、一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線、離心率是1；思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.p越大,開口越大【完成課本P136頁練習(xí)第2題】拓展：（1）通徑：xyOFABy2=2px2p

過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑.

利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.

連接拋物線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑.焦半徑公式：xyOFP（2）焦半徑

（3）焦點(diǎn)弦：通過焦點(diǎn)的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦點(diǎn)弦。xOyFAB①過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑。|AB|=2p焦點(diǎn)弦公式：②以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切.練習(xí)：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是

.2、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則p=

。163、過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，那么=

.184

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，）解:∴設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：∴因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：例1：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m

≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論練1：已知拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點(diǎn)M(2,),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.MOyx．例2：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。

解法1：

F1(1,0),

解法2：

F1(1,0),

解法3：

F1(1,0),|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8A1B1歸納總結(jié)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸離心率xFOylxFOylxFOylxFOylx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry

≤

0x∈R(0,0)x軸y軸e=1y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋