廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含答案)

2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試模擬考試卷姓名：_____________學(xué)號：_____________一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.如圖為部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.的半徑為3，點(diǎn)..在外，點(diǎn)到圓心的距離為，則需要滿足的條件（）A. B. C. D.無法確定3.用配方法解一元二次方程時(shí)，配方正確的是（）A. B. C. D.4.如圖，在中，為直徑，，為圓上的點(diǎn)，若，則..的大小為（）A.51° B.49° C.40° D.39°5.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線如圖所示，則關(guān)于的方程的根的情況為（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.沒有實(shí)數(shù)根C.有實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根6.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.7.若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為1，則的值為（）A.3 B.0 C. D.8.如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點(diǎn)，，在同一條直線上，，那么旋轉(zhuǎn)角等于（）A.65° B.100° C.115° D.120°9.某公司今年10月的營業(yè)額為2500萬元，按計(jì)劃第四季度的總營業(yè)額要達(dá)到9100萬元，求該公司11、12兩個(gè)月營業(yè)額的月均增長率，設(shè)該公司11、12兩個(gè)月營業(yè)額的月均增長率為，則根據(jù)題意可列的方程為（）A. B.C. D.10.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù).則的取值為（）A.或 B. C. D.二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.若關(guān)于的一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)的值可以是______（寫出一個(gè)即可）.12.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線表達(dá)式為______.13.一個(gè)等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程的一個(gè)根，則此三角形的周長是______.14.如圖，、是的切線，點(diǎn)、為切點(diǎn)，是的直徑，，則的大小是______度.15.“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面.已知截面的半徑為10cm，開口寬為12cm，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是______cm.16.拋物線交軸于點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為，下列四個(gè)結(jié)論：①拋物線過點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形；③；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則.其中結(jié)論正確的序號是______________.三、解答題（共9小題，滿分72分）17.（4分）解方程：.18.（4分）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)在的延長線上.求證：.19.（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）畫出繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的；（2）______；20.（6分）如圖，用籬笆圍成一塊矩形花圃，該花圃一側(cè)靠墻，而且有一道隔欄（隔欄也用籬笆制作），已知所用籬笆的總長為24m，花圃的面積為，墻的最大可用長度為10m，求邊的長.21.（8分）如圖，為的直徑，交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長至，使，連接.（1）求證：為的切線；（2）若且，求的半徑.22.（10分）如圖，在中，，.（1）尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)在的延長線上（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接，判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，并說明理由.23.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.設(shè)拋物線的對稱軸為直線.（1）當(dāng)時(shí)，①直接寫出與滿足的等量關(guān)系；②比較，的大小，并說明理由；（2）已知點(diǎn)在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍.24.（12分）如圖1所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：.【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將與點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：（1）根據(jù)小明的思路，請你完成證明.（2）若圓的半徑為8，則的最大值為_____________（直接寫答案）.【類比遷移】如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長的最大值.【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點(diǎn)、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_____________（直接寫答案）.25.（12分）正方形的頂點(diǎn)在某拋物線上，稱該正方形為該拋物線的“懸正方形”.若直線與“懸正方形”以為端點(diǎn)的一邊相交，且點(diǎn)到直線的距離為，則稱直線為該正方形的“懸割線”.已知拋物線，其中，，，以為邊作正方形（點(diǎn)在點(diǎn)的下方）.（1）證明：正方形是拋物線的“懸正方形”；（2）判斷正方形是否還可能是拋物線的“懸正方形”，并說明理由；（3）若直線是正方形的“懸割線”，現(xiàn)將拋物線及正方形進(jìn)行相同的平移，是否存在直線為平移后正方形的“懸割線”的情形？若存在，請?zhí)骄繏佄锞€經(jīng)過了怎樣的平移；若不存在，請說明理由.

2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試模擬考試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.A.2.C.3.D.4.D.5.B.6.B.7.A.8.C.9.B.10.A.2.解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖一所示：函數(shù)是由函數(shù)向上或向下平移得到的，由圖象可知，①時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只兩個(gè)一個(gè)交點(diǎn)，不符合題；②把函數(shù)向下平移到過點(diǎn)時(shí)，得.解得，在此過程中，函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)；③把函數(shù)向上平移到圖象位置時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，即，，解得.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與的圖象在范圍內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn).故選：A.二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.4（答案不唯一）.12..13.14.14.40.15.18cm.16.①②④.16.解：①把代入得，，拋物線過點(diǎn)，故①正確；②當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，對稱軸為，是等腰直角三角形，故②正確；③拋物線交軸于點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），、是方程的兩個(gè)根，，故③錯誤；④觀察二次函數(shù)圖象可知：當(dāng)，且，則.故④正確.故答案為：①②④.三、解答題（共9小題，滿分72分）17.解：，，，，，，，.18.解：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，而點(diǎn)在的延長線上.，，，.19.解：（1）如圖，即為所求.（2），，.故答案為：45°.20.解：設(shè)邊邊的長為，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），，答：邊的長為5m.21.解：（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，即，，是半徑，為的切線；（2）解：設(shè)的半徑，則，，在中，由勾股定理得，，，解得，或（舍去），的半徑為3.22.解：（1）如圖，為所作；（2）點(diǎn)在直線上.理由如下：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，點(diǎn)、、共線，即點(diǎn)在直線上.23.解：（1）①，；②拋物線中，，拋物線開口向上，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，對稱軸為直線，點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，；（2）由題意可知，點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，點(diǎn)，在對稱軸的右側(cè)，，都有，點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，，解得，的取值范圍是.24.解：初步探索：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16；類比遷移：如圖2，，，是的直徑，且圓心在上，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值為，的最大值為，周長的最大值是；拓展延伸：如圖3，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連接，，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：.25.證明：（1）當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在拋物線上，故正方形是拋物線的“懸正方形”；（2）正方形不可能是拋物線的“懸正方形”，理由如下：假設(shè)點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)時(shí)，，則，整理得，解得，與矛盾，假設(shè)不成立，所以點(diǎn)不在拋物線上，故正方形不可能是拋物線的“懸正方形”；解：（3）假設(shè)存在直線為平移后正方形的“懸割線”的情形，則平移后，正方形是拋物線的“懸正方形”，拋物線及正方形進(jìn)行相同的平移，平移前，正方形是拋物線的“懸正方形”，則點(diǎn)在拋物線上，，，軸，，，在正方形中，，，則，點(diǎn)在拋物線上，，解得，（不合題意，舍去），，那么平移前，，，，直線與軸，軸分