數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第二講五與圓有關(guān)的比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破一、相交弦定理1。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。圖2—5—12.定理的證明:如圖2-5-1，已知⊙O的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)的一點P.求證:PA·PB＝PC·PD.證明:連結(jié)AC、BD，則由圓周角定理有∠B=∠C.又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD＝PC∶PB，即PA·PB＝PC·PD。當(dāng)然,連結(jié)AD、BC也能利用同樣道理證得同樣結(jié)論。3。由于在問題的證明中,⊙O的弦AB、CD是任意的,因此，PA·PB＝PC·PD成立，表明“過定圓內(nèi)一定點P的弦,被P點分成的兩條線段長的積應(yīng)為一個定值"。雖然過定點P的弦有無數(shù)多條,然而在這眾多的弦中有一些長度比較特殊的弦，如過點P的最長或最短的弦,通過它們可以找到定值.圖2-5-2如圖2—5—2(1），考察動弦AB,若AB過⊙O的圓心O，則AB為過點P的最長的弦，設(shè)⊙O的半徑為R，則PA·PB＝（R－OP）（R＋OP）。如圖2-5-2(2），考察過點P的弦中最短的弦，AB為過⊙O內(nèi)一點P的直徑，CD為過點P且垂直于AB的弦,顯然，由垂直定理和相交弦定理，應(yīng)有PA·PB＝PC·PD＝＝OC2－OP2＝R2－OP2.由于⊙O是定圓,P為⊙O內(nèi)一定點，故⊙O的半徑R與OP的長為定值.設(shè)OP＝d，比較上述兩式，其結(jié)論是一致的,即PA·PB＝（R—d)（R+d）=R2-d2，為定值.于是,相交弦定理可進一步表述為:圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積為一定量，它等于圓的半徑與交點到圓心距離的平方差。定圓的任一弦被定點分得兩線段長的積為定值，這個定值與點P的位置有關(guān),對圓內(nèi)不同的點P,一般來說,定值是不同的,即這個定值是相對于定點P與定圓O而言的。同時,由第二式可直接得到相交弦定理的推論：如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項,即PC2＝PD2＝PA·PB。二、割線定理與切割線定理1。割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.2.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.圖2—5—33。符號語言表述:如圖2—5-3，PA·PB=PC·PD=PE2.4。定理的證明:連結(jié)EC、ED,由于PE為切線,所以∠PEC=∠PDE。又因為∠EPC=∠EPC，于是△PEC∽△PDE，因此有PE∶PC=PD∶PE,即PE2=PC·PD.同理,有PE2=PA·PB,所以PA·PB=PC·PD。5.應(yīng)注意的兩點：（1）所有線段,都有一個公共端點P,而另一端點在圓上;（2）等積式左右兩邊的線段，分別在同一條割線上.三、切線長定理1。我們知道，過圓外一點可以引兩條直線與圓相切，在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的線段的長稱為切線長.切線長是一條線段的長,而這條線段的兩端分別是圓外的已知點和切點.注意切線是一條直線，而切線長是切線上一條線段的長，屬于切線的一部分.2.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.圖2—5—43.切線長定理及其應(yīng)用:因切線長定理再次體現(xiàn)了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù).如圖2—5-4，PA、PB是⊙O外點P向圓作的兩條切線，切點為A、B,那么有PA=PB,∠OAP=∠OBP.4.由切線長定理，可以得到圓外切四邊形的一個重要性質(zhì)：圓的外切四邊形的兩組對邊和相等.利用這一性質(zhì)可以方便地解決許多問題。四、刨根問底問題1相交弦定理、割線定理、切割線定理在表述形式上非常類似,定理中都涉及到兩條線段的積相等,那么這些定理有什么內(nèi)在聯(lián)系?定理中兩條線段的積能確定具體數(shù)值嗎？探究：相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似三角形結(jié)合的產(chǎn)物.這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理:過圓內(nèi)或圓外一點作圓的兩條割線,則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點重合的割線）.兩條線段的長的積是常數(shù)PA·PB＝｜R2－d2｜，其中d為定點P到圓心O的距離。若P在圓內(nèi),d＜R，則該常數(shù)為R2－d2;若P在圓上，d＝R,則該常數(shù)為0；若P在圓外，d＞R，則該常數(shù)為d2－R2。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點,另一個是與圓的交點.在實際應(yīng)用中,見圓中有兩條弦相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理;若有兩條切線相交則想到切線長定理,并熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形.問題2與圓有關(guān)的比例線段問題涉及相似三角形、相交弦定理、切割線定理、比例的性質(zhì)等若干內(nèi)容,大都是綜合性的問題,那么通常我們怎樣證明這些比例式？在證明時有什么訣竅嗎？探究：與圓有關(guān)的比例線段問題,主要是圓與相似形的綜合，其證法大致可分以下幾種：(1）直接由相似形得到，即先由已知條件證得兩個三角形相似，從而直接得到有關(guān)對應(yīng)線段成比例.這是簡單型的比例線段問題.（2)利用“等線段”代換得到，在證明“等積式”形如a2＝bc時,如果其中有三條線段共線,那么一般往往把平方項線段用“等線段"進行代換。（3）利用“中間積”代換得到，在證明“等積式”形如a2＝bc時，如果其中有三條線段共線，不妨可以把平方項線段利用中間積進行代換試試.（4）利用“中間比”代換得到,在證明比例線段(不論共線與否)，如果不能直接運用有關(guān)定理，不妨就尋找“中間比”進行代換試試。與圓有關(guān)的比例線段證明要訣：圓冪定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來搭橋,第三比作介紹，代數(shù)方法不可少,分析綜合要記牢,十有八九能見效?；顚W(xué)巧用【例1】過不在⊙O上的一點A作直線,交⊙O于B、C兩點，且AB·AC＝64，OA＝10，則⊙O的半徑等于。思路解析:點A不在⊙O上，有兩種情況：（1）點A在⊙O內(nèi)；（2）點A在⊙O外.答案:分兩種情況討論:圖2-5—5（1）當(dāng)點A在⊙O內(nèi)部時,如圖2—5—5（1）所示。作直線OA交⊙O于E、F，設(shè)⊙O的半徑為r,則AE＝r－10,AF＝r＋10。由相交弦定理得（r－10）（r＋10)＝64。解得，(不合題意，舍去）?！?(2)當(dāng)點A在⊙O的外部時,延長AO交⊙O于F，設(shè)⊙O的半徑為R，由切割線定理的推論得AB·AC＝AE·AF，即64＝(10－R)（10＋R）。解得R1＝6，R2＝－6（不合題意,舍去)?！郣＝6.綜上所述，⊙O的半徑為或6.【例2】如圖2—5—6，已知PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C兩點，PD⊥AB于D，PD、AO的延長線相交于E,連結(jié)CE并延長交⊙O于F，連結(jié)AF.圖2-5—6(1）求證:△PBD∽△PEC；（2）若AB＝12，tan∠EAF＝,求⊙O的半徑。思路解析：在（1)中，要證相似的兩個三角形已經(jīng)有一個角相等,只要再證其夾邊對應(yīng)成比例即可，而這可由△PAD∽△PEA得到；在(2）中，已知tan∠EAF＝，所以需構(gòu)造直角三角形，從而運用三角函數(shù)求解.(1）證明:由切割線定理，得PA2＝PB·PC。由△PAD∽△PEA，得PA2＝PD·PE,∴PB·PC＝PD·PE。又∠BPD為公共角,∴△PBD∽△PEC.(2）解:作OG⊥AB于G，由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F,∴PE∥AF。又OG⊥AB于G,∴AG＝AB＝6.∴OG∥ED∥FA.∴∠AOG＝∠EAF。Rt△AOG中，tan∠AOG＝,又=，∴OG＝9。由勾股定理，AG2+OG2＝AO2，∴＝.∴⊙O半徑長為?！纠?】如圖2-5-7,∠BAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于D和E,延長AC交過D、E、C三點的圓于點F.圖2—5—7(1）求證:EF2＝ED·EA；(2)若AE＝6，EF＝3，求AF·AC的值。思路解析:（1）要證EF2＝ED·EA，只需證△AEF∽△FED。（2）由于AC·AF＝AD·AE,而由（1）可求得DE,因而AD可以求出來，從而計算出AD·AE，即為AC·AF的值.（1）證明:連結(jié)CE、DF.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠3,∴∠2＝∠4?！摺螦EF＝∠FED，∴△AEF∽△FED。∴=?！郋F2=ED·EA.（2)解:由（1）知EF2＝AE·ED。∵EF=3，AE=6，∴?！??！郃C·AF=AD·AE=。【例4】如圖2-5-8，已知PA為⊙O的切線，PBD為⊙O的割線,交⊙O于B、D兩點，C為AB中點，PC的延長線交AD于E.求證：PA2∶PB2=DE∶EA。圖2—5—8思路解析：此題涉及平方比問題,我們應(yīng)設(shè)法化去平方比PA2∶PB2，由于PA2=PB·PD，故可以用這一結(jié)論直接化去平方比.證明：過B作BM∥AD,交PC于點M,∵PA2=PB·PD，∴==。∵C為AB中點，∴BC=AC.∵BM∥AE，∴AE=BM，且=。∴=.∴=?！纠?】如圖2—5-9,已知PA切⊙O于A,割線PCB交⊙O于C、B兩點.圖2-5—9(1)求證：=.（2)若Q為弧BC中點，AQ交BC于D點。求證：=。思路解析:(1)利