數(shù)學學案：集合的表示方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學人教B必修1第一章1。1.2集合的表示方法1．能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法、描述法)描述不同的具體問題．2．理解集合的特征性質(zhì),會用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如數(shù)集、解集和一些基本圖形的集合等．1．列舉法如果一個集合是______，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列舉出來,寫在________內(nèi)表示這個集合．這種表示集合的方法叫做列舉法．(1）用列舉法表示集合時，一般不必考慮元素間的前后順序，如{a，b}與{b，a｝表示同一個集合．（2）元素與元素之間必須用“，”隔開．(3）集合中的元素不能重復．(4）如果構(gòu)成集合的元素具有明顯的規(guī)律,也可以用列舉法表示，但必須把元素間的規(guī)律顯示清楚，如N＋＝{1，2，3，4,5,6,…｝．【做一做1－1】用列舉法表示不超過10的非負偶數(shù)集為__________．【做一做1－2】方程x2－2011x－2012＝0的解組成的集合為__________．2．描述法一般地，如果在集合I中，屬于集合A的任意一個元素x都____性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都______性質(zhì)p(x)，則性質(zhì)p（x)叫做集合A的一個________．于是，集合A可以用它的特征性質(zhì)p（x)描述為________，它表示集合A是由集合I中具有性質(zhì)p（x)的所有元素構(gòu)成的．這種表示集合的方法，叫做特征性質(zhì)描述法,簡稱______．(1）列舉法描述法．（2）描述法的形式：描述法的語言形式有三種：文字語言、符號語言、圖形語言．例如,表示由直線y＝x上所有的點組成的集合，可用三種形式表示為:文字語言形式：直線y＝x上所有的點組成的集合；符號語言形式：{（x，y）|y＝x};圖形語言形式：在平面直角坐標系內(nèi)畫出直線y＝x（略）．(3）使用描述法表示集合時要注意以下六點:①寫清元素符號;②說明該集合中元素的性質(zhì);③不能出現(xiàn)未被說明的字母;④多層描述時，應當準確使用“且”“或”；⑤所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)；⑥用于描述的語句力求簡明、準確．【做一做2－1】已知集合A＝{0,1，2，3,4｝,用描述法表示該集合為__________．（答案不唯一，寫一個即可）【做一做2－2】集合｛（x，y)｜y＝2x－1}表示（)A．方程y＝2x－1B．點(x，y）C．平面直角坐標系中的所有點組成的集合D．函數(shù)y＝2x－1的圖象上的所有點組成的集合一、用描述法表示集合時，要明確集合的代表元素剖析：描述法是將所給集合中全部元素的共同特征性質(zhì)用文字或符號語言描述出來的方法，它反映了集合元素的特征，在分析相關(guān)集合的問題時,一定要分清集合中代表元素的含義．例如,集合D＝｛y|y＝x2－2x＋3}＝{y|y＝(x－1）2＋2｝＝{y｜y≥2}，該集合的全部元素的共同特征性質(zhì)是大于或等于2的實數(shù)，所以D＝｛y|y＝x2－2x＋3}與E＝｛x|x≥2｝為同一集合．又如，集合F＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\｝(\a\vs4\al\co1(y＝\f（1,x)＋1))）)，它的代表元素是x,該集合中x滿足的條件是x≠0,所以該集合與G＝{y|y∈R且y≠0}為同一集合．再如，集合A＝｛x｜y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}與C＝{(x，y）|y＝x2＋1}不是相同的集合．這是因為集合A的代表元素是x，且x∈R；集合B的代表元素是y,且y≥1；集合C的代表元素是(x,y)，且(x，y)表示平面直角坐標系內(nèi)拋物線y＝x2＋1上的點，所以它們是互不相同的集合．還有｛三角形}實際上是{x|x是三角形｝的簡寫，千萬別理解成由三個漢字組成的集合，三角形的集合不要寫成{所有三角形｝，因為｛}本身就有“所有”的含義．所以說，用描述法表示的集合，要抓住元素進行分析,看清集合的代表元素應具有哪些特征性質(zhì)，從而準確理解和把握集合的內(nèi)涵，分析集合是由哪些元素所組成的，避免錯誤的發(fā)生．二、教材中的“思考與討論”1．哪些性質(zhì)可作為集合｛－1,1｝的特征性質(zhì)？剖析：集合{－1,1｝是只含有元素－1和1的集合．因此，能表示出元素－1，1的方程、式子等都可以作為它的特征性質(zhì)．如,x2＝1或｜x｜＝1或（x＋1)(x－1)＝0等，本題也說明了表達同一個集合的特征性質(zhì)并不是唯一的．2．平行四邊形的哪些性質(zhì)，可用來描述所有平行四邊形構(gòu)成的集合?剖析:在初中,我們學習了平行四邊形的判定定理，即平行四邊形所具有的特征性質(zhì)：有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．因此，平行四邊形ABCD的特征性質(zhì)可以寫成：AB∥CD且AD∥BC，或ABCD等．題型一用列舉法表示集合【例1】用列舉法表示下列集合：(1）{自然數(shù)中五個最小的完全平方數(shù)}；(2）｛x｜(x－1）2(x－2)＝0}；(3）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(（x,y）\b\lc\|\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x－y＝1））)））).分析:（1)首先明確自然數(shù)中完全平方數(shù)均為n2（n∈N）的形式；（2）1是方程的二重根,要考慮到集合元素的互異性;(3）方程組的解集是點集．反思：第（2)小題中1是方程的二重根，把方程（x－1）2·（x－2)＝0的解集寫成｛1,1，2｝是不對的,這是因為集合的元素是互異的．第（3)小題中集合的代表元素是(x，y)，故不能寫成{3,2｝，也不能寫成{x＝3，y＝2｝．實際上,集合｛（3，2)｝只有一個元素．題型二用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1）被3除余2的正整數(shù)的集合;（2)使eq\f(x－1,x2－3x＋2）有意義的實數(shù)x的集合；(3）平面直角坐標系內(nèi)，不在二、四象限的點的集合;(4）平面直角坐標系內(nèi),兩坐標軸上的點集．分析：（1）中x＝3k＋2(k∈N)可作為集合的一個特征性質(zhì)；(2)中要使表達式有意義，則x2－3x＋2≠0;（3)（4）中注意集合中的元素是點．反思：認識用特征性質(zhì)描述法表示的集合,一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素滿足什么特征．對符號語言所表達含義的理解在數(shù)學中的要求是很高的，要逐步提高對符號語言的認識．題型三列舉法和描述法的靈活運用【例3】選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1）x2－1的一次因式組成的集合；(2)“welcometoBeijing”中的所有字母組成的集合;（3)平面直角坐標系內(nèi)第一、三象限角平分線上的點的集合；(4)以A為圓心，r為半徑的圓上的所有點組成的集合．分析：(1）由于x2－1的一次因式為x＋1和x－1，故可以用列舉法表示為{x＋1,x－1}；（2）由于“welcometoBeijing"中包括的字母有w，e，l,c,o,m,t，B，i,j，n,g,共12個元素,故可以用列舉法表示為｛w，e，l，c，o，m，t,B,i，j，n，g｝；（3)第一、三象限角平分線對應直線y＝x；（4)對于以A為圓心，r為半徑的圓上的點都具有一個共同的特征:到圓心的距離都等于半徑,設點P為圓上的任意一點，故可以用描述法表示為{P｜｜PA｜＝r｝．反思：用列舉法與描述法表示集合時,一要明確集合中的元素;二要明確元素所滿足的特征性質(zhì)；三要根據(jù)元素個數(shù)來選擇恰當?shù)姆椒ū硎炯希}型四易錯辨析【例4】已知集合A＝｛x｜x＝2a，a∈Z｝，B＝｛x|x＝2a＋1,a∈Z}，C＝｛x|x＝4a＋1，a∈Z}．若m∈A，n∈B,A．m＋n∈AB．m＋n∈BC．m＋n∈CD．m＋n不屬于A，B，C中的任意一個錯解：C反思:在分析集合中元素的關(guān)系時，一定要注意各自的獨立性，并注意用不同的字母來區(qū)分，否則會引起錯誤．【例5】判斷命題eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N|\f（6,1＋x）∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(6,1＋x)∈Z|x∈N））的真假,并說明理由．錯解：此命題是真命題．理由如下：∵x與eq\f（6，1＋x)的范圍一致，∴題中命題是真命題．反思：化簡集合時一定要注意該集合的代表元素是什么，看清楚是數(shù)集、點集還是其他形式，還要注意充分利用特征性質(zhì)求解，兩者相互兼顧,缺一不可．1下列集合的表示方法正確的是(）A．{1,2，2}B．{全體實數(shù)｝C．{有理數(shù)}D．不等式x2－5＞0的解集為{x2－5＞0｝2方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝1，，x－y＝9））的解集是(）A．（5,4)B．｛5，－4｝C．{(－5，4)｝D．｛（5，－4)}3下列關(guān)系式中，正確的是（）A．｛2,3｝≠{3,2｝B．｛(a，b）}＝{（b，a）}C．{x|y＝x2＋1}＝{y｜y＝x＋1｝D．{y｜y＝x2＋1｝＝{x|y＝x＋1｝4用列舉法表示集合A＝{y｜y＝x2－1，－2≤x≤2，且x∈Z}是__________．5已知集合M＝{x｜（x－a)（x2－ax＋a－1)＝0｝中各元素之和等于3，則實數(shù)a的值為__________．6用描述法表示下列集合．(1）大于2的整數(shù)a的集合；（2)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2的交點的集合；（3）｛1，22,32，42,…｝；(4)eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(4,5)，0，\f（1,2）,\f(5,6），\f（2,3），\f（3,4))).答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．有限集花括號“｛}”【做一做1－1】｛0，2，4，6,8，10}【做一做1－2】{－1，2012}∵x2－2011x－2012＝（x＋1)·（x－2012）＝0，∴x＝－1或x＝2012.∴方程x2－2011x－2012＝0的解組成的集合為｛－1，2012}．2．具有不具有特征性質(zhì)｛x∈I｜p(x)｝描述法【做一做2－1】｛x∈N|x≤4｝【做一做2－2】D典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：（1）｛0,1,4，9,16｝；(2){1,2};（3）{（3,2)}．【例2】解：（1){x|x＝3k＋2，k∈N｝．（2）∵eq\f(x－1,x2－3x＋2）＝eq\f（x－1,（x－1）(x－2)）有意義,∴實數(shù)x的集合為{x|x≠1，且x≠2，x∈R}．(3）｛(x,y)｜xy≥0，x∈R,y∈R}．(4）｛（x，y)|xy＝0}．【例3】解:(1){x＋1,x－1｝；(2)｛w，e，l,c,o，m,t,B,i，j，n，g}；（3){(x，y）|y＝x，x∈R，y∈R}；（4)設點P為所求的圓上的任意一點，則｛P|｜PA|＝r}．【例4】錯因分析：不能正確利用集合中元素的特征性質(zhì)，認為三個集合中的a是一致的，從而由m∈A，得m＝2a，a∈Z。由n∈B,得n＝2a＋1,a∈Z。所以得到m＋n＝4a＋1，a∈Z。進而錯誤判斷m＋n∈C.而實際上，三個集合中的a是不一致的．應由m∈A，設m＝2a1，a1∈Z.由n∈B,設n＝2a2＋1，a2∈Z.所以得到m＋n＝2(a1＋a2）＋1,且a1＋a2∈Z,所以m＋n∈B，故正確答案為B.正解：B【例5】錯因分析:誤認為兩集合的代表元素一樣，而導致錯誤，實際上eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x∈N｜\f(6，1＋x)∈Z))的代表元素是x，而eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（6，1＋x)∈Z｜x∈N））的代表元素是eq\f（6,1＋x),因而構(gòu)成兩集合的元素不同．正解：此命題是假命題．理由如下：∵x∈N，且eq\f(6，1＋x）∈Z，∴1＋x＝1，2，3，6?！鄕＝0,1,2，5.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N|\f（6，1＋x）∈Z）)＝{0，1，2，5｝．而eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f（6,1＋x)∈Z|x∈N）)＝｛6,3,2，1｝，∴題中命題是假命題．隨堂練習·鞏固1．C2．Deq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（(x,y)|\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝1,x－y＝9)))）＝｛（5，－4)｝．一定要注意解集是點集．3．C選項A中，{2,3｝＝｛3，2｝，集合元素具有無序性；選項B中，集合中的點不同，故集合不同；選項C中，｛x｜y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1｝＝R；選項D中，{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1｝,而｛x|y＝x＋1｝＝R，所以兩集合不是同一個集合．故選C.4．{－1,0,3}∵x＝－2，－1,0,1,2，∴對應的函數(shù)值y＝3,0，－1,0，3，∴集合A用列舉法表示為{－1，0,3}．5．2或eq\f(3,2)根據(jù)集合中元素的互異性，當方程（x－a）·（x2－ax＋a－1）＝0有重根時，重根只能算作集合的一個元素，M＝{x|(x－a)(x－1)［x－（a－1)]＝0}．（1)當a＝1時，M＝｛1，0}，不符合題意；(2)當a－1＝1，即a＝2時,M＝｛1，2}，符合題意；(3)當a≠1，且a≠2時，a＋1＋a－1＝3，則a＝eq\f(3,