解析幾何教程+廖華奎王寶富+課后習(xí)題

...wd......wd......wd...第一章向量代數(shù)習(xí)題1.1試證向量加法的結(jié)合律，即對(duì)任意向量成立證明：作向量〔如以以以下圖〕，則故設(shè)兩兩不共線，試證順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是證明：必要性，設(shè)的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形，則充分性，作向量，由于所以點(diǎn)與重合，即三向量的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形。試證三角形的三中線可以構(gòu)成一個(gè)三角形。證明：設(shè)三角形三邊的中點(diǎn)分別是〔如以以以下圖〕，并且記，則根據(jù)書(shū)中例1.1.1，三條中線表示的向量分別是所以，故由上題結(jié)論得三角形的三中線可以構(gòu)成一個(gè)三角形。用向量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長(zhǎng)度和的一半。證明：如以以以下圖，梯形兩腰中點(diǎn)分別為，記向量，則而向量與共線且同向，所以存在實(shí)數(shù)使得現(xiàn)在由于是的中點(diǎn)，所以且故梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長(zhǎng)度和的一半。試證命題1.1.2。證明：必要性，設(shè)共面，如果其中有兩個(gè)是共線的，比方是，則線性相關(guān)，從而線性相關(guān)?，F(xiàn)在設(shè)兩兩不共線，則向量可以在兩個(gè)向量上的進(jìn)展分解，即作以為對(duì)角線，鄰邊平行于的平行四邊形，則存在實(shí)數(shù)使得，因而線性相關(guān)。充分性，設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使得。不妨設(shè)，則向量可以表示為向量的線性組合，因此由向量加法的平行四邊形法則知道向量平行于由向量決定的平面，故共面。設(shè)是不共線的三點(diǎn)，它們決定一平面，則點(diǎn)在上的充要條件是存在唯一的數(shù)組使得其中，是任意一點(diǎn)。在內(nèi)的充要條件是(*)與同時(shí)成立。證明：必要性，作如下示意圖，連接并延長(zhǎng)交直線于。則由三點(diǎn)共線，存在唯一的數(shù)組使得，并且。由三點(diǎn)共線，存在唯一的數(shù)組使得，并且。于是，設(shè)由，的唯一性知道的唯一性，則且。充分性，由條件有,得到，因而向量共面，即在決定的平面上。如果在內(nèi)，則在線段內(nèi)，在線段內(nèi)，于是，則。如果〔*〕成立且，則有，這說(shuō)明點(diǎn)在角內(nèi)。同樣可得到，這說(shuō)明點(diǎn)在角內(nèi)。故在內(nèi)。在中，點(diǎn)分別在邊與上，且與交于，試證證明：作如下示意圖，由三點(diǎn)共線，存在使得，由三點(diǎn)共線，存在使得，由于有因而。由于向量不共線，所以，解此方程組得。由此得，。同理得到。故得用向量法證明的三條中線交于一點(diǎn)，并且對(duì)任意一點(diǎn)有證明：設(shè)分別是邊的中點(diǎn)，則交于一點(diǎn)，連接。由三點(diǎn)共線，存在使，由三點(diǎn)共線，存在使，于是得，解得。從而有，然而，故，即三點(diǎn)共線，的三條中線交于一點(diǎn)。任取一點(diǎn)，由，得到，于是9.用向量法證明四面體的對(duì)棱中點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，且對(duì)任意一點(diǎn)有證明：設(shè)四面體的棱的中點(diǎn)分別是，棱的中點(diǎn)分別是，如以以以下圖。則對(duì)棱中點(diǎn)連線為。則容易知道，，因此四邊形是平行四邊形，相交且交點(diǎn)是各線段的中點(diǎn)。同理也相交于各線段的中點(diǎn)，故交于一點(diǎn)。由以上結(jié)論知道，對(duì)任意一點(diǎn)，由是的中點(diǎn)，有，即10.設(shè)是正邊形的頂點(diǎn)，是它的中心，試證證明：設(shè)，將正邊形繞著中心旋轉(zhuǎn)。一方面向量繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了角度而得到一個(gè)新的向量；另一方面，正邊形繞著中心旋轉(zhuǎn)后與原正邊形重合，因而向量沒(méi)有變化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故證法2：由于是正邊形的頂點(diǎn)，是它的中心，所以，其中。由三角不等式得到，故有。所以，由于，所以11.試證：三點(diǎn)共線的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)使得且其中，是任意取定的一點(diǎn)。證明：必要性，如果三點(diǎn)中至少有兩點(diǎn)重合，比方重合，則，所以結(jié)論成立。如果互不重合，由例1.1.1知道三點(diǎn)共線的充要條件是存在數(shù)使得，令，則不全為零，有，。充分性，設(shè)且，則，，由于不全為零，以及點(diǎn)的任意性，可知不全為零，否則也為零。所以不妨設(shè)，則，因而三點(diǎn)共線。習(xí)題1.2給定直角坐標(biāo)系，設(shè)，求分別關(guān)于平面，軸與原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：在直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)關(guān)于平面，軸與原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，。設(shè)平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，設(shè)在仿射標(biāo)架下，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)。解：作如下示意圖，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以=故在仿射標(biāo)架下，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以向量在仿射標(biāo)架下的坐標(biāo)為3.設(shè)，求以下向量的坐標(biāo)：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕〔2〕4.判斷以下各組的三個(gè)向量是否共面能否將表示成的線性組合假設(shè)能表示，則寫(xiě)出表示式?！?〕〔2〕〔3〕解：〔1〕設(shè)即則有該方程組只有零解所以三向量不共面?！?〕設(shè)即則有該方程組等價(jià)于由此得到只要不為零，就不為零，所以三向量共面。取，則所以即可表示成的線性組合。〔3〕設(shè)即則有該方程組等價(jià)于方程組有非零解〔2，1，0〕，所以三向量共面。由于只能為零，故不能表示成的線性組合。5.在中，設(shè)是邊的三等分點(diǎn)，試用和表出與。6.設(shè)在一平面上取一個(gè)仿射標(biāo)架，上三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)證明：三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)，即展開(kāi)得展開(kāi)行列式得故命題成立。7.在中，設(shè)分別是直線上的點(diǎn)，并且證明共線當(dāng)且僅當(dāng)證明：作如下示意圖，由于分別是直線上的定比分點(diǎn)，所以。建仿射標(biāo)架，由于；；。所以在仿射標(biāo)架下的坐標(biāo)分別為。根據(jù)上題的結(jié)論，共線當(dāng)且僅當(dāng)展開(kāi)行列式即得到試證命題1.2.1。證明：取定標(biāo)架，設(shè)向量〔1〕〔2〕〔3〕。習(xí)題1.31.設(shè)，求。解：由，得，所以2.，求。解：3.與垂直，與垂直，求。解：因?yàn)榕c垂直，與垂直，所以得到于是故4.證明：對(duì)任意向量都有當(dāng)與不共線時(shí)，說(shuō)明此等式的幾何意義。證明：當(dāng)與不共線時(shí)，此等式的幾何意義是以與為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和。5.以下等式是否正確說(shuō)明理由〔習(xí)慣上把記為〕。(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：〔1〕錯(cuò)誤，因?yàn)樽筮叡硎鞠蛄浚疫吺菙?shù)?！?〕正確，因?yàn)??！?〕錯(cuò)誤，因?yàn)樽筮呄蛄颗c共線，而右邊向量與共線。〔4〕錯(cuò)誤，因?yàn)?。?〕錯(cuò)誤，因?yàn)樽筮呄蛄颗c共線，而右邊向量與共線?！?〕錯(cuò)誤，因?yàn)榕c垂直。6.證明：三角形的垂直平分線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等。證明：設(shè)三角形的兩條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，以為始點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量記為。則，由于是的垂直平分線，所以由此得到說(shuō)明是的垂直平分線，即三角形的垂直平分線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等。7.證明：設(shè)不共面，如果向量滿(mǎn)足則。證明：因?yàn)椴还裁?，所以可設(shè)。則故。8.用幾何方法證明：假設(shè)都是實(shí)數(shù)，則有等號(hào)成立的充分必要條件是且分別同號(hào)。證明：設(shè)在直角坐標(biāo)系下，向量則由三角不等式得，并且等號(hào)成立的條件是向量同向，將坐標(biāo)代入就有等號(hào)成立的充分必要條件是且分別同號(hào)。習(xí)題1.41.設(shè)表示向量在與向量垂直的平面上的投影，則有。證明：由于表示向量在與向量垂直的平面上的投影〔如以以以下圖〕，則由構(gòu)成的平行四邊形的面積與構(gòu)成的矩形的面積相等，的方向一樣，因而，。2.證明：。證明：，故。3.證明：假設(shè)，,則與共線。證明：，故與共線。4.證明：,并說(shuō)明其幾何意義。證明：以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線構(gòu)成的平行四邊形的面積等于為鄰邊的平行四邊形的面積的2倍。5.在直角坐標(biāo)系中，，求與都垂直，且滿(mǎn)足如下條件之一的向量：〔1〕為單位向量；〔2〕，其中。解：因?yàn)橄蛄颗c都垂直，所以可設(shè)，而?！?〕因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以，即故?！?〕由，，得于是。6.用向量法證明：〔1〕三角形的正弦定理；〔2〕三角形面積的海倫(Heron)公式，式中，為三角形的面積，其中為三角形三邊的長(zhǎng)。證明：〔1〕設(shè)角對(duì)應(yīng)邊表示的向量為，由向量外積的模的幾何意義知道，于是，故?！?〕。7.證明Jacobi恒等式。證明：由雙重外積公式。8.設(shè)，求滿(mǎn)足方程的點(diǎn)的軌跡。解：由外積的定義及外積模的幾何意義，點(diǎn)的軌跡在與垂直的平面上，且與過(guò)點(diǎn)平行于的直線的距離為的直線，而且保持右手系。習(xí)題1.51.證明：。證明：如果共面，則。如果不共面，則，符合一樣的右手或左手規(guī)則，因而有一樣的符號(hào)，故。2.證明：不共面當(dāng)且僅當(dāng)不共面。證明：因?yàn)?，所以。故不共面?dāng)且僅當(dāng)不共面。3.在右手直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)為，，求它的體積。解：因?yàn)樗运拿骟w的體積4.證明Lagrange恒等式。證明：。5.證明：。證明：因?yàn)椋浴?.證明：。證明：左邊=右邊。7.證明：對(duì)任意四個(gè)向量有。證明：因?yàn)?，同理所以?.證明：假設(shè)與不共線，則與不共線。證明：因?yàn)榕c不共線，所以由于，因而與不共線。9.都是非零實(shí)數(shù)，向量的混合積，如果向量滿(mǎn)足，求此向量。解：由條件得到，而且，因此可設(shè)，現(xiàn)在兩邊分別與作內(nèi)積，則有，，故。10.設(shè)不共面，證明：任一向量可以表示成。證明：因?yàn)椴还裁?，所以任一向量可以表示成。兩邊分別與向量作內(nèi)積，得到因而。11.設(shè)不共面，設(shè)向量滿(mǎn)足，那么有。證明：因?yàn)椴还裁?，所以不共面，從而可設(shè)，兩邊分別與作內(nèi)積，則有，于是。第二章直線與平面習(xí)題2.11.求通過(guò)兩點(diǎn)和的直線方程。解：直線的方向向量為，所以直線的方程為2.在給定的仿射坐標(biāo)系中，求以下平面的普通方程和參數(shù)方程?！?〕過(guò)點(diǎn)；〔2〕過(guò)點(diǎn)和軸；〔3〕過(guò)點(diǎn)和，平行于軸；〔4〕過(guò)點(diǎn)，平行于平面。解：〔1〕平面的方位向量為，所以平面的參數(shù)方程平面的普通方程為即〔2〕平面的方位向量為，所以平面的參數(shù)方程因?yàn)檫^(guò)軸，所以也可選經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為，那么參數(shù)方程也可以寫(xiě)為平面的普通方程為即〔3〕平面的方位向量為，所以平面的參數(shù)方程平面的普通方程為即〔4〕平面的方位向量平行于平面，方位向量滿(mǎn)足，因此可以選為。所以平面的參數(shù)方程平面的普通方程為即3.在直角坐標(biāo)系中，求通過(guò)點(diǎn)并與平面和均垂直的平面方程。解：平面的法向量分別是，所求平面與均垂直，所以它的法向量與均垂直，因此平面的方程為即4.在直角坐標(biāo)系中，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，垂直于平面的平面方程。解：設(shè)平面的法向量為，則它與垂直，它又與平面的法向量，故所以所求平面的方程為即5.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的方程為，其中。設(shè)此平面與三坐標(biāo)軸分別交于，求三角形的面積和四面體的體積。解：由于，所以平面的三個(gè)截距分別為。因此四面體的體積為三角形的面積而所以6.設(shè)平面與連接兩點(diǎn)和的線段相交于點(diǎn)，且，證明。證明：因?yàn)?，所以由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)將它們代入平面方程中得整理即得。習(xí)題2.21.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且通過(guò)兩平面與的交線的平面方程。解：經(jīng)過(guò)交線的平面束方程為，其中不全為零。所求平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將它代入上式得到，可以取，因此平面的方程為2.判斷以下各對(duì)平面的相關(guān)位置?！?〕與；〔2〕與；〔3〕與。解：〔1〕平面的法向量分別是，它們不共線，所以?xún)善矫嫦嘟??！?〕兩平面的系數(shù)之比的關(guān)系為，所以?xún)善矫嬷睾??！?〕第二個(gè)平面的方程化為，所以?xún)善矫娴南禂?shù)之比的關(guān)系為，所以?xún)善矫嫫叫小?.將以下直線的普通方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。〔1〕〔2〕解：〔1〕方程可寫(xiě)成所以標(biāo)準(zhǔn)方程為〔2〕標(biāo)準(zhǔn)方程為4.求通過(guò)點(diǎn)且與兩平面均平行的直線方程。解：直線的方向向量與兩平面均平行，所以得到于是直線的方程為5.判斷以下各對(duì)直線的位置?！?〕；〔2〕解：〔1〕直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方向向量是，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方向向量是?；旌戏e所以?xún)芍本€異面?！?〕直線方程可分別化為經(jīng)過(guò)的點(diǎn)分別是方向向量分別是混合積且所以?xún)芍本€異面且互相垂直。6.求直線與平面的交點(diǎn)。解：將直線方程代人平面方程得到所以，故交點(diǎn)為。7.求通過(guò)直線且與直線平行的平面方程。解：通過(guò)直線的平面方程可設(shè)為，由于平面與直線平行，所以，即，故平面方程為。8.在直角坐標(biāo)系中，求直線在平面上的垂直投影直線的方程。解：垂直投影直線在過(guò)直線且垂直于平面的平面中，平面的方程為所以垂直投影直線方程是9.在仿射坐標(biāo)系中，求過(guò)直線且在軸和軸上有一樣的非零截距的平面方程。解：通過(guò)直線的平面方程可設(shè)為，由于平面在軸和軸上有一樣的非零截距，所以，即，故平面方程為10.在中，設(shè)分別是直線上的點(diǎn)，并且。證明三線共點(diǎn)的充要條件是。證明：取仿射標(biāo)架，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別是直線的方程分別為三線共點(diǎn)的充要條件是的交點(diǎn)在直線上。的交點(diǎn)為，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代人直線的方程中化簡(jiǎn)得到。11.用坐標(biāo)法證明契維定理：假設(shè)三角形的三邊依次分割成，其中均為正實(shí)數(shù)，則此三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊分點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。證明：由于，由上題的結(jié)論知道三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊分點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。12.證明：如果直線與直線交于一點(diǎn)，那么。證明：由于兩直線交于一點(diǎn)，所以方程組有解，則齊次方程組有解，由齊次線性方程組有解的條件得到。13.在直角坐標(biāo)系中，給定點(diǎn)和，直線，設(shè)各為在上的垂足，求以及的坐標(biāo)。解：為向量在直線的方向向量的方向上的分量，故過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的平面，它的方程為，過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的平面，它的方程為，將直線的參數(shù)方程分別代人，方程中，得所以14.求與三直線都相交的直線所產(chǎn)生的曲面的方程。解：與三直線都相交的直線設(shè)為，交點(diǎn)可設(shè)為，由于三點(diǎn)共線，所以，即有。直線的方程，即消去得到直線構(gòu)成的曲面方程15.證明：包含直線，且平行于直線的平面方程為。假設(shè)是之間的距離，證明。證明：包含直線的平面方程可設(shè)為，它的法向量為，它又與直線平行，此直線的方向向量是，所以，得到，于是平面方程為。直線的方向向量是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以?xún)芍本€的距離為，，因此，，故。習(xí)題2.31.在直角坐標(biāo)系下，求以下直線方程?！?〕過(guò)點(diǎn)且垂直于平面；〔2〕過(guò)點(diǎn)且與三坐標(biāo)軸夾角相等。解：〔1〕直線的方向向量是平面的法向量，所以直線的方程為〔2〕設(shè)直線的方向向量是，由于直線與三坐標(biāo)軸的夾角相等，所以于是。因此直線有4條，方程為，，，。2.在直角坐標(biāo)系中，求平面與面的夾角。解：平面的法向量為，面的法向量為，所以?shī)A角的余弦為，夾角為或3.求到兩個(gè)給定平面的距離成定比的點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)點(diǎn)到兩平面的距離之比為。如果兩平面平行，則選直角坐標(biāo)系使得其中一個(gè)平面為面，另一個(gè)平面的方程為，于是，當(dāng)時(shí)，得。當(dāng)時(shí)，得如果兩平面相交，則選兩平面的角平分面為兩坐標(biāo)面和，則兩平面的方程可設(shè)為，于是即4.證明：空間中滿(mǎn)足條件的點(diǎn)位于中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且頂點(diǎn)與中心距離為的八面體的內(nèi)部。證明：條件等價(jià)于八個(gè)不等式：，這些點(diǎn)對(duì)于平面來(lái)說(shuō)都在負(fù)側(cè)，即包含原點(diǎn)的那一側(cè)。故它們位于由八個(gè)平面構(gòu)成頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且頂點(diǎn)與中心距離為的八面體的內(nèi)部。5.在仿射坐標(biāo)系中，設(shè)，都不在平面上，且。證明：與在平面的同側(cè)的充分必要條件是與同號(hào)。證明：〔1〕與平面平行的充要條件是即與同號(hào)?！?〕如果與平面不平行，則設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，且。因而與在平面的同側(cè)的充分必要條件是。因?yàn)椋耘c同號(hào)。6.在直角坐標(biāo)系中，求與平面平行且與它的距離為的平面方程。解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則因而所求平面的方程為7.求點(diǎn)到直線的距離。解：直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方向向量為，則，點(diǎn)到直線的距離為8.求以下各對(duì)直線之間的距離?！?〕〔2〕〔3〕解：〔1〕兩直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量分別是，因此兩直線平行，它們的距離為一直線的某點(diǎn)到另一直線的距離，所以，它們的距離為〔2〕兩直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量分別是，，所以它們異面，它們的距離為〔3〕兩直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可寫(xiě)為兩直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量分別是，不平行，，所以它們相交，它們的距離為0。9.求以下各對(duì)直線的公垂線的方程?！?〕與〔3〕與解：〔1〕兩直線的方向向量是，所以公垂線的方向向量為。公垂線在過(guò)直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是。公垂線又在過(guò)直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是，因此公垂線的方程是〔2〕兩直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可為，，所以公垂線的方向向量為。公垂線在過(guò)直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是。公垂線又在過(guò)直線，且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是，因此公垂線的方程是10.求以下各對(duì)直線的夾角?！?〕〔2〕解：〔1〕兩直線的方向向量是，所以?shī)A角滿(mǎn)足因此夾角為。〔2〕兩直線的方向向量是，所以?shī)A角滿(mǎn)足因此夾角為或11.求以下直線與平面的夾角?！?〕〔2〕解：〔1〕直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以?shī)A角滿(mǎn)足因此夾角〔2〕直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以?shī)A角滿(mǎn)足因此夾角12.兩條異面直線與，證明：連接上任一點(diǎn)和上任一點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是公垂線段的垂直平分面。證明：以公垂線為軸，過(guò)公垂線段的中點(diǎn)與公垂線垂直的平面為面，兩異面直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系。則兩異面直線的方程可設(shè)為與其中是兩直線的距離，?，F(xiàn)在從兩直線上分別任取一點(diǎn)，則它們的中點(diǎn)滿(mǎn)足，這是公垂線段的垂直平分面的參數(shù)方程，所以中點(diǎn)軌跡是公垂線段的垂直平分面。13.設(shè)在直角坐標(biāo)系中，平面與的方程分別為和求由與構(gòu)成的二面角的角平分面的方程，在此二面角內(nèi)有點(diǎn)。解：角平分面上的點(diǎn)到兩平面的距離相等，所以，由于該二面角內(nèi)有點(diǎn)，且，所以在的負(fù)側(cè)，在的正側(cè)，因此角平分面上的點(diǎn)在的負(fù)側(cè)，在的正側(cè)，或在的正側(cè)，在的負(fù)側(cè)，所以角平分面上的點(diǎn)滿(mǎn)足，整理得到14.證明：兩異面直線，的公垂線段的長(zhǎng)度就是，之間的距離。證明：以公垂線為軸，過(guò)公垂線段的中點(diǎn)與公垂線垂直的平面為面，兩異面直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系。則兩異面直線的方程可設(shè)為與其中是兩直線的距離即公垂線段的長(zhǎng)度，?，F(xiàn)在從兩直線上分別任取一點(diǎn)，兩點(diǎn)距離為即公垂線段的長(zhǎng)度是最小的，因此兩異面直線，的公垂線段的長(zhǎng)度就是，之間的距離。第三章常見(jiàn)曲面習(xí)題3.11.證明：如果，那么由方程給出的曲面是一球面，求出它的球心坐標(biāo)和半徑。證明：將方程配方得，由，得到方程表示球心是，半徑為的球面。2.求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程。解：空間中的圓可由過(guò)三點(diǎn)的一個(gè)球面和一個(gè)平面的交線表示，設(shè)過(guò)該三點(diǎn)的球面方程為，得到球面方程為，其中任意。過(guò)該三點(diǎn)的平面方程是，所以所求圓的方程可以為其中任意。3.證明曲線在一球面上，并此球面方程。證明：因?yàn)榍€滿(mǎn)足即，所以曲線在一個(gè)球面上。4.適中選取坐標(biāo)系，求以下軌跡的方程〔1〕到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；〔2〕到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；〔3〕到定平面和定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡。解〔1〕選直角坐標(biāo)系使得定點(diǎn)坐標(biāo)為。設(shè)定比常數(shù)為。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)有，當(dāng)時(shí)，軌跡為平面。當(dāng)時(shí)，軌跡為球面。〔2〕選直角坐標(biāo)系使得定點(diǎn)坐標(biāo)為。設(shè)常數(shù)為。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)有〔3〕選直角坐標(biāo)系使得定點(diǎn)坐標(biāo)為定平面為。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)有5.曲面在柱面坐標(biāo)系下的方程為，求的直角坐標(biāo)方程。解：將柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系代入方程得到6.曲面的直角坐標(biāo)方程為，試求其球面坐標(biāo)方程。解：將球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系代入方程得到即習(xí)題3.21.求半徑為1，對(duì)稱(chēng)軸為的圓柱面方程。解：圓柱面上的點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離是常數(shù)1，所以，即有2.與圓柱面的三條母線為求這個(gè)圓柱面的方程。解：先求對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)到三母線的距離相等，所以，化簡(jiǎn)整理得對(duì)稱(chēng)軸的方程：。圓柱面上的點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離等于對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)到母線的距離，所以，即展開(kāi)得到圓柱面方程3.求母線方向?yàn)?，?zhǔn)線為的柱面方程。解：柱面上的點(diǎn)一定在經(jīng)過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)的母線上，所以消去得到柱面方程：4.圓柱面的對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)在此圓柱面上，求此圓柱面的方程。解：圓柱面上的點(diǎn)與點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等，所以，展開(kāi)整理得5.求準(zhǔn)線為的圓柱面方程。解：因?yàn)闇?zhǔn)線是橢圓，所以圓柱面的對(duì)稱(chēng)軸一定過(guò)橢圓的中心，母線方向不可能平行于坐標(biāo)面，可設(shè)為。在準(zhǔn)線上取三點(diǎn)它們到對(duì)稱(chēng)軸的距離都等于圓柱面的半徑，于是，得化簡(jiǎn)有顯然所以。因而圓柱面有兩個(gè)，即6.求以軸為對(duì)稱(chēng)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，半頂角為的圓錐面方程。解：因?yàn)閳A錐面以軸為對(duì)稱(chēng)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，半頂角為，所以圓錐面非常為即7.求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面方程。解：錐面上的點(diǎn)一定在經(jīng)過(guò)準(zhǔn)線上某點(diǎn)的母線上，所以因此得到錐面方程8.求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，包含三條坐標(biāo)軸的圓錐面方程。解：設(shè)圓錐面的對(duì)稱(chēng)軸的方向向量為，依照題意對(duì)稱(chēng)軸的方向向量與三坐標(biāo)軸的坐標(biāo)向量的夾角的余弦的絕對(duì)值相等，所以有即，對(duì)稱(chēng)軸的方向向量為。因此圓錐面上的點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)得即有四個(gè)圓錐面。9.求頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的錐面方程。解：錐面上的點(diǎn)一定在經(jīng)過(guò)準(zhǔn)線上某點(diǎn)的母線上，所以因此得到錐面方程10.證明：母線方向?yàn)椋c球面外切的柱面方程為。證明：依照題意知柱面是半徑為1的圓柱面，對(duì)稱(chēng)軸為所以柱面上的點(diǎn)滿(mǎn)足，由公式得到，故柱面方程為。11.過(guò)軸和軸分別作動(dòng)平面，交角為常數(shù)，求交線的軌跡方程，并且證明它是一個(gè)錐面。解：過(guò)軸和軸的動(dòng)平面方程可設(shè)為它們的交線是由于兩平面的交角是常數(shù)，所以，交線方程中的系數(shù)按此關(guān)系消去得到軌跡方程：，該方程明顯是4次齊次方程，所以是錐面。12.證明：以為頂點(diǎn)的錐面方程是關(guān)于的齊次方程。證明：我們知道頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面方程是關(guān)于的齊次方程，所以將坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到，新坐標(biāo)系的坐標(biāo)用，則，故錐面方程是關(guān)于的齊次方程，即關(guān)于的齊次方程。13.求以下曲線向各坐標(biāo)面投影的投影柱面方程，和在各坐標(biāo)面上的投影曲線，并作出曲線的簡(jiǎn)圖：〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲線是在方程組中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲線是在方程組中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲線是〔2〕在方程組中分別消去得到向面投影的投影柱面方程分別是在面上的投影曲線方程分別是〔3〕在方程組中分別消去得到向面投影的投影柱面方程分別是。在面上的投影曲線方程分別是14.設(shè)柱面的準(zhǔn)線的參數(shù)方程為，母線方向?yàn)椋笾娴膮?shù)方程。解：柱面上的點(diǎn)在過(guò)準(zhǔn)線上點(diǎn)的母線上，所以柱面的方程為這就是柱面的參數(shù)方程。習(xí)題3.31.求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程。解：點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)面上當(dāng)且僅當(dāng)它是曲線上點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而來(lái)：消去得到旋轉(zhuǎn)面的方程：，由于曲線只是的一局部，所以旋轉(zhuǎn)面也是一局部：，。2.求直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的曲面的方程。解：設(shè)曲面上的點(diǎn)是直線上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)來(lái)的，則消去得到：整理得旋轉(zhuǎn)面的方程：3.求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面的參數(shù)方程。解：設(shè)曲面上的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)〔對(duì)應(yīng)的參數(shù)為〕旋轉(zhuǎn)來(lái)的，則所以曲面的參數(shù)方程可寫(xiě)為：4.證明：表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)面，并求它的母線和轉(zhuǎn)軸。證明：方程的形式可改寫(xiě)為，發(fā)現(xiàn)以曲線或?yàn)槟妇€，軸為旋轉(zhuǎn)軸，就可得到曲面的方程。習(xí)題3.41.一個(gè)橢球面以三個(gè)坐標(biāo)面為對(duì)稱(chēng)平面，并且經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，求其方程。解：設(shè)橢球面的方程為，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到解得所以橢球面的方程為。2.求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸為對(duì)稱(chēng)軸，并通過(guò)兩點(diǎn)的拋物面的方程。解：設(shè)拋物面的方程為將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代人得到，解得，所以拋物面的方程為3.求通過(guò)兩條拋物線和的二次曲面方程。解：設(shè)二次曲面方程為一般方程：由于曲面通過(guò)兩條拋物線，所以將分別代人方程中得到兩條拋物線與給的拋物線方程進(jìn)展對(duì)比得到所以曲面的方程為，其中不全為0。當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程可化為，其中為任意常數(shù)。4.給定方程問(wèn)當(dāng)取異于的各種實(shí)數(shù)值時(shí)，它表示若何的曲面解：由于，所以當(dāng)時(shí)，，方程表示橢球面；當(dāng)時(shí)，，方程表示單葉雙曲面；當(dāng)時(shí)，，方程表示雙葉雙曲面；當(dāng)時(shí)，，方程表示虛橢球面。5.適中選取坐標(biāo)系，求以下軌跡方程?！?〕到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；〔2〕到一定點(diǎn)和一個(gè)定平面〔定點(diǎn)不在定平面上〕距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；〔3〕設(shè)有一個(gè)定平面和垂直于它的一條定直線，求到定平面與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡；〔4〕求與兩給定直線等距離的點(diǎn)的軌跡，兩直線之間的距離為，夾角為。解：〔1〕選直角坐標(biāo)系使得定點(diǎn)坐標(biāo)為。設(shè)距離之差為。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)有〔2〕選直角坐標(biāo)系使得定點(diǎn)坐標(biāo)為定平面為，定比為。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)有〔3〕以定平面為面，定直線為軸建設(shè)直角坐標(biāo)系。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，于是動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為〔4〕設(shè)兩直線異面，以?xún)蓷l定直線的公垂線為軸，過(guò)公垂線段的中點(diǎn)與公垂線垂直的平面為面，兩直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸，建設(shè)直角坐標(biāo)系，使得兩直線的方向向量為，兩直線分別過(guò)點(diǎn)。所以動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，展開(kāi)得化簡(jiǎn)得。如果兩直線平行，即，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為平面。如果兩直線相交，則，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為兩相交平面：。6.設(shè)是橢球面上的一點(diǎn)，向量的方向余弦為，且，試證：證明：由題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，將它代入橢球面方程得到即有7.由橢球面的中心引三條互相垂直的射線，與橢球面分別交于，設(shè)，試證：證明：設(shè)三向量的方向余弦為，由上題結(jié)論有由于三向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，所以矩陣為正交矩陣，因而從而得?.求與橢圓拋物面的交線為圓的平面。解：因?yàn)闄E圓拋物面開(kāi)口朝軸方向，交線為圓，所以平面的法向量不會(huì)平行于坐標(biāo)面，可設(shè)所求平面為。由于空間的圓一定是某球面與平面的交線，所以該圓可設(shè)為球面與平面的交線。交線向坐標(biāo)面的投影柱面是一樣的，而它們的方程分別為對(duì)比它們的系數(shù)得到，于是平面方程：。該平面要與橢圓拋物面相交，將平面方程代人橢圓拋物面方程中得該方程有解，經(jīng)配方得到滿(mǎn)足：習(xí)題3.51.求單葉雙曲面上過(guò)點(diǎn)的直母線。解：?jiǎn)稳~雙曲面的直母線族為及將點(diǎn)代入直母線族的方程中，得到(I)的參數(shù)為v=0，(II)的參數(shù)為,所以過(guò)點(diǎn)的直母線為，2.求直線族所形成的直紋面方程。解：直線族改寫(xiě)為消去參數(shù)得到直紋面方程。3.求與以下三直線同時(shí)共面的直線所產(chǎn)生的曲面，解：依題意，所求直線應(yīng)同時(shí)在過(guò)的平面束中，即該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方向向量為。由于與共面，所以，化簡(jiǎn)得到。將直線的方程中的參數(shù)依此關(guān)系消去，得到動(dòng)直線產(chǎn)生的曲面方程。4.證明單葉雙曲面的同族中的任意兩條直母線異面；異族中的任意兩條直母線共面。證明：設(shè)單葉雙曲面的方程為直母線族為及〔1〕在(I)中任取兩條直母線，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量是，，顯然兩方向不共線，計(jì)算混合積所以(I)中任意兩條直母線異面。同理可得(II)中任意兩條直母線也異面?！?〕在兩族直母線中分別任取一條，記為，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量是，。如果，由于它們經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，所以共面。如果，則計(jì)算混合積，所以共面。并且當(dāng)時(shí)，平行。5.設(shè)是馬鞍面，證明：〔1〕同族中的任意兩條直母線異面；〔2〕異族中的任意兩條直母線相交；〔3〕同族中的全體直母線平行于同一個(gè)平面。證明：設(shè)馬鞍面的方程為它的兩族直母線為及〔1〕在(I)族中任取兩條直母線，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量是，，顯然兩方向不共線，計(jì)算混合積所以(I)中任意兩條直母線異面。同理可得(II)中任意兩條直母線也異面?！?〕在兩族直母線中分別任取一條，記為，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，方向向量是，。顯然兩方向不共線，即它們不可能平行。計(jì)算混合積所以異族中的任意兩條直母線相交。〔3〕由于(I)中任意直母線的方向向量為它平行于平面，所以(I)中所有直母線平行于平面。由于(II)中任意直母線的方向向量為它平行于平面，所以(II)中所有直母線平行于平面。6.證明馬鞍面的正交直母線的交點(diǎn)在一條雙曲線上。證明：設(shè)馬鞍面的方程為由上一題的結(jié)論，馬鞍面的相交直母線一定是異族的，所以在(I)，(II)族中分別選直線使得它們正交：及(I)中直線的方向向量為(II)中直線的方向向量為由于它們正交，所以要得到正交直母線的交點(diǎn)的軌跡方程，只需在兩族直母線中的參數(shù)按上述關(guān)系消去即可，于是得到它表示平面上的一條雙曲線。7.平面與錐面的交線是兩條正交的直線，證明。證明：已給錐面方程變形為設(shè)比值為，得到錐面的直母線族：的方向向量為。因?yàn)樗笾蹦妇€在平面上，所以有即它的兩個(gè)解就是所求直母線的參數(shù)，它們滿(mǎn)足由于兩條直母線正交，所以將上述關(guān)系代入，得到即有。習(xí)題3.61.用不等式組表達(dá)由以下平面或曲面所圍成的空間區(qū)域，并作簡(jiǎn)圖?！?〕〔2〕〔在第卦限內(nèi)〕。解：〔1〕分別是圓柱面，兩平面，要使得它們圍成一個(gè)空間有界區(qū)域，應(yīng)該在圓柱面的內(nèi)部，平面的負(fù)側(cè)，平面的正側(cè)〔上側(cè)〕，所以用不等式組表示區(qū)域?yàn)椋骸?〕由于橢球面整個(gè)都在球面的內(nèi)部，所以它們?cè)诘谪韵迌?nèi)圍成的區(qū)域應(yīng)該在橢球面的外部，在球面的內(nèi)部，所以用不等式組表示區(qū)域?yàn)椋?.作出由不等式組所確定的空間區(qū)域簡(jiǎn)圖。二次曲線和二次曲面習(xí)題4.11.在直角坐標(biāo)系中，以直線為新坐標(biāo)系的軸，取通過(guò)且垂直于的直線為軸，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式，并且求直線在新坐標(biāo)系中的方程。解：直線的方向是，與它垂直的方向是，新坐標(biāo)系的軸的坐標(biāo)向量取為，軸坐標(biāo)向量取為，與直線垂直且的直線方程可設(shè)為，由于過(guò)點(diǎn)，得到直線方程是，兩直線的交點(diǎn)是新坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式：直線在新坐標(biāo)系中的方程：，化簡(jiǎn)有2.作直角坐標(biāo)變換，點(diǎn)的新坐標(biāo)分別為，求點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式。解：設(shè)同定向的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式是：它的向量的坐標(biāo)變換公式是：由題意知向量變?yōu)椋谑怯械玫接谑屈c(diǎn)的坐標(biāo)變換公式是：將點(diǎn)及它的像點(diǎn)代入得到所以點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式是：設(shè)反定向的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式是：它的向量的坐標(biāo)變換公式是：由題意知向量變?yōu)?，于是有得到于是點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式是：將點(diǎn)及它的像點(diǎn)代入得到所以點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式是：3.設(shè)新舊坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為其中，與分別表示同一點(diǎn)的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)，求新坐標(biāo)系的原點(diǎn)的舊坐標(biāo)，并且求坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角。解：〔1〕新坐標(biāo)系的原點(diǎn)的舊坐標(biāo)為代入公式中計(jì)算的結(jié)果，即。由點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式知道是同定向的，于是轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足由于，所以〔2〕與上一問(wèn)題同理，新坐標(biāo)系的原點(diǎn)的舊坐標(biāo)為。轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足由于，所以4.在右手直角坐標(biāo)系中，設(shè)兩直線互相垂直，取為右手直角坐標(biāo)系的軸，軸，試求到的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式。解：由于兩直線互相垂直，且為右手直角坐標(biāo)系的軸，軸，即在右手直角坐標(biāo)系下的方程為，所以當(dāng)時(shí)，到的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式：當(dāng)時(shí)，到的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式：5.設(shè)為四面體，依次是的三邊的中點(diǎn)，取，。〔1〕求到點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式和向量的坐標(biāo)變換公式，再到求點(diǎn)〔向量〕的坐標(biāo)變換公式?！?〕求的坐標(biāo)。解：〔1〕依題意有所以到點(diǎn)的過(guò)渡矩陣是，到點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式到點(diǎn)的向量的坐標(biāo)變換公式其中分別是向量在仿射坐標(biāo)系和下的坐標(biāo)。由以上關(guān)系得到所以到點(diǎn)的過(guò)渡矩陣是，到點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式向量的坐標(biāo)變換公式一樣?！?〕的坐標(biāo)分別是，由到點(diǎn)和向量的坐標(biāo)變換公式得到的坐標(biāo)分別是。6.在右手直角坐標(biāo)系中，已給三個(gè)互相垂直的平面。確定新的坐標(biāo)系，使得分別為坐標(biāo)面，且在新坐標(biāo)系的第一卦限內(nèi)，求到的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式。解：由于三個(gè)平面分別為坐標(biāo)面，所以坐標(biāo)之間的關(guān)系可設(shè)為，又在新坐標(biāo)系的第一卦限內(nèi)，所以在新坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)都為正，于是，故到的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式7.在右手直角坐標(biāo)系中，方程表示什么曲面解：將方程進(jìn)展配方，，由于平面兩兩垂直，所以將它們分別作為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面，于是作坐標(biāo)變換：將它們代入方程得到因此該方程表示雙曲拋物面。8.，將繞右旋角度得，試用,,表示。解：如以以以下圖由于是單位向量，且所以繞右旋角度得到，三向量，，共面且有一樣的模長(zhǎng)，于是可表示為與的線性組合，即，分別與，作內(nèi)積，得到，故9.將右手直角坐標(biāo)系繞方向右旋，原點(diǎn)不動(dòng)，得坐標(biāo)系，求到的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式。解：先考慮一個(gè)向量繞另一個(gè)向量右旋得到的向量的表達(dá)式，過(guò)的終點(diǎn)作垂直于的向量，繞右旋得到的向量，的終點(diǎn)就是的終點(diǎn)，于是而，，所以由此表達(dá)式繞方向右旋得到，所以坐標(biāo)變換為。設(shè)與是兩條不垂直的異面直線，分別通過(guò)和作兩個(gè)互相垂直的平面，證明交線的軌跡是單葉雙曲面。解：設(shè)異面直線的距離為，夾角為，建直角坐標(biāo)系使得公垂線為軸，公垂線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩異面直線在坐標(biāo)面上的投影的兩角平分線為坐標(biāo)軸，則兩直線的方程可表示為通過(guò)和的平面束方程分別為：要使得兩平面垂直，則有即于是相交直線的軌跡滿(mǎn)足因而所以交線的軌跡是單葉雙曲面。習(xí)題4.31.利用不變量求以下曲面的簡(jiǎn)化方程：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解：〔1〕二次曲面的矩陣：計(jì)算不變量特征方程是即特征根為于是，簡(jiǎn)化方程為即〔2〕二次曲面的矩陣：計(jì)算不變量特征方程是即特征根為于是，簡(jiǎn)化方程為〔3〕二次曲面的矩陣：計(jì)算不變量特征方程是即特征根為于是，簡(jiǎn)化方程為〔4〕二次曲面的矩陣：計(jì)算不變量特征方程是特征根為于是，簡(jiǎn)化方程為〔5〕二次曲面的矩陣：計(jì)算不變量特征方程是即特征根為于是，簡(jiǎn)化方程為即2.證明：二次曲面為圓柱面的條件為。證明：用不變量表示的圓柱面的簡(jiǎn)化方程是，于是特征方程有兩個(gè)一樣的根，即有兩個(gè)一樣的根，因而3.求之值，使二次曲面表示二次錐面。解：二次錐面的不變量所以4.求出曲面方程的簡(jiǎn)化方程。解：設(shè)平面：兩平面的法向量為如果兩平面重合，則簡(jiǎn)化方程為，其中如果兩平面平行不重合，則共線，令于是所以簡(jiǎn)化方程為如果兩平面不平行，則以它們的角平分面為新坐標(biāo)面建設(shè)新坐標(biāo)系，單位法向量記為，因而角平分面的方程為它們的法向量分別是。前一個(gè)角平分面為面，后一個(gè)角平分面為面，因而令于是簡(jiǎn)化方程為5.證明：在直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次錐面有三條互相垂直的直母線的充分必要條件是。證明：必要性，因?yàn)槎五F面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且有三條互相垂直的直母線，所以選取該三條直母線為新坐標(biāo)系〔原點(diǎn)不變〕的坐標(biāo)軸，新坐標(biāo)系下的方程變?yōu)椋盒伦鴺?biāo)系下的點(diǎn)都在曲面上，應(yīng)滿(mǎn)足上述曲面的方程，因而得到，即不變量充分性，因?yàn)榍媸嵌五F面，所以可以選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系使曲面的方程是且不變量其上選點(diǎn)即一直母線的方向向量，則由向量確定的直母線與直母線垂直?，F(xiàn)在以這兩條直母線為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸軸，在此坐標(biāo)系下的點(diǎn)在曲面上，所以曲面的方程為，由此可見(jiàn)點(diǎn)也在曲面上，它決定的直母線與直母線、都垂直，故曲面上有三條互相垂直的直母線。習(xí)題4.41.求以下曲面的中心〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕曲面的中心滿(mǎn)足此方程組有唯一解，即為中心?！?〕曲面的中心滿(mǎn)足它等價(jià)于表示中心在該直線上?！?〕曲面的中心滿(mǎn)足等價(jià)于，表示中心在此平面上。2.判斷以下各二次曲面何者是中心曲面，何者是非中心曲面，并進(jìn)一步區(qū)分是線心曲面、面心曲面還是無(wú)心曲面?！?〕〔2〕〔3〕解：〔1〕曲面的矩陣，不變量曲面是中心曲面。〔2〕曲面的矩陣，不變量所以曲面是非中心曲面。曲面的中心滿(mǎn)足方程組等價(jià)于即中心在一個(gè)平面上，所以是面心曲面。〔3〕曲面的矩陣，不變量曲面是非中心曲面，曲面中心滿(mǎn)足方程組無(wú)解，所以曲面是無(wú)心曲面。3.求以下各二次曲面的漸近錐面：〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕曲面的不變量所以曲面是中心曲面，有漸近錐面，曲面的中心為原點(diǎn)，故漸近錐面方程為〔2〕曲面的中心滿(mǎn)足原點(diǎn)是它的唯一解，曲面是中心曲面，故漸近錐面方程為〔3〕曲面的不變量所以曲面是非中心曲面，因此沒(méi)有漸近錐面。習(xí)題4.51.求以下二次曲面的奇向〔1〕〔2〕解：〔1〕曲面的不變量所以曲面沒(méi)有奇向?！?〕曲面的不變量所以曲面有奇向，奇向滿(mǎn)足方程組等價(jià)于所以平行于平面的方向都是奇向。2.曲面，求與方向共軛的直徑面方程。解：曲面的矩陣，與方向共軛的直徑面方程，即。3.曲面，求過(guò)原點(diǎn)的直徑面。解：曲面的矩陣，則與方向共軛的直徑面是，因?yàn)榻?jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，即，代入直徑面的方程中得到由此得直徑面的方程4.求曲面的公共的直徑面。解：因?yàn)橛兄行牡那娴闹睆矫娑家?jīng)過(guò)中心，所以求出曲面的中心就可以解決問(wèn)題。與方向共軛的直徑面方程。的中心滿(mǎn)足方程組，即中心是，該中心應(yīng)該在直徑面上，所以，故公共的直徑面方程是5.求以下二次曲面的主方向與主徑面，并且求出直角坐標(biāo)變換，寫(xiě)出簡(jiǎn)化方程?！?〕〔2〕解：〔1〕曲面的矩陣，不變量特征方程是即特征根是簡(jiǎn)化方程是特征根的主方向滿(mǎn)足方程組得到主方向，對(duì)應(yīng)的主經(jīng)面是特征根的主方向滿(mǎn)足方程組得到主方向，對(duì)應(yīng)的主經(jīng)面是特征根的主方向滿(mǎn)足方程組得到主方向，對(duì)應(yīng)的主經(jīng)面是曲面的中心是，直角坐標(biāo)變換是〔2〕曲面的矩陣，不變量特征方程是即特征根是簡(jiǎn)化方程是特征根的主方向滿(mǎn)足方程組得到主方向，對(duì)應(yīng)的主經(jīng)面是特征根的主方向滿(mǎn)足方程組得到主方向，對(duì)應(yīng)的主經(jīng)面是特征根的主方向滿(mǎn)足方程組得到主方向，對(duì)應(yīng)的主經(jīng)面是曲面的中心是，直角坐標(biāo)變換是6.證明：過(guò)中心曲面的中心的任何平面都是直徑面。證明：設(shè)中心曲面的中心為原點(diǎn)，則過(guò)曲面的中心的平面方程為：。因?yàn)橹行那娴牟蛔兞浚耘c任何方向共軛的直徑面均存在，可設(shè)為。由于，所以方程組有唯一解，即存在與方向共軛的直徑面就是所給的平面。7.請(qǐng)寫(xiě)出二次曲線的弦、直徑、奇向、共軛方向、共軛直徑、對(duì)稱(chēng)軸、主軸與主方向的定義。解〔略〕8.證明定理。證明〔略〕9.證明定理。證明〔略〕10.求二次曲線的中心、主方向與主軸。解：二次曲線的中心滿(mǎn)足方程組：有唯一解，這就是中心。二次曲線的矩陣，不變量特征方程：，所以特征根是特征根對(duì)應(yīng)的主方向滿(mǎn)足：所以主方向?yàn)橄鄳?yīng)的主軸是即特征根對(duì)應(yīng)的主方向滿(mǎn)足：所以主方向?yàn)橄鄳?yīng)的主軸是即11.曲線的一條直徑與軸平行。求這條直徑的方程，并求出它的共軛直徑。解：曲線的矩陣是，不變量所以任何方向都有共軛的直徑：與軸平行的直徑應(yīng)滿(mǎn)足即，所以直徑方程是，直徑的方向是，與該直徑共軛的直徑是即通過(guò)兩點(diǎn)和的二次曲線，以?xún)芍本€為其一對(duì)共軛直徑，求的方程。解：因?yàn)榍€關(guān)于直徑在其共軛方向上具有對(duì)稱(chēng)性，所以如果以共軛直徑為仿射坐標(biāo)軸，則曲線的方程為，這相當(dāng)于用仿射坐標(biāo)變換的結(jié)果，因而曲線的方程可設(shè)為將點(diǎn)和代入上述方程，則有所以，故所求曲線的方程是習(xí)題4.61.寫(xiě)出以下二次曲面在點(diǎn)處的切平面和法線的方程：〔1〕，點(diǎn)〔2〕，點(diǎn)解：〔1〕點(diǎn)在曲面上，切平面方程是，即法線方程是〔2〕點(diǎn)不在曲面上，所以過(guò)點(diǎn)有曲面的切錐，切錐方程是即2.在曲面上求一點(diǎn)，使曲面在該點(diǎn)的切平面平行于某一坐標(biāo)面。解：設(shè)切點(diǎn)是則切平面方程是〔1〕設(shè)切平面與平行，則有解得點(diǎn)是?！?〕設(shè)切平面與平行，則有解得點(diǎn)是。〔3〕設(shè)切平面與平行，則有解得點(diǎn)是。3.求與兩直線及相切的諸球面的中心軌跡，其中為實(shí)數(shù)。解：設(shè)球面的球心是，直線與球面的切點(diǎn)是，直線與球面的切點(diǎn)是。直線的參數(shù)方程，對(duì)應(yīng)于切點(diǎn)，將參數(shù)方程代入球面方程中有，它有重根，則。同理，得到。兩式中消去，有因此，球心軌跡滿(mǎn)足方程4.給定球面，求〔１〕過(guò)點(diǎn)的切平面方程；〔２〕以為頂點(diǎn)的切錐面方程。解：〔1〕點(diǎn)在球面上，，因而切平面方程是即〔2〕所以以為頂點(diǎn)的切錐面方程是5.證明平面與二次曲面相切，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)。證明：設(shè)切點(diǎn)是，則切平面是假設(shè)該平面就是，則解得切點(diǎn)是，故平面是二次曲面的切平面。6.求平面與二次曲面相切的條件。解：設(shè)二次曲面的切平面的切點(diǎn)是，則切平面方程是，設(shè)它就是平面，于是有，即有因?yàn)樵谇嫔?，故?.求二次曲面上具有方向的切線的軌跡。解：設(shè)具有方向的直線與二次曲面相切，切點(diǎn)是。將切線方程代入曲面方程有即該方程的有重根，由于是切點(diǎn)，則于是因而現(xiàn)在從直線的方程中按上述關(guān)系消去，得到參數(shù)的關(guān)系：代入直線方程中，則有以下關(guān)系：由于滿(mǎn)足曲面方程，所以這些切線的軌跡方程是正交變換和仿射變換習(xí)題5.1證明變換的乘法適合結(jié)合律，即證明：設(shè)，顯然都是的變換，對(duì)任給，有因此從而求出平面上對(duì)直線的反射公式。解：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，則的中點(diǎn)在直線上，且與直線垂直，因此有：得到即平面上對(duì)直線的反射公式：設(shè)平面上直線的方程，求平面對(duì)于直線的反射的公式。解：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，則的中點(diǎn)在直線上，且與直線垂直，因此有：解此方程得到平面對(duì)于直線的反射的公式：設(shè)是平面上兩條平行直線，而分別是平面對(duì)于直線的反射，證明是一個(gè)平移。證明：以為軸，建設(shè)直角坐標(biāo)系，設(shè)的方程是：，則平面對(duì)于直線的反射是面對(duì)于直線的反射是設(shè)點(diǎn)，計(jì)算，的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，于是的公式是，故是以向量的平移。設(shè)是平面的點(diǎn)變換，的公式為問(wèn)點(diǎn)分別變成什么點(diǎn)，直線變成什么圖形解：將點(diǎn)分別代入的公式中得到。從變換公式中求出的表達(dá)式：將它代入直線中得到因此直線變成直線求平面的點(diǎn)變換的逆變換。解：矩陣的逆矩陣是，用左乘點(diǎn)變換的兩邊得到：將記號(hào)與互換得到逆變換或?qū)⒕仃嚤硎拘问綄?xiě)成方程組的形式，解出用表示也可同樣得到結(jié)論。在直角坐標(biāo)系中，求出平面繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的變換公式。解：設(shè)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后的點(diǎn)是，則因此于是平面繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的變換公式是：證明：平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的集合是平面的一個(gè)變換群。證明：記平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的集合為。恒等變換是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度上0的旋轉(zhuǎn)，所以恒等變換。設(shè)分別是繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)，則設(shè)，是，則所以繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)，即設(shè)分別是繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)角為〔或〕的旋轉(zhuǎn)就是的逆變換，因此。故平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的集合是平面的一個(gè)變換群。證明：平面上運(yùn)動(dòng)的集合是平面的一個(gè)變換群。證明：由于運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)與平移的乘積，所以恒等變換也是運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)在直角坐標(biāo)系下的表示公式是設(shè)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，則于是的表示公式是因此乘積也是運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的表示公式是則解出的表達(dá)式有：因此有逆變換故平面上運(yùn)動(dòng)的集合是平面的一個(gè)變換群。習(xí)題5.21.平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，再平移，寫(xiě)出變換公式，并求出點(diǎn)。解：平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換：平移的變換：先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，再平移，即為：于是點(diǎn)經(jīng)此變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是。2.求把點(diǎn)變成點(diǎn)的繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，并求出曲線經(jīng)此旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)曲線。解：設(shè)平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換：由于將點(diǎn)變成點(diǎn)，所以解此方程得到，故變換是：即。曲線經(jīng)此旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)曲線方程是，即。3.設(shè)正交變換在直角坐標(biāo)系Ⅰ中的公式為假設(shè)作直角坐標(biāo)變換求在新坐標(biāo)系中的公式。解：點(diǎn)，在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別記為，，于是有以下關(guān)系：將它們代入變換公式中得到：兩邊左乘矩陣的逆，整理得到這就是變換在新坐標(biāo)系中的公式。4.平面上的點(diǎn)變換把直角坐標(biāo)系Ⅰ變到直角坐標(biāo)系Ⅱ，并且使每一點(diǎn)在Ⅰ下的坐標(biāo)與它的像在Ⅱ下的坐標(biāo)一樣，則是正交變換。證明：設(shè)直角坐標(biāo)系Ⅰ為，直角坐標(biāo)系Ⅱ?yàn)?，并且則過(guò)渡矩陣是正交矩陣。再設(shè)在直角坐標(biāo)系Ⅰ下，于是得到點(diǎn)變換在直角坐標(biāo)系Ⅰ下的變換公式：故該點(diǎn)變換是正交變換。5.設(shè)平面上的點(diǎn)變換在直角坐標(biāo)系下的公式為其中是正交矩陣，證明是正交變換。證明：設(shè)兩點(diǎn)，的坐標(biāo)，的坐標(biāo)。則因?yàn)槭钦痪仃?，所以。兩點(diǎn)的距離是故是正交變換。6.設(shè)和分別是平面上對(duì)于直線和的反射，設(shè)與交于點(diǎn)，且?jiàn)A角為，證明：是繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為。證明：以直線為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建設(shè)直角坐標(biāo)系，設(shè)由于和分別是平面上對(duì)于直線和的反射，則且所以是繞點(diǎn)轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)。此題也可以用寫(xiě)出變換公式來(lái)證明，請(qǐng)讀者試一試。習(xí)題5.31.求把三點(diǎn)分別變到點(diǎn)的仿射變換。解：設(shè)仿射變換是依題意得到，且即即解以上方程組得于是仿射變換是2.證明：在仿射變換下，兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的連線上每一點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)。證明：設(shè)是仿射變換的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)的連線上的任一點(diǎn)，滿(mǎn)足則故與重合，即是不動(dòng)點(diǎn)。3.求把三條直線依次變到的仿射變換的公式。解：兩直線的交點(diǎn)是，的交點(diǎn)是；的交點(diǎn)是，的交點(diǎn)是；的交點(diǎn)是，的交點(diǎn)是。設(shè)仿射變換的公式是則，且即即解以上方程組得于是仿射變換是4.如果一條直線與它在仿射變換下的像重合，則稱(chēng)這條直線為的不動(dòng)直線。求仿射變換的不動(dòng)直線。解：設(shè)不動(dòng)直線是經(jīng)仿射變換后直線的方程仍可化簡(jiǎn)為將仿射變換代入后一個(gè)方程，則有即于是存在關(guān)系：因而得到或假設(shè)則故于是不動(dòng)直線是假設(shè)則得到于是不動(dòng)直線是綜上所述，仿射變換的不動(dòng)直線有兩條：5.橢圓經(jīng)過(guò)仿射變換：化為，由此證明：橢圓的面積。證明：仿射變換的變積系數(shù)是設(shè)橢圓的面積是，圓的面積是，則故橢圓的面積6.設(shè)是平面上一個(gè)定點(diǎn)，如果平面上一個(gè)點(diǎn)變換把保持不變，且使平面上任一點(diǎn)變到，它們滿(mǎn)足，其中，常數(shù)，則稱(chēng)是同位相似〔或相似〕，稱(chēng)為位似中心，稱(chēng)為位似系數(shù)?！?〕適中選取標(biāo)架，求出位似的公式；〔2〕證明位似是仿射變換；〔3〕證明位似保持角度不變；〔4〕證明位似可以分解成某兩個(gè)伸縮的乘積。解：〔1〕以為原點(diǎn)建設(shè)直角坐標(biāo)系，設(shè)，由于，所以，即位似的公式〔2〕位似的變換矩陣是，由于常數(shù)，所以可逆，故位似是仿射變換?！?〕設(shè)的夾角是，由于常數(shù)，所以經(jīng)位似變換后的向量的夾角仍然是?！?〕由于位似的變換矩陣，所以位似分解為兩個(gè)伸縮的乘積。7.如果平面的一個(gè)點(diǎn)變換，使得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度之比為一個(gè)正常數(shù)，則稱(chēng)為相似，稱(chēng)為相似系數(shù)?！?〕證明相似是仿射變換；〔2〕證明相似把一個(gè)三角形變到一個(gè)與之相似的三角形；〔3〕證明相似可以分解成一個(gè)正交變換與一個(gè)位似的乘積。證明：建設(shè)直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)變換將不共線三點(diǎn)變成三點(diǎn)，由于點(diǎn)變換將對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度之比是一個(gè)正常數(shù)，所以三點(diǎn)不可能共線，否則，設(shè)依次共線，則有，于是，三點(diǎn)依次共線，與假設(shè)矛盾，故三點(diǎn)不可能共線。該點(diǎn)變換將共線三點(diǎn)變成共線三點(diǎn)，不妨設(shè)，則。于是點(diǎn)變換將直線變成直線。由以上結(jié)論得出點(diǎn)變換將三角形變成一個(gè)與之相似的三角形?！?〕證明完畢。〔1〕設(shè)，則再設(shè)，，點(diǎn)變成。因而或。由于點(diǎn)變換將三角形變成一個(gè)與之相似的三角形，所以不妨假設(shè)，則有關(guān)系，因而得，，寫(xiě)成矩陣形式，于是得到點(diǎn)變換在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)形式或，故該點(diǎn)變換是仿射變換。〔3〕由于變換公式是所以它可以分解為正交變換，與位似變換的乘積。8.設(shè)平面的一個(gè)仿射變換使直線上的每一點(diǎn)都不動(dòng)，證明：〔1〕直線與或者同時(shí)平行于，或者相交于上一點(diǎn)?！?〕直線與彼此平行。證明：〔1〕如果與直線平行〔不重合〕，而與不平行，設(shè)相交于點(diǎn)，由于仿射變換使直線上的每一點(diǎn)都不動(dòng)，則點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，也在上，這是不可能的，所以與平行。如果與直線相交，設(shè)交于點(diǎn)，則點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，因而與相交于點(diǎn)?！?〕如果與直線平行，在上取兩點(diǎn)，則。由于仿射變換保持向量的線性關(guān)系不變，所以，得到故直線與彼此平行。如果與直線不平行，設(shè)相交于點(diǎn)，則與也相交于點(diǎn)。因此設(shè)由于仿射變換保持向量的線性關(guān)系不變，則三角形與三角形相似，從而直線與彼此平行。9.在題8中的，假設(shè)有一個(gè)點(diǎn)和它的像點(diǎn)的連線，這時(shí)稱(chēng)為錯(cuò)切，稱(chēng)為錯(cuò)切軸。證明：在適中選取的仿射坐標(biāo)系中，錯(cuò)切的公式為并且證明錯(cuò)切不改變圖形的面積。證明：以變換的不動(dòng)直線為軸，直線為軸建設(shè)仿射坐標(biāo)系，設(shè)，。顯然，變換將原點(diǎn)變成原點(diǎn)，所以可設(shè)變換公式是變換將變成，將點(diǎn)變成，所以有我們得到故錯(cuò)切的公式為。由于變換矩陣的行列式等于1，所以錯(cuò)切不改變圖形的面積。習(xí)題5.41.證明：橢圓的共軛直徑與橢圓的交點(diǎn)處的切線構(gòu)成的平行四邊形的面積是常數(shù)。證明：以橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸，短軸為軸和軸建設(shè)直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為作仿射變換其變積系數(shù)是，則橢圓變成單位圓，同時(shí)將橢圓的共軛直徑變成單位圓的共軛直徑，單位圓的共軛直徑是互相垂直的，交點(diǎn)處的切線構(gòu)成的平行四邊形變成正方形，其面積為4，所以交點(diǎn)處的切線構(gòu)成的平行四邊形的面積是為常數(shù)。2.證明：橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對(duì)角線所在的直線是橢圓的一對(duì)共軛直徑。證明：作一個(gè)仿射變換將橢圓變成單位圓，由于切線，平行線，共軛直徑都是仿射不變的，并且圓的外切平行四邊形就是正方形，而正方形的對(duì)角線是圓的互相垂直的共軛直徑，因此橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對(duì)角線是橢圓的一對(duì)共軛直徑。3.證明：雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是一個(gè)常數(shù)。證明：設(shè)在直角坐標(biāo)系下，雙曲線的方程為作仿射變換其變積系數(shù)是，則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點(diǎn)的切線方程是，截距分別是。所以切線與它的漸近線確定的三角形的面積說(shuō)，故雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是為常數(shù)。4.證明：雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點(diǎn)等分。證明：設(shè)在直角坐標(biāo)系下，雙曲線的方程為作仿射變換則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點(diǎn)的切線方程是，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是，它們的中點(diǎn)坐標(biāo)是，所以雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點(diǎn)等分。5.證明：所有內(nèi)接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對(duì)共軛直徑和橢圓的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形。證明：作仿射變換將橢圓變成單位圓，由于圓的內(nèi)接四邊形中面積最大的是正方形，而對(duì)角線是一對(duì)互相垂直的共軛直徑，所以經(jīng)過(guò)仿射變換的逆變換得到內(nèi)接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對(duì)共軛直徑和橢圓的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形。6.以下概念中哪些是圖形的度量性質(zhì)，哪些是仿射性質(zhì)：〔1〕等邊三角形，〔2〕平行四邊形，〔3〕多邊形，〔4〕三角形的中線，〔5〕三角形的高線，〔6〕圓的半徑。解：圖形的度量性質(zhì)有：等邊三角形，三角形的高線，圓的半徑。圖形的仿射性質(zhì)有：平行四邊形，多邊形，三角形的中線。7.證明：如果平面的仿射變換將一個(gè)圓變成它自身，則是正交變換。證明：以圓的圓心為原點(diǎn)建設(shè)直角坐標(biāo)系Ⅰ，由于平面的仿射變換將一個(gè)圓變成它自身，所以以為方向的共軛直徑變成圓的共軛直徑，向量變成互相垂直的單位向量，于是直角坐標(biāo)系Ⅰ變成直角坐標(biāo)系Ⅱ。由于仿射變換保持向量的線性關(guān)系不變，所以任何一點(diǎn)在Ⅰ中的坐標(biāo)與像點(diǎn)在Ⅱ中的坐標(biāo)一樣。故這樣的仿射變換就是正交變換。習(xí)題5.51.證明下述空間的點(diǎn)變換是第一類(lèi)正交變換，并且求轉(zhuǎn)軸。證明：因?yàn)樽儞Q矩陣的每一行的向量都是單位向量且兩兩之間是正交的，所以變換矩陣式正交矩陣。變換矩陣的行列式等于1，故該變換是第一類(lèi)的正交變換。變換的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的連線就是轉(zhuǎn)軸。顯然原點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，再求一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即解方程組解得，所以旋轉(zhuǎn)軸方程是2.在直角坐標(biāo)系中，求出把點(diǎn)分別變成點(diǎn)的正交變換公式。解：由于將原點(diǎn)變成原點(diǎn)，所以可設(shè)變換公式是其中變換矩陣是正交矩陣，將點(diǎn)代入得到解此方程組得到由于矩陣是正交矩陣，可得到所以所求正交變換是3.設(shè)是空間的第一類(lèi)的正交變換，證明：對(duì)于空間的任意兩個(gè)向量有〔1〕〔2〕證明：取一個(gè)右手直角坐標(biāo)系，第一類(lèi)正交變換將變成右手直角坐標(biāo)系。設(shè)在右手直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，則〔1〕?！?〕由于，所以4.證明：空間中任給兩組不共面的四點(diǎn)和，則存在唯一的仿射變換，把變成。證明：設(shè)在一個(gè)仿射標(biāo)架下，設(shè)仿射變換將變成，則從而有，因?yàn)樗狞c(diǎn)不共面和不共面，所以?xún)蓚€(gè)矩陣均可逆，并且唯一確定，其行列式不為0，故變換矩陣可逆。于是存在唯一的仿射變換，把變成。5.在仿射變換下，在不共線的3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)所在的平面上的每一點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)。證明：設(shè)是仿射變換的三個(gè)不共線的不動(dòng)點(diǎn)，在它們確定的平面內(nèi)任取一點(diǎn)，則對(duì)任意的點(diǎn)成立：設(shè)則故6.求橢球面圍成的區(qū)域的體積。解：作一個(gè)仿射變換：其變積系數(shù)是則橢球面變成單位球面，單位球面圍成的區(qū)域的體積是故橢球面圍成的區(qū)域的體積是7.證明：分別對(duì)于兩個(gè)平行平面的反射變換的乘積是一個(gè)平移。證明：以其中一個(gè)平面為坐標(biāo)面建設(shè)直角坐標(biāo)系，則另一個(gè)平面方程設(shè)為。對(duì)于平面的反射為對(duì)于平面的反射為兩個(gè)反射的乘積是這是一個(gè)平移。8.證明：分別對(duì)于兩個(gè)相交平面的仿射變換的乘積是一個(gè)繞定直線的旋轉(zhuǎn)。證明：以?xún)善矫娴慕痪€為軸，平面為坐標(biāo)面建設(shè)直角坐標(biāo)系，設(shè)兩平面的夾角為。關(guān)于平面的反射記為，則反射的變換公式是反射的變換公式如下計(jì)算：的方程是，對(duì)任何一點(diǎn)，則，的中點(diǎn)在上，于是，即解得于是變換乘積的變換公式是由此看到的交線軸是變換乘積的不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直線，即旋轉(zhuǎn)軸，繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角度為兩平面的夾角的2倍。平面射影幾何簡(jiǎn)介習(xí)題6.11.設(shè)在擴(kuò)大的歐氏平面上兩點(diǎn)，求〔1〕直線在齊次坐標(biāo)中的普通方程和參數(shù)方程；〔2〕直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)和它所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。解：〔1〕設(shè)直線方程為點(diǎn)在直線上，得解得故直線方程是參數(shù)方程是〔2〕令則故無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的參數(shù)值滿(mǎn)足所以2.證明：擴(kuò)大的歐氏平面上的三直線共點(diǎn)，并求該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。證明：由于方程組的解為故僅有一個(gè)公共點(diǎn)所以三直線共點(diǎn)。3.在擴(kuò)大的歐氏平面上，給出了的歐氏直線在仿射坐標(biāo)中的方程，求由它確定的射影直線在齊次坐標(biāo)中的方程，并求出它上面的無(wú)