四川省德陽市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

德陽二中教育集團2024年秋期中初二素質(zhì)監(jiān)測數(shù)學(xué)（滿分：150分；時間：120分鐘）一、單選題（3×12＝36分）1．如圖所示的4個圖案中是軸對稱圖形的是（）A．阿基米德螺旋線 B．太極圖C．趙爽弦圖 D．笛卡爾心形線2．已知實數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．17 B．13 C．17或13 D．123．關(guān)于多邊形有以下描述：（）①六邊形內(nèi)角和為720°；②十二邊形每個外角度數(shù)均為30°；③n邊形從一個頂點最多可引出條對角線；④多邊形內(nèi)角和等于外角和，這個多邊形是四邊形．⑤一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為900°，原來這個多邊形的邊數(shù)是6．根據(jù)描述判斷，其中描述正確的個數(shù)有（）個．A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，∠1＝∠2，AC＝AD，有下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D．增加其中一個，能使△ABC≌△AED的條件有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，AB長為半徑的弧分別交AC，BC于點D，連接BD，ED，若∠CED＝105°，求∠ABC的度數(shù)為（）（5題）A．80° B．70° C．60° D．50°6．如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△BPC的面積為，則△ABC的面積為（）.（6題）A．1.5a B．2a C．2.5a D．3a7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC的度數(shù)為（）（7題）A．100° B．108° C．112° D．120°8．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線交于點D，與∠ABC的外角平分線交于點E，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（）個.A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在△ABC中，∠BAC是銳角，以BC為斜邊在△ABC內(nèi)部作一個等腰直角三角形△BCD，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，若F為AC的中點，AB＝5，DF＝1，則BE＝（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．410．如圖所示，邊長為2的等邊三角形ABC中，D點在邊BC上運動（不與B、C重合），點E在邊AB的延長線上，點F在邊AC的延長線上，AD＝DE＝DF．點D在BC邊上從B至C的運動過程中，△BED周長變化規(guī)律為（）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大11．如圖，已知△ABC的面積為1，分別倍長（延長一倍）邊AB，BC，CA得到，再分別倍長邊，，得到…按此規(guī)律，倍長2024次后得到的的面積為（）A． B． C． D．12．△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB＝90°，AC＝BC．D是AC上任意一點（點D與點A，C都不重合），連接BD，CF⊥BD，交BD于點E，交AB于點F，連接DF，AG⊥AC交CF的延長線于點G．當點C和點F關(guān)于直線BD對稱時，下面結(jié)論：①△AFD是等腰直角三角形：②△ACG≌△CBD；③∠ADF＝∠CDE；④．其中正確結(jié)論有（）個A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（4×6＝24分）13．已知點與點關(guān)于x軸對稱，則的值為______.14．已知a、b、c為三角形三邊長，則______.15．等腰三角形一條腰上的垂直平分線與另一腰的夾角為40°，則三角形的底角為______.16．在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點F在線段BC上，點E是在線段AF上，滿足∠CEF＝45°，AE＝6，EF＝5，則△ABF的面積為______.17．現(xiàn)有一塊如圖所示的草地，經(jīng)測量，∠B＝∠C，AB＝10米，BC＝8米，CD＝12米，點E是AB邊的中點。小狗汪汪從點B出發(fā)以2米/秒的速度沿BC向點C運動，同時小狗妞妞從點C出發(fā)沿CD向點D運動．當妞妞的速度為______米/秒時，能夠在某一時刻使△BEP與△CPQ全等．18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝42°，將△ABC繞點B按逆時針旋轉(zhuǎn)θ度（0＜θ＜90）到△A'BC'，邊A'C'和邊AC相交于點P，邊BC'和邊AC相交與點Q，當△BPQ為等腰三角形時，則θ＝______．三、解答題19．（10分）如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．若AB＝10，AC＝8，求BE長．20．（12分）如圖，在△ABC中，點D為AC邊上一點，BD＝BA，延長AB到點E，使得BE＝BC，恰有∠CBE＝∠ABD，連接DE，交BC于點F．（1）求證：△ABC≌△DBE；（2）當BC⊥DE時，①求證：；②求∠AEC的度數(shù)．21．（13分）數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑，通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：______，∠BDC＝______°；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AM⊥BF，垂足為點M．直接寫出BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系．22．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點、，AD⊥BC交BC于D點，交y軸正半軸于點．（1）如圖1，求C點的坐標；（2）如圖2，連接OD，求∠ODC的度數(shù)；（3）如圖3，已知點，，若PQ⊥PC，PQ＝PC，直接寫出Q的坐標（用含a的式子表示）．23．（13分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF＝∠CBG．求證：（1）AF＝CG；（2）CF＝2DE．24．（15分）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC．（1）證明：△ABC是等腰直角三角形；（2）若點D是線段AB上一點，連接CD，過點B作BE⊥CD于點E，若CD＝2BE．求∠BCD的度數(shù)；（3）如圖2，若點D是線段BC上一點，且，過點A作AM⊥AD，AD＝AM，連接BM交AC于點N，求值為多少．25．（15分）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分別是BC，CD上的點，且EF＝BE＋FD，探究圖中∠BAD，∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法：延長FD到點G，使DG＝BE．連接AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______.（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EF＝BE＋FD，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，仍然滿足EF＝BE＋FD，請寫出∠EAF與∠BAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

答案1．D【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱的定義“在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸”進行判定即可求解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、有一條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意；故選：D．2．A【分析】本題考查了絕對值非負性、算術(shù)平方根的非負性以及三角形三邊關(guān)系，由題意得x＝3，y＝7；分類討論若等腰三角形的三邊長為：3，3，7，若等腰三角形的三邊長為：3，7，7，利用三角形三邊關(guān)系加以驗證即可：【詳解】解：∵，，，∴，；若等腰三角形的三邊長為：3，3，7，∵3＋3＜7，不能構(gòu)成三角形，∴此種情況不存在；若等腰三角形的三邊長為：3，7，7，則等腰三角形的周長為：3＋7＋7＝17，故選：A3．B選：B．4．C【分析】本題考查三角形全等的判定方法，三角形全等的判定方法有：1．三組對應(yīng)邊分別相等（SSS）；2．有一個角和夾這個角的兩條夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）；3．有兩個角和這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；4．有兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AAS）；還有一種判定方法直角三角形獨有：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）．根據(jù)全等三角形的判定定理，依次判斷各添加條件即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠BAC＝∠EAD，添加①滿足△ABC≌△AED（SAS），符合題意；添加②滿足SSA．不符合題意；添加③滿足△ABC≌△AED（ASA），符合題意；故能使△ABC≌△AED的條件有①③．故選：C．5．D【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角等于不相鄰的內(nèi)角和等知識，設(shè)∠ABC＝∠ACB＝x，可以推出∠A＝180°－2x＝30°＋x，解方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)∠ABC＝∠ACB＝x，∵BA＝BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝180°－∠CED＝75°，∴∠DBE＝180°－2×75°＝30°，∴∠BAD＝∠BDA＝30°＋x，∴180°－2x＝30°＋x，∴x＝50，故選：D6．B【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，關(guān)鍵是由角平分線的定義，垂直的定義推出AB＝KB，由等腰三角形的性質(zhì)得到PA＝PK．延長AP交BC于K，由角平分線的定義得到∠ABP＝∠KBP，由垂直的定義得到∠APB＝∠KPB＝90°，由三角形內(nèi)角和定理推出∠BAP＝∠BKP，得到AB＝KB，由等腰三角形的性質(zhì)推出AP＝KP，由三角形面積公式推出△ABP的面積＝△KBP的面積，△CPK的面積＝△CPA的面積，即可得到△ABP的面積＋△CPA的面積＝△BCP的面積＝a（），于是得到△ABC的面積＝2×a＝2a（）．【詳解】解：延長AP交BC于K，∵PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠KBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠KPB＝90°，∴∠BAP＝∠BKP，∴AB＝KB，∵BP⊥AK，∴AP＝KP，∴△ABP的面積＝△KBP的面積，△CPK的面積＝△CPA的面積，∴△ABP的面積＋△CPA的面積＝△KBP的面積＋△CPK的面積＝△BCP的面積＝a（），∴△ABC的面積＝2×a＝2a（）．故答案為：B7．C【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA＝OB，根據(jù)等邊對等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后證明△BAO≌△CAO可得OB＝OC，根再根據(jù)等邊對等角求出∠OCB＝∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE＝CE，然后根據(jù)等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可．【詳解】解：如圖，連接OB、OC，∵∠BAC＝56°，AO為∠BAC的平分線，∴，又∵AB＝AC，∴，∵DO是AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝62°－28°＝34°，∵∠BAO＝∠CAO，AB＝AC，OA＝OA∴△BAO≌△CAO，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝34°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝34°，在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－34°－34＝112°，故選：C．8．C【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．由角平分線的定義可得，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解，即可判定①；由角平分線的定義可得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可判定②；由三角形外角的性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可判定③；利用三角形外角的性質(zhì)可得，結(jié)合可判定④．【詳解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，∴，，∴，∴，故①正確，符合題意；∵CD平分∠ACF，∴，∵，，∴，∴，故②正確，符合題意；如圖，∵，，，∴，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴，，∴，∴，∴，故③錯誤，不符合題意；∵，∴，∵，∴，故④正確，符合題意；綜上正確的有：①②④．故選：C9．C【分析】延長EF，過C作CG⊥EF，垂足為G，證明△AEF≌△CGF（AAS），得到CG＝AE，EF＝FG，再證明△BDE≌△DCG（AAS），BE＝DG，DE＝CG，設(shè)BE＝x，根據(jù)邊的關(guān)系代換得到AE＝x－2，再根據(jù)AB＝5列出方程，解之可得BE．【詳解】解：延長EF，過C作CG⊥EF，垂足為G，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝∠BED＝90°，∵F為AC中點，∴AF＝CF，在△AEF和△CGF中，，∴△AEF≌△CGF（AAS），∴CG＝AE，EF＝FG，∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝90°，∴∠BDE＋∠CDG＝90°，∴∠BDE＋∠DBE＝90°，∴∠CDG＝∠DBE，在△BDE和△DCG中，，∴△BDE≌△DCG（AAS），∴BE＝DG，DE＝CG，設(shè)BE＝x，則DG＝x＝DF＋FG＝1＋EF＝1＋DE＋DF＝2＋DE＝2＋CG＝2＋AE，∴AE＝x－2，∴AB＝AE＋BE＝x－2＋x＝5，∴，故答案為：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，得到相等的邊．10．D【分析】先根據(jù)等邊對等角得到∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，再由等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，利用三角形外角的性質(zhì)證明∠EDB＝∠DFA，∠CDF＝∠BED，進而證明△BDE≌△CFD得到BD＝CF，BE＝CD，再根據(jù)三角形周長公式推出△BED周長＝BC＋AD，點D在從B至C的運動過程中，則AD的長先變小后變大，則△BED周長先變小后變大．【詳解】解：∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA＋∠DFA＝60°，∵∠ABC＝∠DEA＋∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DFA，∵∠ACB＝∠CFD＋∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，又∵∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周長＝BD＋BE＋DE＝BD＋CD＋AD＝BC＋AD，∴點D在從B至C的運動過程中，∴AD的長先變小后變大，∴△BED周長先變小后變大，故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，通過證明△BDE≌△CFD，得到BD＝CF，BE＝CD是解題的關(guān)鍵．11．A【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)、圖形的規(guī)律等知識點，根據(jù)題中條件找出規(guī)律公式是解題關(guān)鍵．先作出輔助線，然后利用等底等高可知7個小三角形的面積相等，推出，依次往下類推可得出的面積＝，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖，連接、、，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，則、、、、、、的面積都相等，∴，同理可得：，以此類推，的面積＝，∵，∴的面積．故選：A．12．B【分析】由題意可得BD垂直平分CF，通過證明△BDF≌△BDC，得到∠AFD＝90°，即可判定①；通過AAS可以得到△ACG≌△CBD，即可判定②；由①可得∠ADF＝45°，而，即可判定③；在線段EB上取一點H，使得EH＝EC，通過證明△CDH為等腰三角形，即可判定④；【詳解】解：由題意可得BD垂直平分CF，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴．CD＝DF，BF＝BC，∠DEC＝90°又∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC（SSS），∴∠DFB＝∠DCB＝90°，∴∠AFD＝90°，又∵∠CAB＝45°，∴△AFD是等腰直角三角形，①正確；∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝∠DEC＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝∠ACG＋∠AGC＝90°，∴∠CDE＝∠AGC，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBD（AAS），②正確；由①可得∠ADF＝45°，，③錯誤；在線段EB上取一點H，使得EH＝EC，連接CH，如下圖：則△CHE為等腰直角三角形，由①可得，由②可得，∴∠DCH＝∠ACG＋∠ECH＝67.5°＝∠CDH，∠HCB＝90°－∠DCH＝22.5°＝∠CBD∴CH＝DH＝BH，即，∵DH＝DE＋EH＝DE＋CE，∴，④正確；故答案為：B13．－1【分析】本題主要考查點的坐標關(guān)于坐標軸對稱、解一元一次方程，熟練掌握點的坐標關(guān)于x軸對稱的特征“橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．由題意得到關(guān)于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可．【詳解】解：∵點與點關(guān)于x軸對稱，∴m－1＝2m－4，n＋2＝－2，解得：m＝3，n＝－4，∴．故答案為：－1．14．b＋c－a【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，以及絕對值的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可得b＋c－a＞0，b－c－a＜0，a－b＋c＞0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值進行計算即可．【詳解】解：∵a、b、c為三角形三邊長，∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0，a－b＋c＞0，∴，故答案為：b＋c－a．15．25°或者65°16．33【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角等知識點，如圖:過C作CG⊥CE，垂足為C，交AF延長線于點G，連接BG，先證△AEC≌△BCG（SAS）可得BG＝AE＝6、∠CAE＝∠CBG，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得∠AGB＝∠ACB＝90°，然后運用三角形的面積公式即可解答：正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：過C作CG⊥CE，垂足為C，交AF延長線于點G，連接BG，∵∠CEF＝45°，∴∠CGE＝90°－∠CEF＝45°，∴∠CGE＝∠CEF，∴EC＝CG，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECF＝90°，∵∠FCG＋∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCG，在△AEC和△BCG中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCG，CE＝CG，∴△AEC≌△BCG（SAS），∴BG＝AE＝6，∠CAE＝∠CBG，∵∠AFB＝∠CAF＋∠ACB，∠AFB＝∠CBG＋∠AGB，∴∠AGB＝∠ACB＝90°∵AE＝6，EF＝5，∴AF＝AE＋EF＝11，∴△ABF的面積為：．故答案為33．17．2或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意，分兩種情況進行談?wù)摷纯?，①當BE＝CP＝5，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等；②當BE＝CQ＝5，BP＝CP時，△BPE與△CQP全等．【詳解】解：設(shè)汪汪運動的時間為t秒，則BP＝2t，CP＝8－2t，∵∠B＝∠C，∴①當BE＝CP＝5，BP＝CQ時，△BPE與△CQP全等，此時，5＝8－2t，解得，∴BP＝CQ＝3，此時，妞妞的運動速度為（米/秒）；②當BE＝CQ＝5，BP＝CP時，△BPE與△CPQ全等，此時，2t＝8－2t，解得t＝2，∴妞妞的運動速度為（米/秒）；故答案為：2或．18．4°或32°．【分析】由題意過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到BP平分∠A'PC，再根據(jù)∠C＝∠C'＝42°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出，分三種情況討論，利用三角形內(nèi)角和等于180°，即可得到關(guān)于θ的方程，進而得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，∴∠A'EB＝∠ADB，由旋轉(zhuǎn)可得，A'B＝AB，∠A'＝∠A，在△A'BE和△ABD中△A'BE≌△ABD（AAS），∴BD＝BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C＝∠C'＝42°，∠BQC＝∠PQC'，∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，∴，分三種情況：①如圖所示，當PB＝PQ時，∠PBQ＝∠PQB＝∠C＋∠QBC＝42°＋θ，∵∠BPQ＋∠PBQ＋∠PQB＝180°，∴，解得θ＝4°；②如圖所示，當BP＝BQ時，∠BPQ＝∠BQP，即，解得θ＝32°；③當QP＝QB時，，又∵∠BQP＝42°＋θ，∴（不合題意），故答案為：4°或32°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)邊上高相等，得出BP平分∠A'PC，解題時注意分類思想的運用．19．BE＝1【分析】先根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得到DF＝DE，再利用中垂線性質(zhì)得到CD＝BD．進而證明Rt△CDF≌Rt△BDE，通過線段之間的數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，連接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE＋BE＝AF＋BE＝AC＋CF＋BE＝AC＋2BE，∴AB＝10，AC＝8，∴BE＝1．【點睛】本題考查了三角形中垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，還有用HL證明兩三角形全等．綜合性較強，中等難度．合理的作出輔助線是解決這類圖形問題的有效方法和解題關(guān)鍵．20．（1）見解析（2）（?。┮娊馕觯海áⅲ?4°【分析】（1）先證∠DBE＝∠ABC，進而可依據(jù)SAS判定△ABC和△DBE全等:（2）（i）過點B作BH⊥AD于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再證△BHD和△BFD全等得DH＝DF，據(jù)此可得出結(jié)論；（ii）由（i）知：△BHD≌△BFD，則∠DBH＝∠DBF，設(shè)∠DBH＝∠DBF＝α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ABD＝2α，再由已知得∠CBE＝2α，根據(jù)平角的意義得∠ABD＋∠DBF＋∠CBE＝180°，據(jù)此可求出α＝36°，進而得∠CBE＝2α＝72°，然后在△BCE中由三角形的內(nèi)角和定理可求出∠AEC的度數(shù)．【詳解】（1）∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，即：∠DBE＝∠ABC．在△ABC和△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS）．（2）（i）證明：過點B作BH⊥AD于H，又∵BC⊥DE，∴∠BHD＝∠BFD＝90°，由（1）知：△ABC≌△DBE（SAS），∴∠BAC＝∠BDE，∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BDH＝∠BAC，，∴∠BDH＝∠BDF，在△BHD和△BFD中，∴△BHD≌△BFD（AAS），∴DH＝DF，∴，（ii）解：由（i）知：△BHD≌△BFD（AAS），∴∠DBH＝∠DBF，設(shè)∠DBH＝∠DBF＝α，∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠ABD＝2∠DBH＝2α，∴∠CBE＝∠ABD＝2α，∵∠ABD＋∠DBF＋∠CBE＝180°，∴2α＋α＋2α＝180°，∴α＝36°，∴∠CBE＝2α＝72°，在△BCE中，BC＝BE，∴，即：∠AEC＝54°．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線重合（三線合一）．21．（1）BE＝CF，30°（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由見解析（3）BF＝CF＋2AM，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)．（1）設(shè)AC交BD于點G，由∠BAC＝∠EAF＝30°，得∠BAE＝∠CAF＝30°＋∠CAE，而AB＝AC，AE＝AF，即可根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACF，所以BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，則∠BDC＝∠AGD－∠ACF＝∠AGD－∠ABE＝∠BAC＝30°，于是得到問題的答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△BAE≌△CAF即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△BAE≌△CAE即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，設(shè)AC交BD于點G，∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°＋∠CAE，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，BE＝CF，∴∠BDC＝∠AGD－∠ACF＝∠AGD－∠ABE＝∠BAC＝30°，故答案為：30．（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD＝∠AEB＋30°－（∠AFC－30°）＝60°．（3）BF＝CF＋2AM，理由如下：如圖3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB－∠CAE＝∠FAE－∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE＋EF，∴BF＝CF＋2AM22．（1）C（1,0） （2）見詳解 （3）Q（－2，2－a）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是尋找全等三角形．（1）根據(jù)△AOE≌△BOC得OE＝OC即可求出點C坐標．（2）如圖，先過點O作OM⊥AD于點M，作ON⊥BC于點N，根據(jù)△AOE≌△BOC，得到，底邊AE＝BC，得出OM＝ON，根據(jù)角平分線的逆定理進而得到OD平分∠ADC，可得∠ADO＝∠ABO＝45°；（3）如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△PCG≌△QPH，可得CG＝PH＝2，PG＝QH＝a，又知Q在第二象限，從而得Q（－2，2－a）．【詳解】（1）解：如圖1，∵AD⊥BC，∴∠EAO＋∠BCO＝90°，∵∠CBO＋∠BCO＝90°，∴∠EAO＝∠CBO，∵A（－3,0）、B（0，3），∴AO＝BO在△AOE和△BOC中，，∴△AOE≌△BOC（ASA），∴OE＝OC＝1，∴點C（1，0），（2）解：如圖2，過點O作OM⊥AD于點M，作ON⊥BC于點N，∵△AOE≌△BOC，∴，且AE＝BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM＝ON，∴OD平分∠ADC；即OD是∠ADC的角平分線；（3）解：如圖3，過P作GH∥x軸，過C作CG⊥GH于G，過Q作QH⊥GH于H，交x軸于F，∵P（0，2），C（a，0），∴CG＝FH＝2，PG＝OC＝a，∵∠QPC＝90°，∴∠CPG＋∠QPH＝90°，∵∠QPH＋∠HQP＝90°，∴∠CPG＝∠HQP，∵∠QHP＝∠G＝90°，PQ＝PC，∴△PCG≌△QPH（AAS），∴CG＝PH＝2，PG＝QH＝a，∴Q（－2，2－a）．23．（1）見解析 （2）見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)ASA證明△AFC≌△CBG，進而可證AF＝CG；（2）延長CG交AB于H，連接AG，先證明GH是AB的垂直平分線，再由互余關(guān)系可證∠D＝∠DAG，即可證明DG＝AG＝GB＝CF，再證明△ADE≌△CGE，即可DG＝2DE，進而可證CF＝BG．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF＝∠CBF＝45°，∴∠CAF＝∠BCG，∵AC＝BC，∠ACF＝∠CBG，∴△AFC≌△CGB（ASA），∴AF＝CG；（2）證明：延長CG交AB于H，連接AG，∵CG平分∠ACB，AC＝BC，∴CH⊥AB，AH＝BH，∴AG＝BG，∴∠ABG＝∠GAB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∠BAD＝90°，∴∠D＝∠EGC，∠GBA＋∠D＝∠BAG＋∠DAG＝90°，∴∠D＝∠DAG，∴DG＝AG＝GB，∵△AFC≌△CGB，∴CF＝BG，∴DG＝CF，∵E為AC邊的中點，∴AE＝CE，∵∠AED＝∠CEG，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE＝GE，∴DG＝2DE，∴CF＝2DE．24．（1）見解析 （2）22.5° （3）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理證明∠ACB＝90°即可；（2）由A