山西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（B卷）

2024~2025學(xué)年高二期中質(zhì)量檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（B卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章第1節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.52.直線l：的傾斜角為（）A. B. C. D.3.如圖，在四面體中，，，，且，，則（）A. B.C. D.4.若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.5.如圖所示的幾何體為兩個(gè)正方體組成的正四棱柱，記集合，則集合A中元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.96.已知點(diǎn)，直線l：，則A到l的距離的最大值為（）A.3 B. C. D.57.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.48.橢圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，亦是中心對(duì)稱(chēng)圖形，因其對(duì)稱(chēng)性，受到一些藝術(shù)制品設(shè)計(jì)者的青睞.現(xiàn)有一工藝品，其圖案的基本圖形由正方形和內(nèi)嵌其中的“斜橢圓”組成（如圖）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓繞著對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)一定角度，可得“斜橢圓”.已知一“斜橢圓”C的方程為，則該“斜橢圓”C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線均可用方程表示B.方程（m，n為常數(shù)）不能表示垂直于y軸的直線C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線均可用方程（，不同時(shí)為0）表示D.經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線均可用方程表示10.在正方體中，，，則（）A.若，則點(diǎn)P的軌跡為線段B.若，則點(diǎn)P的軌跡為連接棱AD的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段C.若，則三棱錐的體積為定值D.若，則BP與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為11.已知圓C：，為圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)，，則（）A.當(dāng)最小時(shí)， B.當(dāng)最大時(shí)，C.的取值范圍為 D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的焦距為2，則______.13.若圓C：與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍為_(kāi)_____.14.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，沿AC將折起到的位置，使得點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為，則二面角的大小為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）（1）求兩焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與x軸相切，圓心在直線上，且截直線所得弦長(zhǎng)為的圓的方程.16.（本小題滿分15分）已知圓C：和點(diǎn).（1）過(guò)點(diǎn)M作一條直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線AB的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求EF所在的直線方程.17.（本小題滿分15分）如圖，在以P為頂點(diǎn)的圓錐中，點(diǎn)O是圓錐底面圓的圓心，AB是圓錐底面圓的直徑，C，D為底面圓周上的兩點(diǎn)，且為等邊三角形，E是母線PB的中點(diǎn)，.（1）求平面ADE與平面ACE的夾角的余弦值；（2）設(shè)AE與PO交于點(diǎn)M，求直線CM與平面ADE所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知點(diǎn)A，B是橢圓C：的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且BM與BN的斜率之和為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.（本小題滿分17分）如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ADEF，四邊形ADEF為平行四邊形，，，，，，P為EC的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求點(diǎn)P到平面ABF的距離；（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得平面DHP與平面BEF的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2024~2025學(xué)年高二期中質(zhì)量檢測(cè)卷·數(shù)學(xué)（B卷）參考答案1.B因?yàn)?，所以，所以，，所?故選B.2.D由題意知l的斜率為，設(shè)l的傾斜角為，，則，所以.故選D.3.C由題意得，.故選C.4.B由題意得，解得.故選B.5.A因?yàn)槠矫妫矫?，平面均與直線AB垂直，所以終點(diǎn)在這三個(gè)平面上的相應(yīng)向量在向量上的投影向量分別相同，且互不相等，故共有3個(gè)不同的值.故選A.6.D將直線l的方程變形為，由，得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最大，故最大距離為.故選D.7.D由題意知點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線：和直線：上的點(diǎn)，表示，即兩平行直線，上的兩個(gè)點(diǎn)之間距離的平方，其最小值為與之間距離的平方，又與之間距離，所以的最小值為4.故選D.8.A由題知“斜橢圓”的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，短半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，由基本不等式，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的離心率為.故選A.9.BC對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不可以用方程表示，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，無(wú)論實(shí)數(shù)m，n取何值，方程均不可以表示垂直于y軸的直線，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線垂直于x軸，則直線方程為時(shí)，此時(shí)存在，；當(dāng)直線不垂直x軸時(shí)，此時(shí)存在，，故過(guò)點(diǎn)均可表示為，故C正確；對(duì)于D，過(guò)，的直線方程為，故D錯(cuò)誤.故選BC.10.BCD若，因?yàn)?，，則點(diǎn)P與D，三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；若，則，故點(diǎn)P的軌跡為連接AD的中點(diǎn)和的中點(diǎn)的線段，故B正確；若，則點(diǎn)P在線段上，易知平面，且，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；若，點(diǎn)P的軌跡為連接和的中點(diǎn)的線段，過(guò)P作，垂足為E，易證平面ABCD，連接BE，則BP與平面ABCD所成的角為，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，故D正確.故選BCD.11.ABD當(dāng)取得最大值或最小值時(shí)，直線AP與圓C相切，利用切線長(zhǎng)相等的性質(zhì)，這兩種情況的切線長(zhǎng)均等于，故A，B均正確；設(shè)，則點(diǎn)在直線上，又在圓C上，故直線與圓C有公共點(diǎn)，所以，所以，解得，故C錯(cuò)誤；表示點(diǎn)與點(diǎn)P距離的平方，點(diǎn)與點(diǎn)P的最小距離為，故的最小值為，故D正確.故選ABD.12.5或7由題意知，所以.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，且，解得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，且，解得，故m的值為5或7.13.曲線為折線，如圖所示，當(dāng)時(shí)，圓C與折線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓C與折線相切時(shí)，也有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，故r的取值范圍為.14.因?yàn)?，所以，由題意知，，，，，所以，所以，設(shè)的大小為，則與互補(bǔ)，故，又，所以.15.解：（1）設(shè)橢圓的方程為，則，……3分所以，……4分由題意知橢圓的半焦距，……5分所以，故所橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……7分（2）設(shè)所求圓的方程為，由題意得，……10分解得，或，故所求圓的方程為或.……13分16.解：（1）圓C：，則圓心，半徑.……1分①若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，即，所以C到直線AB的距離，……3分所以，故AB的方程為，即.……5分②若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為，代入圓C的方程，得，解得，，此時(shí)，滿足題意.綜上所述，直線AB的方程為或.……8分（2）連接CE，CF，則M，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)在以線段MC為直徑的圓上，線段MC的中點(diǎn)為，，……10分故過(guò)M，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)的圓的方程為，即，……13分與圓C：的方程相減，得，即直線EF的方程為.……15分17.解：（1）設(shè)AB交CD于點(diǎn)F，連接EF，因?yàn)榈冗吺菆A錐底面圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，所以，所以，所以，……1分所以，所以，所以F是OB的中點(diǎn)，又E是母線PB的中點(diǎn)，所以.……2分由題意知底面圓O，AB，底面圓O，所以，，所以，.……3分以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD，AB，F(xiàn)E分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，所以，，.……4分設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量，則，即，令，解得，，所以.……6分設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，則，即，令，解得，，所以，……8分設(shè)平面ADE與平面ACE的夾角為，則.……10分（2）由（1）知，因?yàn)锳E與PO交于點(diǎn)M，，所以，即，所以，所以，所以，……12分由（1）知平面ADE的一個(gè)法向量為，設(shè)直線CM與平面ADE所成的角為，則，即直線CM與平面ADE所成角的正弦值為.……15分18.解：（1）由點(diǎn)A，B是橢圓C：的上、下頂點(diǎn)，則，，……1分設(shè)，由，得，……2分化簡(jiǎn)整理，得，所以點(diǎn)P的軌方程為.……4分（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，由（1）知，設(shè)動(dòng)直線l的方程為，，，由題意知，……6分聯(lián)立l和C的方程，得，消去y并整理，得，所以，即，，，……8分所以.……10分由題意知為定值，設(shè)為t，即，……11分所以，所以，所以，所以令，得，所以，……13分所以直線l過(guò)定點(diǎn)，代入圓，得，解得，故存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為.……17分19.（1）證明：在中，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，…?分又平面平面ADEF，平面平面，平面ADEF，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.……5分（2）解：由（1）可得，，又，所以DA，DC，DF兩兩垂直，以DA，DC，DF所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立