專題2724相似三角形的應(yīng)用（知識解讀）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（人教版）

專題27.2.4相似三角形應(yīng)用（知識解讀）【直擊考點】【學(xué)習(xí)目標】1、理解并掌握用不同方法構(gòu)造相似三角形測高的原理2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，掌握把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題方法.【知識點梳理】考點1利用相似三角形測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.注意：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標桿測量法考點2利用相似三角形測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算AB的長.

注意：1．比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實際距離;

2．太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比;

3．視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角．【典例分析】【考點1利用相似三角形測量高度】【典例1】（2021秋?山陰縣期末）如圖，利用標桿BE測量建筑物CD的高度．已知標桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m，AC＝28m，點A，E，D在同一直線上，點B在AC上．求該建筑物CD的高度．【變式11】（2021?南通）如圖，利用標桿DE測量樓高，點A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，樓高BC是多少？【變式12】（2021秋?金牛區(qū)期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在測量學(xué)校旗桿的高度時，讓一名同學(xué)直立在點F處，手拿一塊直角三角板CDE，保持斜邊CE與地面BF平行，延長CE交AB于點G，如圖，并沿著射線CD的方向觀察，剛好看到旗桿的頂端A點，已知該同學(xué)的身高CF為1.6米，點F到旗桿底端的距離BF為12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗桿AB的高度．【典例2】（2022春?蓬萊市期末）為測量操場上旗桿的高度，小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理，她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺，先將鏡子放在腳下的地面上，然后后退，直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E，標記好腳掌中心位置為B，測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是40cm，鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為5m，如圖所示，已知小麗同學(xué)的身高是1.66m，眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x是6cm，求出旗桿DE的高度．【變式2】（2022?澄城縣一模）雨過天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鮮空氣，廣場上E處有一處積水，如圖，若小李站在D處距積水2米，他正好從水面上看到距他約10米的前方一棵樹的頂端A的影子已知點D、E、B在同一直線上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距離CD為1.6米，求樹AB的高．（∠CED＝AEB，積水水面大小忽略不計）【典例3】（2020秋?江都區(qū)期末）如圖，某同學(xué)正向著教學(xué)樓（AB）走去，他發(fā)現(xiàn)教學(xué)樓后面有一座5G信號接收塔（DC），可過了一會抬頭一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是納悶．經(jīng)過了解，教學(xué)樓、接收塔的高分別是21.6m和31.6m，它們之間的距離為30m，該同學(xué)的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．當(dāng)他剛發(fā)現(xiàn)接收塔的頂部D恰好被教學(xué)樓的頂部A擋住時，他與教學(xué)樓（AB）之間的距離為多少米？【變式31】（2021秋?秦都區(qū)期末）學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識后，小明和同學(xué)們想利用“標桿”測量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點F處，他的同學(xué)在點B處豎立“標桿”AB，使得小明的頭頂E、標桿頂端A、大樓頂端C在一條直線上（點F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“標桿“AB＝2.5米，BD＝23米，F(xiàn)B＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大樓的高度CD．【變式32】（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，一教學(xué)樓AB的高為20m，教學(xué)樓后面水塔CD的高為30m，已知BC＝30m，小張的目高EF為1.6m．當(dāng)小張站在教學(xué)樓前E處時，剛好看到教學(xué)樓頂端A與水塔頂端D在一條直線上，求此時他與教學(xué)樓的距離BE．【典例4】（2021秋?牡丹區(qū)期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑AB的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點，分別豎立兩根高為2m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標桿EF后退2m到D處，從D處觀察A點，A，F(xiàn)，D三點成一線；從標桿GH后退4m到C處，從C處觀察A點，A，H，C三點也成一線．請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實踐小組求出該古建筑的高度．【變式41】（2021?雁塔區(qū)校級二模）如圖，建筑物BC上有一根旗桿AB，小芳計劃用學(xué)過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB＝3米，F(xiàn)D＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．【變式42】（2022?灞橋區(qū)校級三模）某校社會實踐小組為了測量古塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，古塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC＝1.2米，將標桿向后平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，古塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與古塔底處的點A在同一直線上），這時測得FG＝1.8米，CG＝20米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算古塔的高度AB．【考點2利用相似三角形測量距離】【典例5】（2021?柳南區(qū)校級模擬）我們知道當(dāng)人們的視線與物體的表面互相垂直且視線恰好落在物體中心位置時的視覺效果最佳，如圖是小然站在地面MN欣賞懸掛在墻壁PM上的油畫AD（PM⊥MN）的示意圖，設(shè)油畫AD與墻壁的夾角∠PAD＝α，此時小然的眼睛與油畫底部A處于同一水平線上，視線恰好落在油畫的中心位置E處，且與AD垂直．已知油畫的長度AD為100cm．（1）視線∠ABD的度數(shù)為2α．（用含α的式子表示）（2）當(dāng)小然到墻壁PM的距離AB＝250cm時，求油畫頂部點D到墻壁PM的距離．（3）當(dāng)油畫底部A處位置不變，油畫AD與墻壁的夾角逐漸減小時，小然為了保證欣賞油畫的視覺效果最佳，他應(yīng)該更靠近墻壁PM，還是不動或者遠離墻壁PM？（直接回答即可）【變式51】（2021秋?市中區(qū)期中）為了估計河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標記為點A，再在河的這一邊選點B和點C，使得AB⊥BC，設(shè)BC與AE交于點D，如圖所示測得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么這條河的大致寬度是多少米？【變式52】（2021?津南區(qū)模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一點A，再在河的這一邊選定點B和點C，使得AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點為D，若測得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的寬是多少嗎？專題27.2.4相似三角形應(yīng)用（知識解讀）【直擊考點】【學(xué)習(xí)目標】1、理解并掌握用不同方法構(gòu)造相似三角形測高的原理2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，掌握把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題方法.【知識點梳理】考點1利用相似三角形測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.注意：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標桿測量法考點2利用相似三角形測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算AB的長.

注意：1．比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實際距離;

2．太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比;

3．視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角．【典例分析】【考點1利用相似三角形測量高度】【典例1】（2021秋?山陰縣期末）如圖，利用標桿BE測量建筑物CD的高度．已知標桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m，AC＝28m，點A，E，D在同一直線上，點B在AC上．求該建筑物CD的高度．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴∠EBA＝∠DCA＝90°，∵∠A＝∠A，∴△EBA∽△DCA，∴，∵BE＝1.2，AB＝1.6，AC＝28，∴，∴CD＝21，∴該建筑物CD的高度是21m．【變式11】（2021?南通）如圖，利用標桿DE測量樓高，點A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，樓高BC是多少？【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：樓高BC是9m．【變式12】（2021秋?金牛區(qū)期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在測量學(xué)校旗桿的高度時，讓一名同學(xué)直立在點F處，手拿一塊直角三角板CDE，保持斜邊CE與地面BF平行，延長CE交AB于點G，如圖，并沿著射線CD的方向觀察，剛好看到旗桿的頂端A點，已知該同學(xué)的身高CF為1.6米，點F到旗桿底端的距離BF為12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗桿AB的高度．【解答】解：由題意得：CF⊥BF，AB⊥BF，CG⊥AB，∴∠BFC＝∠ABF＝BGC＝90°，∴四邊形CFBG是矩形，∴CG＝FB＝12m，CF＝GB＝1.6m，∵∠CDE＝90°，CE＝50cm，CD＝40cm，∴DE＝＝＝30cm，∵∠CDE＝∠CGA＝90°，∠DCE＝∠ACG，∴△CDE∽△CGA，∴＝，∴＝，∴GA＝9m，∴AB＝AG+BG＝9+1.6＝10.6m，答：旗桿AB的高度為10.6米．【典例2】（2022春?蓬萊市期末）為測量操場上旗桿的高度，小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理，她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺，先將鏡子放在腳下的地面上，然后后退，直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E，標記好腳掌中心位置為B，測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是40cm，鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為5m，如圖所示，已知小麗同學(xué)的身高是1.66m，眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x是6cm，求出旗桿DE的高度．【解答】解：∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，即，解得：DE＝2000，2000cm＝20m，答：旗桿DE的高度為20m．【變式2】（2022?澄城縣一模）雨過天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鮮空氣，廣場上E處有一處積水，如圖，若小李站在D處距積水2米，他正好從水面上看到距他約10米的前方一棵樹的頂端A的影子已知點D、E、B在同一直線上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距離CD為1.6米，求樹AB的高．（∠CED＝AEB，積水水面大小忽略不計）【解答】解：由題意得：△CDE∽△ABE，∴＝，∵CD＝1.6米，DE＝2米，BE＝8米，即：＝，解得：AB＝6.4，答：樹高大約是6.4米．【典例3】（2020秋?江都區(qū)期末）如圖，某同學(xué)正向著教學(xué)樓（AB）走去，他發(fā)現(xiàn)教學(xué)樓后面有一座5G信號接收塔（DC），可過了一會抬頭一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是納悶．經(jīng)過了解，教學(xué)樓、接收塔的高分別是21.6m和31.6m，它們之間的距離為30m，該同學(xué)的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．當(dāng)他剛發(fā)現(xiàn)接收塔的頂部D恰好被教學(xué)樓的頂部A擋住時，他與教學(xué)樓（AB）之間的距離為多少米？【解答】解：如圖，過E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，根據(jù)題意可得：四邊形EFCG是矩形，∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，∴AH＝20m，DG＝30m，由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，∴，即∴．∴EH＝60．答：某同學(xué)與教學(xué)樓（AB）之間的距離為60米．【變式31】（2021秋?秦都區(qū)期末）學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識后，小明和同學(xué)們想利用“標桿”測量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點F處，他的同學(xué)在點B處豎立“標桿”AB，使得小明的頭頂E、標桿頂端A、大樓頂端C在一條直線上（點F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“標桿“AB＝2.5米，BD＝23米，F(xiàn)B＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大樓的高度CD．【解答】解：如圖中，過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點J．則四邊形EFBJ，四邊形EFDH都是矩形．∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，∵AB＝2.5米．∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），∵AJ∥CH，∴△EAJ∽△ECH，∴＝，∴＝，∴CH＝12.5（米），∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．答：大樓的高度CD為14米．【變式32】（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，一教學(xué)樓AB的高為20m，教學(xué)樓后面水塔CD的高為30m，已知BC＝30m，小張的目高EF為1.6m．當(dāng)小張站在教學(xué)樓前E處時，剛好看到教學(xué)樓頂端A與水塔頂端D在一條直線上，求此時他與教學(xué)樓的距離BE．【解答】解：如圖，過點F作FN⊥CD，交CD于點N，交AB于點M，∵AM∥DN，∴△AMF∽△DNF．∴＝．由題意知，BE＝FM，BC＝MN＝30m，EF＝BM＝CN＝1.6m，F(xiàn)N＝FM+MN＝BE+BC＝（BE+30）m．∴DN＝CD﹣CN＝30﹣1.6＝28.4（m），AM＝AB﹣BM＝20﹣1.6＝18.4（m）．∴＝．解得BE＝55.2m．故此時他與教學(xué)樓的距離BE為55.2m．【典例4】（2021秋?牡丹區(qū)期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑AB的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點，分別豎立兩根高為2m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標桿EF后退2m到D處，從D處觀察A點，A，F(xiàn)，D三點成一線；從標桿GH后退4m到C處，從C處觀察A點，A，H，C三點也成一線．請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實踐小組求出該古建筑的高度．【解答】解：設(shè)BE＝y(tǒng)m，由題意可知，△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴＝，＝，∵EF＝HG＝2，∴＝，∴＝，解得：y＝23（m），則＝，即＝，解得：AB＝25（m），答：該古建筑的高度為25米．【變式41】（2021?雁塔區(qū)校級二模）如圖，建筑物BC上有一根旗桿AB，小芳計劃用學(xué)過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB＝3米，F(xiàn)D＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．【解答】解：由題意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，∴△ACE∽△FDE，∴，即，∴CD＝，由題意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，∴△BCG∽△FDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14（米），∴這座建筑物的高BC為14米．【變式42】（2022?灞橋區(qū)校級三模）某校社會實踐小組為了測量古塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，古塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC＝1.2米，將標桿向后平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，古塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與古塔底處的點A在同一直線上），這時測得FG＝1.8米，CG＝20米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算古塔的高度AB．【解答】解：根據(jù)題意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，∵DC＝HG，∴，∴，∴CA＝40（米），∴＝，∴AB≈68.7米，答：古塔的高度AB約為68.7米．【考點2利用相似三角形測量距離】【典例5】（2021?柳南區(qū)校級模擬）我們知道當(dāng)人們的視線與物體的表面互相垂直且視線恰好落在物體中心位置時的視覺效果最佳，如圖是小然站在地面MN欣賞懸掛在墻壁PM上的油畫AD（PM⊥MN）的示意圖，設(shè)油畫AD與墻壁的夾角∠PAD＝α，此時小然的眼睛與油畫底部A處于同一水平線上，視線恰好落在油畫的中心位置E處，且與AD垂直．已知油畫的長度AD為100cm．（1）視線∠ABD的度數(shù)為2α．（用含α的式子表示）（2）當(dāng)小然到墻壁PM的距離AB＝250cm時，求油畫頂部點D到墻壁PM的距離．（3）當(dāng)油畫底部A處位置不變，油畫AD與墻壁的夾角逐漸減小時，小然