《數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的應(yīng)用研究》9000字（論文）

數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的應(yīng)用研究摘要想要在命題中進(jìn)行合理論證，必須了解和掌握數(shù)學(xué)歸納法且通曉其基本原理。數(shù)學(xué)歸納法可以解決比較復(fù)雜的問題，貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)體系，為了更好的讓中學(xué)生了解并應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，我從數(shù)學(xué)歸納法的概念、分類著手，然后給出數(shù)學(xué)歸納法在解決問題時(shí)的具體步驟，最后再列出數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中的一些列子，在各種題型中的應(yīng)用。讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法的重要性并且讓他們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法去解決數(shù)學(xué)題中一些復(fù)雜的問題。通過對歸納法的了解及其在數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用的研究，讓更多的人認(rèn)識(shí)并了解數(shù)學(xué)歸納法思想，并能運(yùn)用它解決一些難以直接解決的數(shù)學(xué)問題。隨著對數(shù)學(xué)歸納法深入，不僅有利于鍛煉邏輯思維能力，還可以提升學(xué)生的觀察力、分析力、創(chuàng)造力及歸納力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目錄TOC\o"1-3"\h\u59501緒論 586431.1研究背景 533521.2研究目的及意義 5116131.3研究方法 6237922數(shù)學(xué)歸納法的基本概述 6142042.1數(shù)學(xué)歸納法的概念 6237393數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的具體應(yīng)用 7154313.1.1原理 797243.1.2原理證明過程 8115853.1.3易錯(cuò)點(diǎn) 9291673.2數(shù)學(xué)歸納法在等式上的具體應(yīng)用 9239013.2.1恒等式的基本原理 9214703.2.2應(yīng)用過程 9221273.2.3小結(jié) 10110553.3數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用 11111413.3.1不等式的基本概念 11130493.3.2放縮法證明不等式推導(dǎo)過程 11139943.3.3替代法證明不等式 127963.3.3小結(jié) 13261473.4數(shù)學(xué)歸納法在整除問題中的應(yīng)用 13141253.4.1整除性問題概念 1372023.4.2整除性問題推導(dǎo)過程 14209213.4.3小結(jié) 14321303.5數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用 14262833.5.1基本概述 14120523.5.2數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題推導(dǎo)過程 15117383.5.3小結(jié) 15159904數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題應(yīng)用中的優(yōu)化模式 16263764.1聯(lián)系生活實(shí)際 1668034.2重視對問題的分類歸納 167304.3構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò) 17248954.4創(chuàng)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的興趣 18247215結(jié)語 1812936參考文獻(xiàn) 20

1緒論1.1研究背景數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數(shù)有關(guān)的命題，但它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用是不可或缺的王徐晨.借一道高考題談高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].山海經(jīng)：教育前沿,2021(15):0092-0093.。數(shù)學(xué)歸納法是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)考試中常見的考點(diǎn)?？此坪唵蔚睦碚撝?，卻難以形成固定的形式，學(xué)生淺顯的掌握容易，但是深入的在解題中進(jìn)行實(shí)踐則是十分的困難，更多的是通過生硬的理論記憶和模板的套用，雖在解決簡單的歸納數(shù)學(xué)中足夠使用，但是在各類重要的考試中，“生搬硬套”的解決模式難以良好的運(yùn)用其中，學(xué)生難以理解到歸納法的核心應(yīng)用思想，最終的考試成績會(huì)有一定的差距。因此此項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，如果把握的較好，對于提升學(xué)習(xí)成績有著很大的幫助。因此本論文的研究目的，是通過研究數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，進(jìn)而研究出其中的優(yōu)化途徑，以此幫助王徐晨.借一道高考題談高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].山海經(jīng)：教育前沿,2021(15):0092-0093.1.2研究目的及意義研究數(shù)學(xué)歸納法的理解，應(yīng)用，論述數(shù)學(xué)歸納法在不同題型中的實(shí)際應(yīng)用方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，將復(fù)雜繁瑣的題逐漸變得簡單，讓學(xué)生可以真正的掌握數(shù)學(xué)歸納法，更好的理解中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容吳勇.數(shù)學(xué)“三種語言”轉(zhuǎn)換能力的考查及啟示——以2020年幾道數(shù)學(xué)高考題為例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.吳勇.數(shù)學(xué)“三種語言”轉(zhuǎn)換能力的考查及啟示——以2020年幾道數(shù)學(xué)高考題為例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.對于數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的應(yīng)用仔細(xì)的研究后，可以幫助學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)到其中的原理，讓學(xué)生能在理解的基礎(chǔ)上，更好的學(xué)習(xí)這類方式。學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中，雖對于數(shù)學(xué)歸納法有一定的了解，但是多數(shù)是理論性比較強(qiáng)，在使用的過程中，技巧性較強(qiáng)，所以學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的效率，讓學(xué)生可以熟悉在中學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，就數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的降解，幫助學(xué)生提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，建立起數(shù)學(xué)思維。1.3研究方法文獻(xiàn)參考法:對相關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行研究學(xué)習(xí)，對項(xiàng)目的研究返修改那個(gè)及結(jié)論進(jìn)行指導(dǎo)和參考。實(shí)例分析法：通過分析示例，并且根據(jù)對應(yīng)的實(shí)例進(jìn)行相應(yīng)的分析和解答，幫助學(xué)生能夠正好的了解這一題型。2數(shù)學(xué)歸納法的基本概述2.1數(shù)學(xué)歸納法的概念從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度來說，數(shù)學(xué)歸納法是為了證明自然數(shù)N有關(guān)的命題一種特殊的方法沒他這個(gè)月太事故為了研究和正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)類型的問題，雖然此類解題方法并非所有的數(shù)學(xué)題都通用，但是在高中數(shù)學(xué)總，經(jīng)常迎來證明等式成立和數(shù)列通向公司成立。2.2數(shù)學(xué)歸納法的步驟在解題過程中，數(shù)學(xué)歸納法通?？梢院唵蔚淖C明為兩個(gè)步驟，第一步，常數(shù)背景下，數(shù)學(xué)歸納法可以證明命題的成立；第二步驟，在任意數(shù)背景下，依舊需要證明等式的成立。數(shù)學(xué)歸納法可以看做一個(gè)遞推的過程，最簡單的數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n屬于所有正整數(shù)的一個(gè)表達(dá)式成立時(shí)，這種方法是由下面兩步組成：遞推的基礎(chǔ)：證明當(dāng)n=1時(shí)表達(dá)式成立。遞推的依據(jù)：證明如果當(dāng)n=m時(shí)成立，那么當(dāng)n=m+1時(shí)同樣成立。3數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的具體應(yīng)用3.1數(shù)學(xué)歸納法的原理3.1.1原理在中學(xué)解題中，數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的論證方法。但數(shù)學(xué)歸納法并非通用在所有的題型當(dāng)中，正整數(shù)相關(guān)的命題，數(shù)學(xué)歸納法可以作為一個(gè)常用的論證，進(jìn)而進(jìn)行學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)歸納法雖不是使用在所有的中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，但是在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位。許多人高考卷中較為容易出錯(cuò)的題目通常也是和正整數(shù)有關(guān)的題目吳勇.數(shù)學(xué)“三種語言”轉(zhuǎn)換能力的考查及啟示——以2020年幾道數(shù)學(xué)高考題為例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.吳勇.數(shù)學(xué)“三種語言”轉(zhuǎn)換能力的考查及啟示——以2020年幾道數(shù)學(xué)高考題為例[J].新教育（海南）,2020(34):22-24.相比起其他的解題步驟，數(shù)學(xué)歸納法是比較簡單的。但是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，越是簡單的數(shù)學(xué)題目，越是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，無法具體的應(yīng)用，難以真正的掌握，大部分學(xué)生是將數(shù)學(xué)歸納法的遠(yuǎn)離進(jìn)行套用，并沒有理解到其中的內(nèi)涵，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)有似懂非懂的想法。想要了解數(shù)學(xué)歸納法，首先需要了解數(shù)學(xué)歸納法的遠(yuǎn)離，并且將他放在具體的式子當(dāng)中，仔細(xì)的了解。數(shù)學(xué)歸納法的核心是為了證明N∈正整數(shù)證明過程：若n=1可以推導(dǎo)出，n=1→n=k+1按照通俗易懂的降解，可以按照多米諾骨牌遠(yuǎn)離進(jìn)行講解。在一個(gè)相互想聯(lián)系系統(tǒng)當(dāng)中，一個(gè)很小的初量可能產(chǎn)生一系列連鎖的反應(yīng)。假設(shè)nnnnn為多米諾骨牌，多米諾骨牌的排列可以是無窮無盡的，但是只要某一個(gè)骨牌倒了，那么與其相鄰的骨牌也會(huì)在第一塊骨牌的倒下的時(shí)候配第一塊骨牌碰撞，從而倒下，多米諾骨牌無論是排列多少塊，都是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程，只要第一塊倒下，便會(huì)引起連鎖反應(yīng)。運(yùn)用在數(shù)學(xué)歸納法中，可以理解為，只要（1）(2)這兩項(xiàng)是成立，那么式子可以推導(dǎo)出來，所以要保障兩個(gè)數(shù)字之間具有一定的傳遞性劉艷.數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用[J].山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2011,19(3):135-137.劉艷.數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用[J].山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2011,19(3):135-137.當(dāng)我們?nèi)サ舳嗝字Z骨牌的第三塊，是無法推到多米諾骨牌的第四塊的，因?yàn)閮蓧K骨牌之間失去了連續(xù)性，同樣在整數(shù)的式子中，如果想要數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出來，需要保障兩個(gè)數(shù)字之間有連續(xù)性，可以都是加上1，但是不能第一個(gè)數(shù)字加上1，第二個(gè)數(shù)字加上8.兩者之間的連續(xù)性是為了保障假設(shè)成立。3.1.2原理證明過程想要了解數(shù)學(xué)歸納法，必須要學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的推導(dǎo)方式，在此基礎(chǔ)上，使用在不同的數(shù)學(xué)題型當(dāng)中，才能得出最后的答案。但是總結(jié)來說，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用和“拆、添、并、放”有關(guān)。不同的題型劉艷.數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用[J].山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2011,19(3):135-137.，使用不同的方法?？梢宰C明整數(shù)的成立或者偶數(shù)的成立。也就是假設(shè)n=1→劉艷.數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用[J].山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2011,19(3):135-137.一般的，常用的步驟為（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n)都成立。例1：12+122++證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，n=12→n=1-1若n=k時(shí)，則是12+122++則當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立在推導(dǎo)的過程中，需要對于式子左邊的步驟進(jìn)行化簡，達(dá)到最終運(yùn)算的目的，在這這里為了講述清楚，特別用左右進(jìn)行標(biāo)注左12+122++112k+12k+1=1-22k+1由（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，對于一切N∈正整數(shù)都可以成立。3.1.3易錯(cuò)點(diǎn)初學(xué)者在進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用中，經(jīng)常好出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)為以下幾步，這對于研究學(xué)生如何更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法有著重要的作用。數(shù)學(xué)問題的探索，雖然是為了尋求一般的規(guī)律。但是存在一些特例，對于最終的結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生一定影響。所以需要先考察一些特例，進(jìn)行歸納，才能形成進(jìn)一步的猜想李昭平,李葉生.將數(shù)學(xué)高考題引入復(fù)習(xí)課堂——對2020年一道高考?jí)狠S題的探究設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2021(3):63-65.，最終證明自己的猜想是否正確，也就是歸納特例規(guī)矩，進(jìn)行猜想，最后論證的一個(gè)過程。數(shù)學(xué)歸納法可以證明一些等式，但是等式并不一定的直接給出的。李昭平,李葉生.將數(shù)學(xué)高考題引入復(fù)習(xí)課堂——對2020年一道高考?jí)狠S題的探究設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2021(3):63-65.弄不清n=k到n=k+1式子之間的變化。在上述的例子中，雖然是為了證明數(shù)學(xué)題的變化，但是大部分的學(xué)生知識(shí)簡單的看后面的因式變化，并未將左邊的因式的變化放入到學(xué)習(xí)當(dāng)中。學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法的時(shí)候，容易忽略假設(shè)條件，沒有使用到“歸納假設(shè)”。3.2數(shù)學(xué)歸納法在等式上的具體應(yīng)用3.2.1恒等式的基本原理在數(shù)學(xué)上，無論變量如何取值，算式永遠(yuǎn)是可以成立的等式。這是兩個(gè)解析是之間的一種關(guān)系，假設(shè)已經(jīng)給定了兩個(gè)解析式，如果對于他們的定義區(qū)域內(nèi)的任一一組數(shù)或者數(shù)組，都是相等的值，這兩個(gè)解析式就是恒等式。3.2.2應(yīng)用過程數(shù)學(xué)歸納法在恒等式中應(yīng)用較多，其主要的目的是為了證明等式左右兩邊是相等的。例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）證明過程（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＝（2×1-1）2＝右邊，等式成立（2）假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)有（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）=｛k+1[3（k+1）-2]｝X[3（k+1）-2（k+1）+1]X1=（2k+1）X（2k+1）2=[2（2k+1）-1]2由（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，即當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式也成立，故對于任意正整數(shù)n，等式都成立3.2.3小結(jié)數(shù)學(xué)恒等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，需要注意以下兩點(diǎn)：命題的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，需要了解清楚兩邊之間的構(gòu)成規(guī)律，在進(jìn)行數(shù)學(xué)的題目解析。等式兩邊“項(xiàng)”的多少，這是決定了“n”的取值的一個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目。在n=k到n=k+1式子之間。可以發(fā)生多少的變化，增加的多少項(xiàng)，減少多少項(xiàng)。如在上述的例子當(dāng)中，當(dāng)n=k的時(shí)候，左邊=k到n=k+1的時(shí)候，左邊=k+1在進(jìn)行遞推過程中，也就是在第二步進(jìn)行n=k到n=k+1的推導(dǎo)過程中，必須使用歸納假設(shè)，不適用歸納假設(shè)難以證明其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法。在第二步驟中，需要突出假設(shè)和結(jié)論，明確目標(biāo)，充分考慮到命題之間的聯(lián)系。3.3數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用3.3.1不等式的基本概念數(shù)學(xué)的基本思維是歸納和推理，因此在不等式證明中，數(shù)學(xué)證明法可以充分的利用這一思維，進(jìn)行不等式的證明。在中學(xué)生時(shí)期，學(xué)生解答不等式的問題可以說是不可或缺的，不等式的解答能夠讓學(xué)生從許多的事實(shí)中能夠了解到無窮的可能性，無論是在數(shù)學(xué)的探索當(dāng)中，還是在數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，不等式都被數(shù)學(xué)家視作一個(gè)重要的階段程曉亮,曾琬婷.師范生培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：人文社會(huì)科學(xué)版,2013,41(3):112-115.程曉亮,曾琬婷.師范生培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：人文社會(huì)科學(xué)版,2013,41(3):112-115.新課改的實(shí)施為不等式的學(xué)習(xí)打開了新的路徑，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)途徑更多，對于不等式這類較為復(fù)雜的學(xué)習(xí)模式，教師開始潛移默化的將數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟應(yīng)用在不等式當(dāng)中。雖然數(shù)學(xué)不等式通常會(huì)以隱形的模式進(jìn)入到數(shù)學(xué)歸納法的詳細(xì)解析當(dāng)中。在解答不等式的過程中，數(shù)學(xué)歸納法是不可缺少的方法之一，他可以通過無限次的假設(shè)和驗(yàn)證替代無限次的驗(yàn)證，以此來證明不等式命題之間的合理性，從理論上正式不等式的規(guī)律性，總結(jié)特定條件下，食物的規(guī)律，用這一方法也可以證明和不等式有關(guān)的大部分的問題。通過數(shù)學(xué)歸納法在解析不等式的過程中，可以通過分析不等式兩邊的形式，尤其是左邊算式的形式構(gòu)成等，找到兩者之間的差異，為了弄清這一方式，通常可以使用放縮法。比較法等技巧，進(jìn)行不等式的解析。3.3.2放縮法證明不等式推導(dǎo)過程數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用在不等式的解析中，相較于其他的算是，不等式的證明較為復(fù)雜，例2:1+12+13++1n（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+12，右邊=4所以32>4所以不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，（k≥2，k∈N）不等式成立即為1+12+13++1左邊=1+12+13++1k+1k+1=2k+1k+1右邊=2（k+1）k+1+1由（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，即當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立，故對于任意正整數(shù)n，不等式都成立3.3.3替代法證明不等式歸納假設(shè)的利用可以嘗試尋找不同的方式，在證明不等式的過程中，有時(shí)候需要使用不等式中的某些項(xiàng)，從而形成一個(gè)替代，使得問題可以成立例3：求證3n>3n+1（n≥4，n∈N）證明：（1）當(dāng)n=4時(shí)，34>3*4+1，原不等式成立（2）假設(shè)n=k，3k>3（3k+1）那么3X3k>3（3k+1）3k+1>9k+3=3k+3+3k>3（3k+1）+1故n=k+1時(shí)，原不等式成立由（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，綜上所述，當(dāng)（n≥4，n∈N），原不等式成立3.3.3小結(jié)以上僅使用兩種證明方式，證明數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解題，其核心是為了理解，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)其中的遠(yuǎn)離，逐漸的接受數(shù)學(xué)歸納法的技巧，進(jìn)而擴(kuò)展學(xué)生在不等式中的解題事業(yè)。在解題的過程中，可以鍛煉其數(shù)學(xué)思維，在不等式的教學(xué)當(dāng)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的水平使用不同的數(shù)學(xué)歸納法解題方法，學(xué)生的水平不同，使用的數(shù)學(xué)歸納法的解題方式也是不盡相同的陳立強(qiáng).數(shù)學(xué)歸納法綜述[J].品牌：理論月刊,2015,0(6):281-281陳立強(qiáng).數(shù)學(xué)歸納法綜述[J].品牌：理論月刊,2015,0(6):281-281在使用數(shù)學(xué)歸納法解題的過程中，通常容易陷入三個(gè)誤區(qū)，一是在不了解數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用，貿(mào)然將他運(yùn)用到不等式當(dāng)中。如在上述的題型當(dāng)中，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在涉及到3n+1時(shí)，并不能很好的理解3n>3n+1兩者之間的聯(lián)系，不理解數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用，導(dǎo)致難以正確的應(yīng)有；二是認(rèn)為這一方法比較困難，存在畏難心理。相比起數(shù)學(xué)歸納法在等式中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法在不等式的應(yīng)用看似更加的困難，學(xué)生在解題過程中容易陷入難以理解的誤區(qū)，長此以往學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)便不再抱有信心，因?yàn)椴辉僭敢鈱?shù)學(xué)歸納法運(yùn)用在不等式的解題過程中；三是缺少課后的總結(jié)。處于中學(xué)階段的學(xué)生已經(jīng)開始初步建立自己的思維，在這一過程中，學(xué)生需要通過總結(jié)來確認(rèn)自己的學(xué)習(xí)效果，大部分的學(xué)生在后期難以形成自己的總結(jié)模板，對于數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)沒有真正的總結(jié)，忽略了其中的關(guān)鍵核心，進(jìn)而影響了最終的使用效果。3.4數(shù)學(xué)歸納法在整除問題中的應(yīng)用3.4.1整除性問題概念在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，整數(shù)性問題難度較高，因此運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以幫助學(xué)生更好的理解整數(shù)性問題的內(nèi)涵。在正整數(shù)有關(guān)的命題當(dāng)中，數(shù)學(xué)歸納法是實(shí)現(xiàn)正整數(shù)解題的重要方法，但是數(shù)學(xué)歸納法在整數(shù)性問題的運(yùn)用上有一定的局限性，只能證明命題是正確的。在使用數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)之前，需要總結(jié)出其中的規(guī)律，并且找出公式，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論，3.4.2整除性問題推導(dǎo)過程例4：證明f（n）＝5n+2?3n+1能被8整除。證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，f（n）＝5n+2?3n+1＝8顯然能被8整除，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，原命題成立，即f（k）＝5k-1+2?3k+1能被8整除，那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，f（k+1）＝5k-1+2?3k+1＝5?5k+6?3k+1+4?3k-1-4?3k-1＝5?5k+10?3k-1+5-4?3k-1-4＝5?f（k）-4（3k-1+1）由（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，整除性問題成立。3.4.3小結(jié)整數(shù)性問題在數(shù)學(xué)規(guī)范法的使用過程中，可以最大程度上優(yōu)化其中的解題步驟，更好的理解其中的解題方式。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)性問題解題過程中，通常因?yàn)闊o法構(gòu)建出學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而對于數(shù)學(xué)歸納法的使用一知半解。對于其中的公式運(yùn)用等找不到具體的解題方法。3.5數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用3.5.1基本概述幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位。幾何問題有著身后的發(fā)展歷史，是數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)思想，在數(shù)學(xué)的其他學(xué)習(xí)內(nèi)容中也常見幾何的分析方式。3.5.2數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題推導(dǎo)過程例5：證明凸n邊形的對角線的條數(shù)f（n）＝n（n-3）.（n≥3）證明：（1）當(dāng)n＝3時(shí)，f（3）＝0，因三角形沒有對角線，所以原命題成立。（2）假設(shè)：當(dāng)n＝k（n≥3）時(shí)命題成立，即凸k邊形的對角線條數(shù)為f（k）＝k（k-3）。那么當(dāng)n＝k+1，凸k邊形的k個(gè)頂點(diǎn)增加一個(gè)頂點(diǎn)Ak-1成為凸k+1邊形時(shí)，由頂點(diǎn)Ak-1與它不相鄰的另外k－2個(gè)頂點(diǎn)A2，A3，A4，…，Ak－1可畫出k－2條對角線，同時(shí)原來凸k邊形的一條邊A1Ak變成一條對角線。這樣從凸k邊形到凸k+1邊形一共增加了k-1條對角線。由此凸邊形的對角線條數(shù)為：f（k+1）＝f（k）+（k+1）＝k（k-3）+（k-1）＝（k2-k-2）＝（k+1）（k-2）＝（k+1）[（k+1）-3]由（1）（2）數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，當(dāng)n＝k+1時(shí)，命題也成立。3.5.3小結(jié)雖然數(shù)學(xué)歸納法是一種論證與自然數(shù)有關(guān)命題的重要方法，但是由于使用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，過程較為繁瑣，且難以操作。因此中學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法分析正整數(shù)問題的過程中能夠，需很難避開數(shù)學(xué)的思維定式，無法參透命題個(gè)本身的特點(diǎn)。步驟的繁多性容易導(dǎo)致學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)失去興趣。4數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題應(yīng)用中的優(yōu)化模式4.1聯(lián)系生活實(shí)際大部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來比較困難，其中最根本的原因是因?yàn)閿?shù)學(xué)課程的教授比較抽象。特別是在講授數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)中，大部分的學(xué)生一開始是完全聽不懂的，并不能理解其中的內(nèi)在含義，因此大部分的教師喜歡在講授的過程中，將多米諾骨牌的原理告訴學(xué)生。通過多米諾骨牌在學(xué)生的思維中建立一個(gè)具體的形象，進(jìn)而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)該如何在學(xué)習(xí)中使用盧小瑞.如何上好數(shù)學(xué)活動(dòng)課[J].山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2012,20(3):138-140.。盧小瑞.如何上好數(shù)學(xué)活動(dòng)課[J].山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2012,20(3):138-140.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不應(yīng)陷入抽象的困境中，將生搬硬套作為自己的學(xué)習(xí)中心，這樣做的問題一是對于學(xué)習(xí)中等的學(xué)生而言，難以真正理解數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)在含義。所以需要做大量的習(xí)題，不但浪費(fèi)了時(shí)間，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，還可能導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難的心理，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)自己難以理解。對于能力較差的學(xué)生來說，甚至開始便不能理解，即使后期認(rèn)真學(xué)習(xí)了，學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的印象也僅僅停留在抽象的學(xué)習(xí)當(dāng)中，對于數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)無法得到實(shí)際的論證。學(xué)生需要理解數(shù)學(xué)歸納法中的具體知識(shí)，進(jìn)而進(jìn)行具體的應(yīng)用。數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)也應(yīng)當(dāng)應(yīng)用在具體的生活中，一方面是為了提升學(xué)生的興趣，使得學(xué)生在日常的生活中能歐了解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，另一方能夠讓學(xué)生注重學(xué)習(xí)的知識(shí)和生活的實(shí)際運(yùn)用，運(yùn)用學(xué)生能夠接觸到的生活實(shí)例幫助學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)歸納法黃東鋒,姚頑強(qiáng),史經(jīng)檢,張靜,阮青山.序貫平差迭代公式再探討[J].測繪地理信息,2018,43(4):88-91.黃東鋒,姚頑強(qiáng),史經(jīng)檢,張靜,阮青山.序貫平差迭代公式再探討[J].測繪地理信息,2018,43(4):88-91.4.2重視對問題的分類歸納對于問題的分類歸納，是決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。中學(xué)數(shù)學(xué)對于大部分的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)程度偏向難度比較高，學(xué)生短時(shí)間內(nèi)難以理解其中的內(nèi)在含義，數(shù)學(xué)歸納法可以幫助學(xué)生建立對于問題的分類雛形，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。中學(xué)學(xué)生為了提升自己解題的準(zhǔn)確率，通常會(huì)選擇做大量的習(xí)題，幫助自己建立起數(shù)學(xué)思維，但是大量的數(shù)學(xué)題并不代表學(xué)生能夠?qū)W會(huì)，學(xué)生需要深度剖析數(shù)學(xué)題中的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)題吃透，進(jìn)而將其進(jìn)行一個(gè)分類歸納程曉亮,曾琬婷.師范生培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：人文社會(huì)科學(xué)版,2013,41(3):112-115.程曉亮,曾琬婷.師范生培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：人文社會(huì)科學(xué)版,2013,41(3):112-115.分類，是為了正確的區(qū)分不同習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，歸納，是為了深化對于某種題型的聯(lián)系，看看與哪些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相聯(lián)系，有沒有出現(xiàn)一些新的功能或用途？再現(xiàn)思維活動(dòng)經(jīng)過，分析想法的產(chǎn)生及錯(cuò)因的由來，要求用口語化的語言真實(shí)地?cái)⑹鲎约旱淖鲱}經(jīng)過和感想，想到什么就寫什么，以便挖掘出一般的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方法。即使是同一道題，也可以有不同的變化。如在上述的不等式的教學(xué)中，同樣一道題，學(xué)生既可以數(shù)學(xué)歸納法中的兩種解題方式進(jìn)行詳細(xì)的解題，進(jìn)而得出更為優(yōu)化的解題方式。學(xué)生在聯(lián)系解題的過程中，需要落實(shí)自己的解題思維，將問題進(jìn)行詳細(xì)的分類歸納，進(jìn)而落實(shí)到詳細(xì)的解答過程當(dāng)中。問題的分類歸納也為學(xué)生提供一個(gè)復(fù)習(xí)的空間，學(xué)生對于那一章節(jié)學(xué)習(xí)的程度不夠好，學(xué)生可以清楚的了解到自己的弱勢，進(jìn)而有針對性的復(fù)習(xí)。有針對性的復(fù)習(xí)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中一種高效率的學(xué)習(xí)方法。想要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，學(xué)生的總結(jié)可以幫助學(xué)生熟悉自己已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，將其進(jìn)行一個(gè)簡單的歸納。將數(shù)學(xué)歸納法更好的運(yùn)用到各類數(shù)學(xué)題的解析當(dāng)中，還可清晰的展示數(shù)學(xué)歸納法解題之間個(gè)步驟之間的聯(lián)系運(yùn)用，幫助學(xué)生更好的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決問題。4.3構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)想要學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)歸納法，最重要是構(gòu)建出數(shù)學(xué)歸納法的詳細(xì)學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，中學(xué)生在利用數(shù)學(xué)歸納法解題的過程中，初期可能運(yùn)用的不夠熟練，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)起來較為困難，因此可以采用構(gòu)建自己學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的方式，正確的幫助自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的使用。一是詳細(xì)的了解數(shù)學(xué)歸納法的具體含義，對于其中涉及到的基礎(chǔ)知識(shí)牢記于心，這需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中打好基礎(chǔ)；二是參透基礎(chǔ)題型的含義，在學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法之后，學(xué)生需要從簡單的習(xí)題運(yùn)算開始學(xué)生，如12+122++12n闕小剛.對“直線與橢圓位置關(guān)系—中點(diǎn)弦問題(復(fù)習(xí)課)”的教學(xué)與思考[J].散文選刊：中旬刊,2020(12):16-17.只有探索知識(shí)間的聯(lián)系，并且構(gòu)建出屬于自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，才能使得學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法在證明不同的題型時(shí)，能清楚的考慮到其中的考點(diǎn)，選擇合適的方法幫助自己解答題目。4.4創(chuàng)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的興趣中學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解題的過程中，由于數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)較為困難，因此在初期的練習(xí)中，因?yàn)槁?lián)系較為困難，所以學(xué)生常會(huì)有思路錯(cuò)誤或者沒有思路的困擾。因此除了解題之外，學(xué)生的興趣也是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容之一，學(xué)生將數(shù)學(xué)歸