浙江省臺(tái)州市2025屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

臺(tái)州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評(píng)估試題數(shù)學(xué)2024.11命題：葉挺（三門(mén)縣教師發(fā)展中心）閆大貴（溫嶺中學(xué)）審題：鄔仁勇（玉環(huán)中學(xué)）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上．選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2.橢圓與橢圓的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程，得到a,b,c，即可判斷.【詳解】對(duì)于橢圓：，對(duì)于橢圓：，所以它們的長(zhǎng)軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.故選：D.3.若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，且互為共軛”，同時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榉匠痰奶摳蓪?duì)出現(xiàn)，且互為共軛，所以一個(gè)根為時(shí)，另一個(gè)根必然為，所以由根與系數(shù)的關(guān)系，.故選：B.4.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得集合，可得結(jié)論.【詳解】由，可得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，由一元線(xiàn)性回歸模型根據(jù)最小二乘法，計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則（）A.6.6 B.5 C.1 D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)樣本中心在回歸直線(xiàn)上求解.【詳解】因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，，所以，故選：C6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.3 B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解.【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：B7.已知球的半徑為，是球表面上的定點(diǎn)，是球表面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則線(xiàn)段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題設(shè)可得，在線(xiàn)段取點(diǎn)，使，從而得線(xiàn)段軌跡為圓錐的側(cè)面，即可求解.【詳解】如圖，以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榍虻陌霃綖?，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線(xiàn)段取點(diǎn)，使，所以線(xiàn)段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線(xiàn)段軌跡的面積為，故選：C.8.臺(tái)州某校為陽(yáng)光體育設(shè)計(jì)了一種課間活動(dòng)，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機(jī)地站到44的方格場(chǎng)地中（每人站一格，每格至多一人），則兩個(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排列法求得總的方法數(shù)為，利用間接法求得兩個(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列的方法數(shù)為，從而可求概率.【詳解】從16個(gè)格子中選4個(gè)排4個(gè)人有種排法，兩個(gè)男生既不同行也不同列的排法有種排法，兩個(gè)女生也既不同行也不同列的排法有種排法，兩名女生與兩名男生排在一起的排法有，兩名女生中有一名與男生排在一起的排法有，所以?xún)蓚€(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列（每人一格）有種，所以?xún)蓚€(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列的概率是:.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：重點(diǎn)在于求得4個(gè)各站一格且兩個(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列的方法數(shù)，適用間接法.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.若隨機(jī)變量，則C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則D.若隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則【答案】ABD【解析】【分析】A.由隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布求解；B.由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求解；C.由隨機(jī)變量服從分布求解；D.由隨機(jī)變量服從超幾何分布求解；【詳解】A.若隨機(jī)變量，則，故正確；B.若隨機(jī)變量，則，故正確；C.若隨機(jī)變量服從分布，且，則，故錯(cuò)誤；D.由隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則，所以，故正確；故選：ABD10.已知函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.D.在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】計(jì)算可得，可判斷A；計(jì)算可得，可判斷B；分，，，四種情況討論可判斷C；結(jié)合C選項(xiàng)可知時(shí)，在上有一個(gè)不同的零點(diǎn)，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，所以最小正周期不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，，所以，若，，所以，，所以，同理可得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，，所以，若，，則，若，，則所以，同理可得時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，又，所以，此時(shí)，，只有一個(gè)解，所以在上有一個(gè)不同的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知棱長(zhǎng)為3的正四面體，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的最大值為D.當(dāng)時(shí)，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】選為空間內(nèi)的基底向量，可計(jì)算得，可判斷A；當(dāng)，，可判斷B；由已知可得，計(jì)算可判斷C；，結(jié)合，可求的最大值，可判斷D.【詳解】由正四面體，可知，選為空間內(nèi)的基底向量，當(dāng)，，，所以，故A正確；因?yàn)?，?dāng)，，故B錯(cuò)誤；，又，所以，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，化簡(jiǎn)得，解得，故C正確；，所以，由，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查空間向量的數(shù)量積的計(jì)算，運(yùn)算量大，關(guān)鍵是用基底表示，再利用模的計(jì)算公式運(yùn)算求得最值.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列則___________.（填數(shù)字）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，即可得解．【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：13.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______．【答案】##【解析】【分析】由題意可知在上恒成立，分離參數(shù)，令，由基本不等式求出的最小值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.14.已知圓，其中，若圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)距離為1，則的值為_(kāi)______；圓的半徑取值可能為_(kāi)______（請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)可能的半徑取值）．【答案】①.②.（滿(mǎn)足即可，答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，圓過(guò)原點(diǎn)且原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，則在直線(xiàn)上，且與相切，與無(wú)交點(diǎn)，可解問(wèn)題.【詳解】根據(jù)題意，與直線(xiàn)的距離為1的點(diǎn)都在直線(xiàn)和上，又圓過(guò)原點(diǎn)且原點(diǎn)到直線(xiàn)直線(xiàn)的距離為1，則在直線(xiàn)上，且與相切，所以，又因?yàn)閳A與無(wú)交點(diǎn)，所以，如圖.故答案為：；（滿(mǎn)足即可，答案不唯一）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)圓過(guò)原點(diǎn)且原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1是解題關(guān)鍵.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角；（2）若的面積為，為的中點(diǎn)，求長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)求解.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求解即得.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理得，則，而，則，又，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意，，由（1）知，得，在中，由余弦定理得，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以的最小值為.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．（1）求證：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由已知條件，結(jié)合勾股定理，可以判定，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，即可求得線(xiàn)面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則，由，得，再由，，平面??，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則取，記與平面所成角為，則．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求解；（2）設(shè)，由得到，再分和求解.【小問(wèn)1詳解】解：的定義域?yàn)?，，令，解得，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【小問(wèn)2詳解】記，，因?yàn)椋裕?，令，解得或，?dāng)時(shí)，，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞減，得，即對(duì)任意恒成立．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，因此，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意．綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)關(guān)鍵是由得到降低了難度，然后根據(jù)兩根或的大小，分和而得解.18.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為T(mén)．（1）求的方程和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；（2）設(shè)為拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，求證：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切；（3）設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（2）證明見(jiàn)解析（3）是，．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程即可求解；（2）結(jié)合題意聯(lián)立方程組和，化簡(jiǎn)即可求解；（3）由題意得，設(shè)，聯(lián)立方程組和，利用韋達(dá)定理表示和AB，化簡(jiǎn)即可證明.【小問(wèn)1詳解】準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為．【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立方程組，消去得，解得（舍負(fù)），由對(duì)稱(chēng)性，不妨取，又由，求得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，得?zhǔn)線(xiàn)為線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，即，設(shè)，由條件知，聯(lián)立方程組，消去得，則，聯(lián)立方程組，消去得，則，所以，故為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有，或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題.19.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和如下的兩條性質(zhì)：：存在實(shí)數(shù)，使得且，都有；：任意且，都存在，使得．（1）若，判斷數(shù)列是否滿(mǎn)足性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若，且數(shù)列滿(mǎn)足任意，則稱(chēng)為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．設(shè)數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)和性質(zhì)．①若，求的取值范圍；②求證：存在的子數(shù)列為等差數(shù)列．【答案】（1）滿(mǎn)足，理由見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解；（2）①由條件可得是單調(diào)遞增數(shù)列，且存在，使得．進(jìn)而可得，，結(jié)合，可得出結(jié)果；②依題意可得單調(diào)遞增，設(shè)，由性質(zhì)可推得，當(dāng)時(shí)