2024-2025學(xué)年福建省福州市部分高中高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，函數(shù)值域，又對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則，解得，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．3.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】因?yàn)?，又，即，由正弦定理可得，即，所以為直角三角形且為直?故選：B.4.在三棱錐中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，則直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以，故或其補(bǔ)角為直線與所成的角，，又，故，故直線與所成的角的余弦值為.故選：A.5.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】設(shè)，如圖，由題意，即在平行四邊形中，，，求的最大值.延長至，使，則，由正弦定理，三點(diǎn)所在外接圓的直徑，所以，設(shè)圓心為，如圖，所以可知，又，所以由余弦定理可得，則由圖象可知，故選：C.6.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數(shù)向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)，即，∵，∴，∵在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.7.如圖，正方體中，點(diǎn)E、F、G、H分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】對(duì)于①，連接，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面，平面，又，所以與AM是異面直線，正確；對(duì)于②，連接EH，則四邊形是平行四邊形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正確；對(duì)于③，取的中點(diǎn)T，當(dāng)M與T重合時(shí)，連接，則有四點(diǎn)共面，即平面AEM截正方體的圖形是四邊形，如下圖：當(dāng)M點(diǎn)在線段上時(shí)，在平面內(nèi)作直線，交的延長線于U，交于V，連接UM，四點(diǎn)共面，平面，，即平面AEM截正方體的圖形是五邊形，如下圖：錯(cuò)誤；對(duì)于④，在正方形ABCD內(nèi)，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正確；故選：C.8.已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，且線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榍业拇怪逼椒志€經(jīng)過點(diǎn)A，所以為等腰三角形且，在中，，由，得，解得，由正弦定理可知：，即，有，整理得，即，解得.故選：C.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 B.C. D.【答案】AC【解析】,在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，A正確，，B錯(cuò)誤，，C正確，，故D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是 D.平面的一個(gè)法向量是【答案】BD【解析】因?yàn)?，，，所以，，，?duì)于A：若存在實(shí)數(shù)使得，則，顯然方程組無解，所以不存在使得，即與不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋耘c同向的單位向量，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)平面的法向量，則，取，得，故D正確；故選：BD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為直線C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.若對(duì)于任意，都有成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的周期，，解得，A正確；對(duì)于B，由，得，而，則，即，由，解得，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為直線，B正確；對(duì)于C，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，即，由，顯然，，因此，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角，為銳角，且，，則角______．【答案】【解析】由為銳角，，且，則，，所以，又為銳角，所以.13.已知，是不共線的向量，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)，滿足__________．【答案】.【解析】方法1：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以設(shè)，即：，所以，消去m得：.方法2：，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，故，所以．14.若曲線與圓恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)榍€與圓恰有4個(gè)公共點(diǎn)，所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點(diǎn)不在該圓上，則有,解得．四、解答題：本題共5分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．解：（1）∵，∴，∴，即，（2），∴，即，．16.已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，記為線段的中點(diǎn)，求的軌跡方程；解：（1），的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，則，因點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，則，即的軌跡方程為.17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)椋?（2）由解得，，所以；所以.18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設(shè)，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時(shí).若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時(shí)：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時(shí)問題中三角形存在，此時(shí)．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問題中的三角形不存在．19.如圖是函數(shù)圖象的一部分．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值．解：（1）由圖可得，函數(shù)的最小正周期為，又，則，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，則，則，解得，因?yàn)?，所以，所以．?）令，，解得，，令，，解得，．因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（3）方程，即，即，因?yàn)?，所以，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有個(gè)解，即，又的對(duì)稱軸為，不妨設(shè)個(gè)解從小到大依次為，則關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，所以，，，即，，，解得，，．所以，所以，．福建省福州市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，函數(shù)值域，又對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在區(qū)間上的值域均為，則，解得，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以．故選：A．3.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】因?yàn)?，又，即，由正弦定理可得，即，所以為直角三角形且為直?故選：B.4.在三棱錐中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，則直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以，故或其補(bǔ)角為直線與所成的角，，又，故，故直線與所成的角的余弦值為.故選：A.5.已知平面向量滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】設(shè)，如圖，由題意，即在平行四邊形中，，，求的最大值.延長至，使，則，由正弦定理，三點(diǎn)所在外接圓的直徑，所以，設(shè)圓心為，如圖，所以可知，又，所以由余弦定理可得，則由圖象可知，故選：C.6.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數(shù)向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)，即，∵，∴，∵在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.7.如圖，正方體中，點(diǎn)E、F、G、H分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AM與異面；②平面AEM；③平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形；④平面平面.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】對(duì)于①，連接，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面，平面，又，所以與AM是異面直線，正確；對(duì)于②，連接EH，則四邊形是平行四邊形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正確；對(duì)于③，取的中點(diǎn)T，當(dāng)M與T重合時(shí)，連接，則有四點(diǎn)共面，即平面AEM截正方體的圖形是四邊形，如下圖：當(dāng)M點(diǎn)在線段上時(shí)，在平面內(nèi)作直線，交的延長線于U，交于V，連接UM，四點(diǎn)共面，平面，，即平面AEM截正方體的圖形是五邊形，如下圖：錯(cuò)誤；對(duì)于④，在正方形ABCD內(nèi)，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正確；故選：C.8.已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過點(diǎn)且斜率為的直線上，且線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榍业拇怪逼椒志€經(jīng)過點(diǎn)A，所以為等腰三角形且，在中，，由，得，解得，由正弦定理可知：，即，有，整理得，即，解得.故選：C.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 B.C. D.【答案】AC【解析】,在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，A正確，，B錯(cuò)誤，，C正確，，故D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是 D.平面的一個(gè)法向量是【答案】BD【解析】因?yàn)?，，，所以，，，?duì)于A：若存在實(shí)數(shù)使得，則，顯然方程組無解，所以不存在使得，即與不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋耘c同向的單位向量，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)平面的法向量，則，取，得，故D正確；故選：BD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為直線C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.若對(duì)于任意，都有成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的周期，，解得，A正確；對(duì)于B，由，得，而，則，即，由，解得，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為直線，B正確；對(duì)于C，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，即，由，顯然，，因此，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角，為銳角，且，，則角______．【答案】【解析】由為銳角，，且，則，，所以，又為銳角，所以.13.已知，是不共線的向量，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)，滿足__________．【答案】.【解析】方法1：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以設(shè)，即：，所以，消去m得：.方法2：，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，故，所以．14.若曲線與圓恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)榍€與圓恰有4個(gè)公共點(diǎn)，所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點(diǎn)不在該圓上，則有,解得．四、解答題：本題共5分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．解：（1）∵，∴，∴，即，（2），∴，即，．16.已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，記為線段的中點(diǎn)，求的軌跡方程；解：（1），的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，則，因點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，則，即的軌跡方程為.17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，所?