專題11分離常數(shù)法（學(xué)生版）

專題11分離常數(shù)法不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：①分離參數(shù)＋函數(shù)最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。分離參數(shù)的優(yōu)勢(shì)在于所得函數(shù)不含參數(shù)，缺點(diǎn)在于函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，一般是函數(shù)的積與商，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)函數(shù)可能也是超越函數(shù)，則需要多次求導(dǎo)，也有可能不存在最值，故需要求極限，會(huì)用到傳說中的洛必達(dá)法則求極限（超出教學(xué)大綱要求）；分離參數(shù)主要針對(duì)選擇填空題。因?yàn)閳D形難以從微觀層面解釋清楚圖像的交點(diǎn)以及圖像的高低，這要涉及到圖像的連續(xù)性以及凸凹性。還有在構(gòu)作函數(shù)圖像時(shí)，實(shí)際上是從特殊到一般，由特殊幾點(diǎn)到整個(gè)函數(shù)圖像，實(shí)際是一種猜測(cè)。俗話說，形缺數(shù)時(shí)難入微。1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)），可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式.然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù).3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原則：（1）已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過于“緊密”，會(huì)出現(xiàn)無法分離的情形，此時(shí)要考慮其他方法.例如：，等（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復(fù)雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題.（可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會(huì)出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式）（1）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要③，則只需要，則只需要④，則只需要，則只需要（2）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比）③，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要④，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要x/k+w5、多變量恒成立問題：對(duì)于含兩個(gè)以上字母（通常為3個(gè)）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個(gè)是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理（1）選擇一個(gè)已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進(jìn)行分離.則不含參數(shù)的一側(cè)可以解出最值（同時(shí)消去一元），進(jìn)而多變量恒成立問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒成立問題了.（2）將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，即不等號(hào)一側(cè)只含有參數(shù)，另一側(cè)是雙變量的表達(dá)式，然后按所需求得雙變量表達(dá)式的最值即可.6、下面我們利用平移理論及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究一次分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)：首先利用分離常數(shù)法可得==+,設(shè)=m,則f（x）=+,所以y=f（x）的圖象可由反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過平移得到,由反比例函數(shù)的圖象可知的圖象也是雙曲線,其性質(zhì)如下：⒈的定義域是（∞,）∪（,+∞）；⒉的值域是（∞,）∪（,+∞）；⒊的圖象即關(guān)于點(diǎn)（,）對(duì)稱,又關(guān)于直線y=±（x+）對(duì)稱；⒋當(dāng)m>0時(shí),在（∞,）上及（,+∞）上都是增函數(shù),且x∈（∞,）時(shí)f（x）∈（∞,）；x∈（,+∞時(shí)f（x）∈（,+∞）當(dāng)m<0時(shí),在（∞,）上及（,+∞）上都是減函數(shù),且x∈（∞,）時(shí)f（x）∈（,+∞）；x∈（,+∞時(shí)f（x）∈（∞,）.例1.（1）、函數(shù)的值域?yàn)開___（2）、求函數(shù)的值域

【變式訓(xùn)練11】、求函數(shù)的值域【變式訓(xùn)練12】、求函數(shù)的值域【變式訓(xùn)練13】、求函數(shù)的值域

例2．（1）、（2021·北京市第十二中學(xué)高三月考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．或 B． C．或 D．（2）、（2022·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）已知函數(shù)滿足對(duì)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練21】、（2022·四川綿陽·高一期中）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練22】、（2022·安徽·廬江五中高三期中）設(shè)函數(shù)（m為實(shí)數(shù)），若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍______.

例3．(1)、（2022·湖南·郴州一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù),,對(duì)任意,存在,使,則的最小值為________.（2）、（2019·吉林·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末（文））已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【變式訓(xùn)練31】、（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練32】、（2022·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．

例4．（2019·陜西·安康市教學(xué)研究室一模（理））已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上，恒成立，求a的取值范圍.【變式訓(xùn)練41】、（2018·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)若當(dāng)時(shí)，，求m的取值范圍．

例5．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高二期末（文））已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式訓(xùn)練51】、（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上恒成立，求證：.（注：）

A基礎(chǔ)鞏固1．（2021·天津四十三中高三月考）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2021·遼寧丹東·高三期中）當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函數(shù)，則b的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）4．（2021·廣西·高三月考（文））已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，則()A． B． C．或 D．或6．（2021·云南師大附中高三月考（理））已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的值為（）A． B． C． D．7．（2021·山東·新泰市第一中學(xué)高三月考）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（2021·河南·高二期末（理））若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．（2022·福建·莆田第三中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．11．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2022·山西臨汾·高三期中）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2022·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）若對(duì)任意的，且當(dāng)時(shí)，都有，則m的最小值是（

）A．e B． C．3 D．14．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．（2021·天津市天津中學(xué)高三月考）若函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.17．（2021·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期中（理））若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是___.18．（2018·山東·沂水縣第一中學(xué)一模（文））已知關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為__________．B能力提升19．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)二模（文））已知函數(shù)．若關(guān)于x的方程在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．20．（2019·山東濟(jì)寧·高二期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]21．（2020·山東·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．22．（山西省呂梁市2023屆高三上學(xué)期階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．23．（2022·廣東·廣州市第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（2022·河南·駐馬店市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2021·江蘇·張家港高級(jí)中學(xué)高三期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2020·湖南株洲·一模（文））已知對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．27．（2019·河北·三河市第三中學(xué)高三月考（理））設(shè)函數(shù)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為A． B． C． D．28．（2022·全國(guó)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知關(guān)于x的方程有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值是___________30．（2022·河南河南·一模（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明:.

31．（2022·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已