專題03直線與方程-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試好題匯編(人教A版2019)

專題03直線與方程考點(diǎn)一直線斜率與傾斜角1.直線的斜率公式①已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，時的圖象如圖：②已知直線過點(diǎn)，則直線的斜率為k＝.1.（2021·湖南師大附中高二期中）過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由傾斜角為求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D2.（2020·山東臨沂·高二期中）已知兩點(diǎn)、，直線過點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出直線、的斜率，數(shù)形結(jié)合可得出直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而可求得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】如下圖所示：直線的斜率為，直線的斜率為，由圖形可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時，直線的斜率.因此，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C.3.（2020·山東省鄆城第一中學(xué)高二期中）直線的傾斜角的取值范圍是（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直線斜率的范圍，由斜率與傾斜角的關(guān)系確定傾斜角的范圍．【詳解】∵直線斜率，又，∴，設(shè)直線傾斜角為，∴，而，故傾斜角的取值范圍是，故選：B．4.（2020·新泰中學(xué)高二期中）已知直線：，點(diǎn)，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得直線恒過點(diǎn)，進(jìn)而得直線的斜率的取值范圍為：或，再根據(jù)，解不等式即可得答案.【詳解】直線方程變形得：.由得，∴直線恒過點(diǎn)，，，由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，又，∴或，即或，又時直線的方程為，仍與線段相交，∴的取值范圍為.故選：C.考點(diǎn)二直線的形式與位置關(guān)系1.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線續(xù)表截距式縱、橫截距不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線2.直線的兩種位置關(guān)系斜截式一般式方程相交垂直平行且或易誤提醒1．注意兩平行線距離公式的應(yīng)用條件應(yīng)用兩平行線間距離公式時，兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等．2．忽略直線斜率不存在的情況在解決有關(guān)直線問題時要考慮直線斜率是否存在．3．注意直線方程的限制條件（1）應(yīng)用點(diǎn)斜式、斜截式方程時，注意它們不包含垂直于x軸的直線；（2）應(yīng)用兩點(diǎn)式方程時，注意它不包含與坐標(biāo)軸垂直的直線；（3）應(yīng)用截距式方程時，注意它不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線以及過原點(diǎn)的直線；（4）在處理直線與圓的位置關(guān)系時要充分利用圓的幾何性質(zhì)．1.（2021·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）直線與直線垂直，則的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由直線一般式方程下的垂直的公式列式求解即可得答案.【詳解】解:因為直線與直線垂直,所以,即:,解得或.故選：C2.（2019·湖南師大附中高二期中）如果直線與直線互相平行，那么的值等于A．2 B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)它們的斜率相等，可得1，解方程求a的值．【詳解】∵直線ax+2y+1＝0與直線x+y﹣2＝0互相平行，∴它們的斜率相等，∴1∴a＝2故選D．3.（2020·湖南高二期中）過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立求出交點(diǎn)，再由垂直關(guān)系得出所求直線方程.【詳解】聯(lián)立，解得，.設(shè)與直線垂直的直線方程是將，代入方程，解得故所求方程為故選：D.4.（2020·商河縣第一中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，求：（1）邊所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出直線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可；(2)求出直線BC的斜率，得到BC邊上的高所在直線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可.【詳解】（1）設(shè)的直線方程為.將，坐標(biāo)代入可得，解方程組可得，則直線方程為，化為一般式為.（2）因為為直線的高，所以，故，設(shè)的直線方程為，將代入，解得，得的直線方程為，代為一般式為5．（2020·大石橋市第三高級中學(xué)高二期中）在中，，（1）求AB邊的垂直平分線所在的直線方程；（2）若的角平分線所在的直線方程為，求AC所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)AB邊的垂直平分線為l，求出，即得AB邊的垂直平分線所在的直線方程；（2）設(shè)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求出即得解.【詳解】（1）設(shè)AB邊的垂直平分線為l，有題可知，，又可知AB中點(diǎn)為，l的方程為，即，（2）設(shè)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為；則，解得，所以，由題可知，兩點(diǎn)都在直線AC上，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，所以AC所在直線方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線方程常用的方法是：待定系數(shù)法，先定式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式），再定量.6．（2020·浙江高二期中）已知直線：，直線：.（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)兩種情況討論，分別求解即可.

(2)若，則解得或,再驗證從而得出答案.【詳解】（1）①若直線過原點(diǎn)，則在坐標(biāo)軸的截距都為，顯然滿足題意，此時則，解得，②若直線不過原點(diǎn)，則斜率為，解得.因此所求直線的方程為或（2）①若，則解得或.當(dāng)時，直線：，直線：，兩直線重合，不滿足，故舍去；當(dāng)時，直線：，直線：，滿足題意；因此所求直線：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題考查直線的截距概念和根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)，在解決這類問題時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等（或互為相反數(shù)）時，要注意直線過原點(diǎn)時也滿足條件，這是在解題中容易漏掉的情況，在由直線平行求參數(shù)時，求出參數(shù)時要代回檢驗，對重合的情況要舍去，這個也是容易出錯的地方，要注意，屬于中檔題.考點(diǎn)三距離公式三種距離公式①兩點(diǎn)間的距離：若，則|AB|＝；②點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離d＝；③兩平行線的距離：若直線的方程分別為，則兩平行線的距離d＝.1.（2020·山東省實驗中學(xué)高二期中）兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】先由直線平行求出，再由平行線間距離公式可求出d.【詳解】兩直線平行，，解得，將化為，.故選：D.2.（2020·雙峰縣第一中學(xué)期中）若動點(diǎn)分別在直線和上，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)所在直線的方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)所在直線的方程，利用原點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得的集合為與直線和距離都相等的直線，則到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)所在直線的方程為，由，可得，解得，可得，所以到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：B.3.（2020·常德市淮陽中學(xué)高二期中）已知兩點(diǎn)，到直線的距離相等，則m的值為A．或1 B．或1 C．或 D．或【答案】D【分析】兩點(diǎn)到直線距離相等，可用幾何法，直線與兩定點(diǎn)所在直線平行，或直線過以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，或者也可用代數(shù)法．【詳解】解法一：依題意得，直線過線段AB的中點(diǎn)，或與直線AB平行.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線上，，解得；②由兩直線平行知，解得.因此m的值為或，故選：D解法二：由題意得，解得或，故選：D4.（2020·山東高二期中）已知兩條平行直線與間的距離為3，則的值為______.【答案】或.【分析】根據(jù)兩平行線間的距離公式，得到，即可求解.【詳解】由題意，兩條平行直線與間的距離為3，根據(jù)兩平行線間的距離公式，可得，解得或，即的值為或.故答案為：或.考點(diǎn)四與直線有關(guān)的對稱問題1.對稱問題主要包括中心對稱和軸對稱（1）中心對稱①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點(diǎn)滿足②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決．（2）軸對稱①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點(diǎn)(m，n)，則有②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決．1.（2021·上海市長征中學(xué)高二期中）若點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線的斜率______________．【答案】【分析】由點(diǎn)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，可得，設(shè)直線的斜率為，因為點(diǎn)關(guān)于直線對稱，可得，解得.故答案為：.2.（2021·吉林白城市·白城一中高二期中）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是________【答案】【分析】先求出點(diǎn)A到直線距離，因為直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線是它的一條平行線，可設(shè)對稱直線為，再利用距離公式求出，即得出答案.【詳解】解：點(diǎn)到直線距離，因為直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線是它的一條平行線，所以設(shè)對稱直線為，且到對稱直線的距離為，解得或，

時是直線本身，所以對稱直線.故答案為：.3.（2019·湖南長沙市·長郡中學(xué)高二期中考試）已知直線．若直線與關(guān)于l對稱，則的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線，l的交點(diǎn)在直線上，在直線上任取一點(diǎn)，求出此點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)也在直線上，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率，即可求出直線的方程.【詳解】解：若直線與關(guān)于l對稱，則直線，l的交點(diǎn)在直線上，即，解得：在直線上任取一點(diǎn)關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)B在直線上，由A,B兩點(diǎn)可知，直線的斜率為，則直線的方程為：即故選：C1.（2020·山東臨沂·高二期中）（多選題）下列說法正確的是（）A．直線必過定點(diǎn)（2，1）B．直線在軸上的截距為－2C．直線的傾斜角為120°D．若直線沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為【答案】ACD【詳解】，所以點(diǎn)在直線上，A正確；對，令，得，直線在軸上截距為2，B錯誤；直線的斜率為，傾斜角為，C正確；設(shè)直線方程為，沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后得，即它就是，所以，所以，D正確．故選：ACD．2.（2021·山東高二期中）已知過點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來確定點(diǎn)在圓上，然后求出過點(diǎn)的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點(diǎn)在圓上，所以過點(diǎn)的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.3．（2020·遼寧高二期中）如圖所示，若直線，，的斜率分別為，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線，，的傾斜角分別為，，由圖知直線的傾斜角為銳角，所以，直線的傾斜角，為鈍角，所以，當(dāng)傾斜角為鈍角時，傾斜角越大斜率越大，，所以，所以，故選：A.4．（2020·山西大附中）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.5.（2020·利川市第五中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，，若直線與線段AB相交，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖象，求出直線經(jīng)過定點(diǎn)，，結(jié)合圖象關(guān)系即可得解.【詳解】直線過定點(diǎn)，，直線與線段AB相交，結(jié)合圖象可得：.故選：C6．（2021·全國高二期中）直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最大距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)聯(lián)立直線的方程解出交點(diǎn)P，再得出直線的恒過點(diǎn)，從而求得最大距離得選項．【詳解】由解得，所以，由，得，令，恒成立，所以直線恒過點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的最大距離為，故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線恒過點(diǎn)的方法：方法一（換元法）：根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式直線的方程變成，將帶入原方程之后，所以直線過定點(diǎn)；方法二（特殊引路法）：因為直線的中的m是取不同值變化而變化，但是一定是圍繞一個點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，需要將兩條直線相交就能得到一個定點(diǎn).取兩個m的值帶入原方程得到兩個方程，對兩個方程求解可得定點(diǎn).7．（多選題）（2020·福建師大附中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，，則下列選項中是真命題的有（）A．存在正實數(shù)使得面積為的直線l恰有一條B．存在正實數(shù)使得面積為的直線l恰有二條C．存在正實數(shù)使得面積為的直線l恰有三條D．存在正實數(shù)使得面積為的直線l恰有四條【答案】BCD【分析】根據(jù)直線的方程求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出的面積，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，可確定的值的情況，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題意知，直線與軸、軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以，作出其圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，有兩解；當(dāng)時，有三解；當(dāng)時，有四解.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題通過三角形面積的求解，結(jié)合函數(shù)的圖象，確定取不同值時的解的個數(shù)，從而確定直線的條數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出的面積，并能準(zhǔn)確的作出函數(shù)的圖象.8．（多選題）（2020·商河縣第一中學(xué)高二期中）已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（）A．不論為何值時，與都互相垂直；B．當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱D．如果與交于點(diǎn)M，則的最大值是【答案】ABD【分析】由兩直線垂直的判定方法可知A正確；根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可知B正確；設(shè)上一點(diǎn)，其關(guān)于對稱的點(diǎn)不在上，知C錯誤；聯(lián)立兩直線方程可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，根據(jù)函數(shù)最值的求法可求得的最大值，知D正確.【詳解】對于A，恒成立，恒成立，A正確；對于B，對于直線，當(dāng)時，恒成立，則過定點(diǎn)；對于直線，當(dāng)時，恒成立，則恒過定點(diǎn)，B正確；對于C，在上任取點(diǎn)，關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程知：不在上，C錯誤；對于D，聯(lián)立，解得：，即，，即的最大值是，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題D選項考查了兩點(diǎn)間距離最值的求解，解題基本思路是能夠?qū)牲c(diǎn)間的距離表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.9．（2020·江蘇馬壩高中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，則的最小值為__________，此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________.【答案】【分析】由題易知，OP的最小值為點(diǎn)到直線的距離，先利用點(diǎn)到直線的距離公式求解OP的最小值，而后再由直線OP垂直于直線得出直線OP的斜率為2，進(jìn)而得到，代入直線中即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，∴OP的最小值為點(diǎn)到直線的距離，∴，此時直線OP垂直于直線，而直線的斜率為，所以直線OP的斜率為2，所以有，即，將代入直線中可得：，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：；.10．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高二期中）已知的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，為其角平分線，點(diǎn)在邊上，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)在上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________，所在直線的方程為________．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于對稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)造方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；由兩點(diǎn)連線斜率公式求得，利用直線夾角公式可構(gòu)造方程求得，由此得到直線方程.【詳解】關(guān)于對稱，是的中點(diǎn)，設(shè)，，解得：，，，，即，解得：直線的方程為，即.故答案為：；.11．（2021·嘉興市第五高級中學(xué)高二期中）已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作互相垂直的直線，分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_______.【答案】【分析】設(shè)，過點(diǎn)作互相垂直的直線，設(shè)為，，，求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，，，，，故.,所以當(dāng)時，故答案為：12.（2020·天津南開中學(xué)高二期中）光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為___________________.【答案】【分析】求得直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，即為反射光線所在直線的方程.【詳解】聯(lián)立，解得，則直線與直線的交點(diǎn)為.設(shè)直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)在直線上，則，整理得.直線的斜率為，直線與直線垂直，則，整理得.所以，，解得，即點(diǎn).所以，反射光線所在直線的斜率為，因此，反射光線所在直線的方程為，即.故答案為：.13．（2018·四川雅安市·雅安中學(xué)高二期中（文））已知直線．（1）求證：無論為何實數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)；（2）若直線過點(diǎn)，且與軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸圍成三角形面積最小，求直線的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）解方程組，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，分析可得，求出該直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出三角形面積關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最小值，利用等號成立可求得的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）證明：將直線的方程化為，解方程組，解得，故直線恒過定點(diǎn)；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時直線的方程為，即.14．（2020·大連市紅旗高級中學(xué)高二期中）已知直線方程為.（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；（2）為何值時，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少?（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時直線的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）時，距離最大，最大值為；（3）面積的最小值為，此時直線方程為.【分析】（1）整理直線方程可得方程組，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）易知當(dāng)定點(diǎn)與連線垂直時，點(diǎn)到直線距離最大；求出方程后，利用直線垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得；利用兩點(diǎn)間距離公式可求得最大值；（3）利用直線方程可坐標(biāo)，并確定的取值范圍，利用表示出，可得一個分式型的函數(shù)，通過換元法可表示出，由二次函數(shù)最值的求解方法可求得所求面積最小值，并求得的值，由此可得直線方程.【詳解】（1）由直線方程整理可得：，由得：，直線恒過定點(diǎn)；（2）由（1）知：直線恒過定點(diǎn)，則當(dāng)與直線垂直時，點(diǎn)到直線距離最大，又所在直線方程為：，即，當(dāng)與直線垂直時，，解得：；則最大值；（3）由題意知：直線斜率存在且不為零，令得：，即；令得：，即；又位于軸的負(fù)半軸，，解得：；，令，則，，，，，則當(dāng)，即時，，，此時直線的方程為：.15．（2020·上海市金山中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線：，：．過點(diǎn)作直線分別交射線于點(diǎn)A，B．（1）當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)在直線上時，求直線的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的方程；（3）當(dāng)取最小值時，求直線的方程．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)的中點(diǎn)在直線上求出，利用斜率公式求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式可求出直線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，求出的坐標(biāo)，利用求出面積關(guān)于的解析式，再根據(jù)基本不等式求最值可得和直線的方程；（3）利用（2）中的坐標(biāo)求出、，得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再換元利用基本不等式求出取最小值時的，從而可得直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，，則的中點(diǎn)為，因為的中點(diǎn)在直線上，所以，即，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，聯(lián)立，得，，所以，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，此時，直線的方程為，即.（3）由（2）知，，，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值，取得最小值，此時直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16．（2020·北京市平谷區(qū)第五中學(xué)高二期中）已知直線和的交點(diǎn)為．（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】（1）；（2）30【分析】（1）先求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程；（2）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式，求得的面積．【詳解】解：（1）由，解得：，可得直線和的交點(diǎn)為，由于直線l3的斜率為，故過點(diǎn)P且與直線平行的直線l的方程為，即；（2）由題意知：直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為，由于直線m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且為線段AB的中點(diǎn)，故：，，解得，故，故的面積為.17．（2020·浙江高二期中）已知兩條直線，相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在上取點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)（在的下方），若的面積為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線與的方程，解方程組即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用三角形面積可求出點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得的值，由點(diǎn)，的坐標(biāo)即可得直線的方程.【詳解】（1）將兩直線方程聯(lián)立得，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由題意可知點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，，所以，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：，即，所以或，因為點(diǎn)在的下方，所以，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為即.18．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期中）設(shè)直線與直線，為實數(shù)（1）若，求，之間的距離:（2）當(dāng)時，若光線沿直線照射到直線上后反射，求反射光線所在的直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由兩條直線平行可構(gòu)造方程組求得，從而得到方程，利用平行直線間距離公式可求得結(jié)果；（2）聯(lián)立與方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，利用到角公式可求得斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.【詳解】（1），，解得：，，即，與之間的距離；（2）當(dāng)時，，設(shè)與交于點(diǎn)，由得：，；與關(guān)于直線對稱，設(shè)斜率為，則，解得：，方程為：，即.19．（2020·浙江諸暨中學(xué)高二期中）在中，已知（1）若直線過點(diǎn)且點(diǎn)到的距離相等，求直線的方程